А. Уемов. Основы практической логики

Б И Б Л И О Т Е К А

“D I O G E N”

философского отделения

исн огу им. И.И. Мечникова

А в е н и р У ё м о в

ОСНОВЫ

ПРАКТИЧЕСКОЙ

ЛОГИКИ

С ЗАДАЧАМИ И УПРАЖНЕНИЯМИ

Одесса - 1997

ББК 84.7 я7

У32

УДК16(075.8)

Допущено Министерством образования Украины

в качестве учебного пособия для студентов

высших учебных заведений

Уёмов А.И.

У-40 Основы практической логики с задачами и упражнениями.-

Одесса: Одесский государственный университет им. И.И. Мечникова, философское отделение ИСН, 1997. – 388 с. (Библиотека “Diogen” философского отделения ИСН ОГУ им. И.И. Мечникова)

Новое учебное пособие крупнейшего философа, логика, методолога науки профессора А.И.Уемова предназначено для студентов, аспирантов университетов, академий, вузов и колледжей, для учащихся гимназий, лицеев и школ, а также для всех тех, кто хочет развить свой интеллект и научиться правильно мыслить.

ББК 84.7 я 7

У32

УДК16(075.8)

(С) Уемов А.И., 1997.

С п о н с о р и з д а н и я -

Ф и л о с о ф с к о е о т д е л е н и е

И С Н Одесского государственного

Университета им. И. И. Мечникова

Логика – единственная дисциплина, ставящая своей целью не сообщение некоторой суммы знаний, которую необходимо усвоить, а развитие мышления.

Конечно, каждый из нас мыслит, но далеко не всегда правильно подобно тому, как почти все, исключая младенцев, умеют писать, но при этом делают грамматические ошибки… .

Но грамматические ошибки значительно менее опасны, чем ошибки логические. Поэтому изучение логики не менее, а, вероятнее всего, более необходимо, чем изучение грамматики.

Логически грамотный человек имеет большие преимущества перед другими не только в спорах и дискуссиях, но и при изучении любого предмета и вообще любой деятельности.

И, наконец, логика – это интересно! Она дает проявиться главному в человеке – его интеллекту!

ВВЕДЕНИЕ

§1. Обращение к читателю. О значении логики для развития мышления и характере предлагаемого пособия

Дорогие читатели! Вы открыли учебник по предмету не совсем обычному. До этого, наверное, вам приходилось иметь дело с разными учебниками, например, по физике. Вы не знали физики, а хотели знать, не могли решать задачи по физике, а хотели научиться. То же самое вы делали, когда хотели научиться математике, биологии, химии.

Неспециалисту нетрудно признаться в незнании физики или математики, в неумении решать физические или математические задачи. Но каждый уверен в том, что логика-то ему известна. Почему? Да потому, что каждый думает, что он-то умеет мыслить правильно, т. е. логически. И неоднократно проверял эту способность во многих спорах в семье, в школе, на улице, в трамвае. И каждый раз он превосходил своей логичностью других!

Но ведь и другие думают то же самое! Когда они спорили с вами, то чаще всего были уверены, что истина на их стороне.

Получается прямо по М. Твену, который в одном из своих произведений иронично заметил, что “каждый бежал быстрее других!” А у нас получается, что каждый мыслит логичнее других!

Где же выход? Есть ли какие-то объективные критерии логичности, правильности рассуждения? Да, есть! Они были найдены в своей основе еще древнегреческими философами. А древние греки были замечательными спорщиками! Искусство спора, полемики тогда высоко ценилось, молодые люди стремились не только к физическому, по их интеллектуальному превосходству.

Отцом логики по праву считается великий древнегреческий философ Аристотель (384-322 до н. э.). Труды Аристотеля были посвящены выяснению логических форм правильного мышления, хотя сам термин “логика” (греч. logos — слово, понятие, рассуждение, разум) Аристотель не использовал. Его ввели представители другого философского направления — стоики.

На протяжении тысячелетий логика именно так и понималась — она была наукой о формах и законах правильного мышления. В последнее время появились и другие трактовки логики. Но мы ими заниматься не будем. Для нас важен именно тот вопрос, который мы поставили, — как научиться правильно мыслить?

Мы хотим помочь своим читателям мыслить правильно. Конечно, мы не думаем, что до того, как вы изучите нашу книгу, вы не мыслили правильно. Наоборот! Мы надеемся, что ваше мышление в своей основе верное, иначе бы вы не открыли эту книгу! Но ведь вы умели же читать и писать еще в начальной школе. И это не означает, что изучение грамматики родного языка не принесло вам никакой пользы. Изучив грамматику, вы научились писать и говорить гораздо более правильно, чем в том случае, если бы грамматики не изучали вовсе.

Логика в этом плане сродни грамматике. Логические правила аналогичны правилам грамматики, только правила грамматики относятся к форме изложения мыслей, а правила логики — к самим мыслям.

Очевидно, что правила мышления не менее важны, чем правила изложения мыслей. Известный немецкий философ Г. В. Ф. Гегель (1770-1831) как-то заметил, что логика не учит мыслить, так же как физиология не учит переваривать пищу.

Нам представляется, что немецкий философ ошибался относительно логики так же, как и относительно физиологии. Зная физиологию, вы не будете смешивать мясо с картошкой и не будете делать других ошибок, которые помешали бы правильно переваривать пищу.

Зная логику, вы не будете допускать логических ошибок, которые помешали бы вам познавать истину.

— Но, позвольте, — возразите вы, — зачем изучать специально логику, когда мы изучали массу других предметов, которые также

нас учили рассуждать правильно? Доказательство изучается на уроках геометрии, физики и других наук — всюду мы что-то доказывали, всюду рассуждали и, надо полагать, рассуждали правильно. Зачем еще что-то изучать сверх этого?

— Но ведь на уроках по другим предметам вы читали и, конечно, писали какие-то тексты — это же не делает излишним изучение грамматики! К тому же, нужно учесть, что тексты по математике, физике и другим предметам — специализированные! Геометрия требует, чтобы четко сформулировать условия задачи, чтобы было ясно, что дано и что требуется доказать. А вот когда вы будете писать письмо с признанием в любви, вы не будете прибегать к этому шаблону, иначе адресат вас поймет как-то не так.

Методы рассуждения в разных науках так же специализированы.

Можно быть великим математиком и очень плохо рассуждать по проблемам политики. То же можно сказать и о физике, и даже о шахматисте, который, казалось бы, только тем и занимается, что развивает свое мышление.

Только одна наука — логика стремится познать формы мышления во всей их полноте. Все то, что есть в мышлении, интересует логиков, которые исследуют это под своим углом зрения. А именно — в плане структуры мысли и условий, при которых эти мысли приводят вас к истине. Этим логика отличается от психологии, которая занимается исследованием реального процесса мышления независимо от того, познаем мы при этом истину или нет.

Логика может решать свои задачи, лишь изучая формы мышления, отвлекаясь от его конкретного содержания, являющегося предметом изучения других, конкретных, наук, таких как физика, химия, история, география, языкознание и т. д. В этом смысле логика является формальной наукой. Термин “формальная логика” является плеоназмом, таким как “масляное масло”. Всякая логика формальна; если она претендует на то, чтобы не быть формальной, то она и не логика. Так, не является логикой так называемая “диалектическая логика” уже упомянутого немецкого философа Гегеля и его последователей.

Не случайно логика возникла в демократическом обществе, в древнегреческом городе Афины. Соседняя Спарта не внесла ни одной лепты в развитие этой науки. Это и не удивительно. Вся жизнь в Спарте была подчинена определенному жесткому порядку. Лишние рассуждения там были ни к чему. И в дальнейшем логика могла развиваться в условиях хотя бы относительной демократии. Отсюда понятно, почему 70 лет в Советском Союзе логика была в загоне. Цвет логической мысли — А. И. Введенский, Н. А. Лосский и др. были высланы из Советской России уже в 1922 г. Логика была изъята из среднего и высшего образования. Она преподавалась одно время в средней школе, но это преподавание было только в самом последнем классе, и на него отпускалось минимум времени, так что, если школьники и могли что-то усвоить из теории логики, то они не успевали это воплотить в практике своего мышления.

Зачем было нам мыслить? За нас мыслили вожди! А дело избирателя было перенести бюллетени с уже выбранным кем-то кандидатом в урну.

Сейчас положение совсем другое. Иногда предлагается более 40 вариантов для выбора! Тут надо поразмыслить, порассуждать. От выбора каждого зависит судьба страны! И дело, конечно, не только в выборах депутатов. Не менее важен выбор и в других сферах жизни. У нас был не только один кандидат, но и один товар в магазине, если его “выбрасывали”. Думать не надо — становись в очередь.

Сейчас ситуация другая — появились товары, нужно выбирать и здесь, тем более, если денег мало. Приходится рассуждать. Если вы не научитесь рассуждать правильно, вы проиграете в жизни! Не жалейте времени на изучение логики, в конце концов, это самая важная, самая нужная дисциплина. Зная логику, вам будет гораздо легче разобраться и в других предметах — математике, физике, биологии, медицине и др. Всюду, чем бы вы ни занимались, вы будете оперировать суждениями, образовывать понятия, делать выводы из данных посылок и что-то доказывать.

Обо всем этом будет идти речь в нашей книге.

Известный русский логик С. И. Поварнин выделил три аспекта, в которых может разрабатываться и изучаться логика. Эта наука может быть частью теории познания, решая вопросы о том, как познается мир. В таком случае мы говорим о гносеологической логике. Далее, формы мысли могут изучаться сами по себе вне связи с теорией познания или практическими приложениями. Это — теоретическая логика. И, наконец, логика нас может интересовать прежде всего в плане практических приложений с целью сделать наше мышление более логичным. Это — прикладная или практическая логика. “Пользуясь материалами, добываемыми теоретической логикой, она должна так излагать и приспособлять правила логики, чтобы их можно было легче и удобнее всего применять к практике, например, к анализу доказательств” (С. И. Поварнин. Логика. Петроград, 1916.) Сказанное нами выше свидетельствует о том, что мы хотим изложить именно практическую логику. Это определяет название нашего пособия.

Теоретический материал будет использоваться и, в известной мере, оцениваться с точки зрения возможности его практических применений и не где-нибудь в математике или технике, а в анализе нашего повседневного мышления.

Из самого понятия практической логики следует, что в нашем учебном пособии должно быть много задач и упражнений. Их должно быть так много, что предлагаемое пособие не может считаться просто учебником. В такой же мере это — задачник по логике. До сих пор существовало резкое деление учебных книг по логике на учебники — их много и задачники — их мало. В учебниках приводились некоторые задачи, в задачниках в лучшем случае было иногда немного теории. Гораздо более эффективно, на наш взгляд, объединение учебника и задачника в единое целое. Насколько это удалось — судить читателю.

Много задач и упражнений взято с согласия автора, разумеется, из книги А. И. Уемова “ Задачи и упражнения по логике” (М., Высшая школа, 1961), которая сейчас стала библиографической редкостью.

Книга разделена на разделы. Задачи — после каждого раздела. Ссылки на источники примеров и на теоретический материал, относящийся к конкретному вопросу, даны прямо в тексте, как, например, дана выше ссылка на работу С. И. Поварнина. Ссылки на источники, относящиеся к тому или иному разделу в целом, даны внизу страниц. Ссылки на учебную литературу, которую рекомендуется использовать для дальнейшего изучения логики, иногда с краткими аннотациями приводятся в конце разделов и в конце книги.

Автор хотел бы выразить глубокую благодарность декану философского факультета доц. А. В. Чайковскому, который был инициатором написания этой книги, изыскав средства для этого, и своей жене Терентьевой Людмиле, которая проделала огромную работу по оформлению мыслей автора в удобочитаемый текст. Если читателю понравится наша книга, он также должен быть благодарен этим людям, без которых предлагаемый его вниманию учебник-задачник не появился бы на свет.

§ 2. Категориальные основания логики

Прежде чем приступить непосредственно к изложению логики, необходимо остановиться на тех фундаментальных понятиях — категориях, на которых она основана. Очень важно правильно их понимать — иначе будут большие затруднения и часто путаница.

Но нам поможет то, что читатель уже овладел грамматикой родного языка, а она основана, в сущности, на тех же самых категориях, что и логика. Прежде всего, мы предполагаем, что читатель знает, что такое имя существительное. Конечно же, существительное — это часть речи, обозначающая предмет и отвечающая на вопросы: “кто?” или “что?” Школьник до того, как он приступил к изучению грамматики, мог думать, что предмет — это доска, парта, камень, автомобиль или кусок мыла. Но учитель говорит, что существительными являются не только перечисленные выше слова, но и такие, как “урок”, “утро”, “любовь”, “красота” и даже “драка”. А поскольку все они являются существительными, постольку все они обозначают предметы. Камни, доски, автомобили и всякие куски — только особый частный случай предметов. Такие предметы занимают какую-то часть пространства. Про них можно сказать — вот здесь они есть, а там их уже нет, то есть можно указать пространственную границу. Такие предметы называются телами. Это одно из фундаментальных понятий физики. В грамматике же предметом будет все то, о чем можно что-то сказать, то есть ответить на вопрос “что это?” или “кто это?” В логике — то же самое. Только ее не волнует вопрос, существенный в грамматике, — разница между “что” и “кто”, т. е. между предметами неодушевленными и одушевленными. Читатель уже смирился с тем, что, с точки зрения грамматики, он — тоже предмет, как, впрочем, и его учитель. Ничего не стоит смириться и с тем, что, с точки зрения логики, нет никакого отличия между ним и неодушевленным предметом, поскольку и про человека, и про забор можно что-то сказать. Вместо слова “предмет” могут употребляться его синонимы — “вещь”, “объект”. Значит, мы с вами — и вещи, и объекты. Чаще всего мы будем использовать “вещь”.

Что значит сказать что-то о вещи? Это значит приписать ей какие-то свойства или же установить с нею какое-то отношение. Сахар белый, учитель строгий, любовь — чувство святое, кит — млекопитающее, верблюд — корабль пустыни, гололед — вещь опасная, весна настанет, логика полезна, вещь, которую ты придумал, хороша. Во всех этих случаях мы имеем предложения, в которых некоторому предмету — подлежащему предложения приписывается свойство, выражаемое сказуемым предложения. “Ваня любит Машу”, “Ваня читает книгу”, “Коля рубит дрова”, “Земля вращается вокруг Солнца”, “Аристотель создал науку логику”, “Джомолунгма выше Монблана”. В этих примерах мы имеем другой тип предложений. В нем устанавливается некоторое отношение между вещами: отношение любви между Машей и Ваней, отношение “читает” между Ваней и книгой, отношение “рубит” между Колей и дровами и т. д.

В чем различие между приписыванием свойства и установлением отношения? Свойство свойственно вещи, и поэтому оно может быть знаком самой этой веши. Вообразите, что Вы иностранец и плохо знаете русский язык. Хотите купить сахара, а слово “сахар” забыли. Можете попросить продавца дать Вам “белого”. Конечно, могут дать и муку, но тогда скажите “иного белого”. В конце концов, получите сахар. Строгого учителя за глаза можно назвать просто строгим. Одного французского короля, который был лыс, называли просто “лысым”, другого — “благочестивым”, а третьего — “Солнцем”.

Перечисляя различные свойства вещи, мы остаемся в ее рамках. Сахар — не только белый, но и сладкий, хрупкий. Говоря это, мы продолжаем думать о сахаре, а не о чем-то другом. Чтобы перейти от сахара к другому предмету, необходимо отношение. Нужно соотнести сахар с другим предметом, например, водой. Сахар растворяется в воде. Здесь мы использовали отношение “растворяться”. Выше мы соотнесли Ваню с Машей, Ваню с книгой, Землю с Солнцем и т. д. Соотнести можно ту или иную вещь и саму с собой.

Так, Ваня может любить не только Машу, но и сам себя. Бесполезно было бы делить Ваню на части, одна из которых любит, а другая любима. Здесь только один предмет. Такие отношения — предмета самого к себе — называются рефлексивными или одноместными (от слова “место”. Вещь здесь занимает одно место). Выше были приведены примеры отношений между двумя предметами, т. е. двухместных отношений. Могут быть также трехместные отношения: Петя ловит рыбу удочкой. Николаев находится между Одессой и Херсоном. Пропорция: 12/8 = 9/6 представляет собой четырехместное отношение. Понятно, что могут быть пятиместные, шестиместные и т. д. отношения.

Нетрудно видеть, что все отношения имеют некоторое направление. Про них имеет смысл спросить, от чего и к чему оно направлено. Любовь Вани в примере, приведенном выше, направлена или на Машу, или на самого себя. Отношение Пети направлено на удочку и, через нее, на рыбу. Отношения Николаева к Одессе и Херсону имеют противоположные направления. “Черноморец” играет со “Спартаком”. Отношение здесь — от “Черноморца” к “Спартаку”. Но оно предполагает наличие отношения и в обратном направлении. Обе команды играют друг с другом. Нельзя сказать, что в этом случае направление отношений исчезло. Здесь имеют место одновременно два противоположных направления.

Но если мы скажем, что “Спартак” и “Черноморец” — это футбольные команды, то спрашивать о том, в каком направлении они футбольные команды не имеет смысла. Значит, здесь речь идет не об отношении, хотя имеется два предмета. “Футбольные команды” здесь свойства. Думая о “Спартаке” и “Черноморце”, мы, приписав им это свойство, не меняем предмет своего внимания.

Очень важно понять, что вещи, свойства и отношения не отделены друг от друга жесткими перегородками. Близкие по значению слова или даже одно и то же слово в разных контекстах, т. е. в разном окружении, может выражать и вещь, и свойство, и отношение. Выше были приведены примеры свойств, выраженных существительными, которые, как известно, обозначают вещи.

Кит — млекопитающее. “Млекопитающее” — некий предмет, если, конечно, мы что-то о нем скажем, например, определим, что млекопитающее вскармливает своих детенышей молоком. Но в нашем примере речь шла о китах. Про них мы сказали, что они — млекопитающие. Значит, вещь “млекопитающее” здесь выступает в качестве свойства.

Любовь — чувство святое. Здесь слово “любовь” обозначает предмет.

Это — любовь. В этом контексте любовь выступает в качестве свойства.

Ваня любит Машу. Здесь “любит” выступает как отношение между Ваней и Машей.

Различия грамматической формы слов, положений во фразе, ударения и т. д. служат для того, чтобы различить их логические функции — те категории, которые эти слова в том или ином контексте выражают.

Так, заменяя глагол “играет” причастием “играющий”, мы получаем из выражения отношения: “Спартак” играет с “Черноморцем” выражение свойства: “Спартак”, играющий с “Черноморцем”. Егор умный. Здесь умный — свойство. Это свойство можно разъяснить через отношение: Егор умнее других.

Разные логические системы отличаются друг от друга по типу их категориального базиса, то есть по тем категориям, которые играют основную роль для выражения логической формы мысли. Мы будем рассматривать эти системы в порядке роста сложности, начав с самой простой.

Задачи и упражнения

1. Можно ли в одном физическом теле обнаружить разные вещи?

2. Можно ли одну и ту же вещь обнаружить в разных телах?

3. Что является общим для всех рыб — жабры или свойство обладания жабрами?

4. Какие из перечисленных ниже слов обозначают свойства яблока; какие обозначают вещи? Какую роль в определении категориальной соотнесенности играет грамматическая форма слова: 1) красное; 2) червивое; 3) краснота; 4) температура; 5) круглое; 6) вкусное; 7) сладкое; 8) висящее на дереве; 9) характеризующееся краснотой; 11) плод.

5. Какое свойство приписывается человеку в выражении: “человек, характеризующимся сознанием”.

6. Может ли одно и то же свойство выражаться разными частями речи? Как бы ответил на этот вопрос Аристотель, которым пишет: “Ибо нет никакой разницы сказать: человек есть здоровым или человек здоров или же человек идет и режет, и подобным образом во всех остальных случаях” (Метафизика, Соч. т. I, с. 156).

7. Найдите слова, выражающие вещи, свойства и отношения в следующих фразах.

1) Белый корабль приближается к берегу.

2) Невежество — не аргумент. (Б. Спиноза)

3) Мы ленивы и нелюбопытны. (А. С. Пушкин)

4) Сердце красавицы склонно к измене. (Опера Верди)

5) Многознание уму не научает. (Гераклит)

6) Молчаливость — лучшее украшение женщины. (Демокрит)

8. Вникните в следующую восточную легенду. Какую концепцию соотношения между свойствами и вещами отображает эта легенда? “Однажды к Богу явился мужчина и попросил сотворить женщину. Бог взял немного лучей солнца, задумчивую грусть луны, ласковый взгляд серны, трепет лани, кротость голубки, красоту лебедя, нежность пуха, легкость воздуха, свежесть воды. А во избежание приторности прибавил непостоянство ветра, болтливость сороки, слезоточивость облаков и все ужасы грома и молнии. Все смешал. Из этой смеси получилась прекрасная женщина.”

Литература для дальнейшей работы

1. Уемов А. И. Логические ошибки. - М., Госполптнздат, 1958.

2. Середа В. Ю. Вчись миcлити логiчно. - Kиiв. Радянська школа,

1989.

3. Ивин А. А. По законам логики. - М., Молодая гвардия. 1983.

4. Ивин А. А. Искусство правильно мыслить. - М., Просвещение.

1990.

5. Уемов А. И. Вещи, свойства и отношения. — М.. Изд. AM CCP. 1963.

ЧАСТЬ I. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

ГЛАВА I. ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ

§ I. Операции над простыми высказываниями

Согласно известному принципу дидактики, начинать изложение любого предмета следует с самого простого. Однако, не всегда ясно, что именно является простым. Иногда получается гак, что не начинают с самого простого, а считают простым то, с чего начали.

Мы будем связывать простоту п. соответственно, сложность того или иного раздела логики с тем, какие и сколько фундаментальных категорий из рассмотренных выше (категории вещи, свойства н отношения) задействованы в этом разделе, независимо от того, когда этот раздел возник исторически.

Самым простым разделом логики в этом случае оказывается логика высказываний. Зачатки этой логики можно найти в учениях древнегреческих философов, принадлежащих к школам мегариков и стоиков. Но в развитой, современной форме логика высказываний создана лишь в XIX в. Д. Булем (между прочим, отцом известной писательницы Э. Л. Войнич).

Фактически логика высказываний опирается на одну категорию из базисной тройки категорий: вещь, свойство, отношение. Этой категорией является категория вещи, которая будет пониматься в том широком смысле этого слова, который был разъяснен выше.

Давайте начнем с вещей. Что с ними можно делать? Во многих случаях вещи можно дарить, но можно их пообещать. Рассмотрим обещание, которое может давать наш кандидат, скажем, в президенты. Пусть он обещает демократию. Как установить, выполнил ли он свое обещание? Ответ естественен — надо посмотреть, будет ли демократия. И если будет, то признаем, что претендент не нарушил обещания. Построим очень простую таблицу.

Табл. 1

Здесь (И) обозначает не обманул, (Л) — обманул. Теперь пусть другой кандидат, противник демократии, обещает, что ее и не будет. Тогда получим для него таблицу.

Табл. 2

Соединяя обе таблицы, получим:

Табл. 3

Теперь возьмем две вещи — демократию и благоденствие.

Пусть первый кандидат обещает нам то и другое: и демократию, и благоденствие.

Второй кандидат обещает, по крайней мере, одно: демократию или благоденствие. Здесь одно другое не исключает, предполагается, что может быть и то, и другое.

Третий кандидат обещает только одно: иди демократию, или благоденствие, считается, что одно исключает другое.

Четвертый кандидат говорит, что если будет демократия, то будет и благоденствие.

В каком случае эти обещания будут выполнены? Рассмотрим ситуацию а) когда будет и демократия (1) и благоденствие (1).

Построим следующую таблицу 4.

(а) Табл. 4

Теперь истолкуем то, что у нас получилось.

Кандидат 1 обещает и демократию, и благоденствие. Выполнил ли он свое обещание или нарушил его? Очевидно, что выполнил, поскольку в ситуации (а) демократия и благоденствие имеются. В колонке для первого кандидата мы поставили И.

Второй кандидат обещал, по крайней мере, одно из двух (или демократия, или благоденствие). В ситуации (а) свое обещание он выполнил. Поставим в его колонке И.

Третий кандидат обещал или демократию, или благоденствие, только одно из двух — предполагается невозможность одновременного осуществления и демократии, и благоденствия. Следовательно, он не выполнил обещание — в его колонке поставили Л.

Четвертый кандидат обещал, что если будет демократия, то будет и благоденствие. Свое обещание он в ситуации (а) не нарушил. Поставим в его колонке И.

Рассмотрим ситуацию (б): демократия есть, а благоденствия нет.

(б) Табл. 5

Первый кандидат в ситуации (б) свое обещание не выполнил. Есть только одно, а он обещал и то, и другое. Мы поставили в его колонке Л.

Второй кандидат свое обещание в ситуации (б) выполнил. Он обещал демократию или благоденствие, пусть благоденствия нет, но демократия есть. Поставили в eгo колонке И.

Третий кандидат свое обещание в ситуации (б) выполнил. Он обещал только одно — либо демократию, либо благоденствие. Поставили в его колонке И.

Четвертый кандидат в ситуации (б) свое обещание не выполнил. По его обещанию, наличие демократии является достаточным условием для наличия благоденствия. Условие выполнено, а где же заключение? Благоденствия нет. Поставили в его колонке Л.

Рассмотрим третью ситуацию (в): демократии нет — обозначим такое положение через Л, а благоденствие есть — И.

(в) Табл. 6

Первый кандидат в ситуации (в) нас обманул, поскольку было обещано и то, и другое, а в наличии есть только одно. Поставили в его колонке Л.

Второй кандидат в ситуации (в) нас не обманул, поскольку он обещал хотя бы что-то одно, а оно есть в этой ситуации. Поставили в его колонке И.

Третий кандидат в ситуации (в) также нас не обманул, поскольку он обещал осуществление ровно одной ситуации; благоденствие есть, следовательно, в его колонке поставили И.

Четвертый кандидат в ситуации (в) свое обещание выполнил, поскольку благоденствие имеется. Пусть кандидат и ничего не делал для установления демократии, но ведь он и не обещал ситуацию наличия благоденствия только при наличии демократии (со своими обещаниями кандидат в противоречие не входил). Поставим в его колонке И.

Рассмотрим ситуацию (г): демократии нет, благоденствия нет.

(г) Табл. 7

Первый кандидат в ситуации (г) нас обманул: ничего нет. Поставили в его колонке Л.

Второй кандидат в ситуации (г) нас обманул: ничего нет. Поставили в его колонке Л.

Третий кандидат в ситуации (г) также нас обманул: ничего нет. Поставили в его колонке Л.

Четвертый кандидат в ситуации (г) не может иметь претензий. Не выполнено условие, поскольку демократии нет. При невыполнении условия может не быть и следствия — благоденствия. Обещание свое четвертый кандидат не нарушил. Поставили в его колонке И.

Соединим все четыре таблицы вместе (табл. 8).

Теперь мы получили очень важную таблицу. Она — основа всей логики высказываний, которую мы собирались изложить. У нас пока нет самих высказываний, просто речь идет о вещах (демократии и благоденствии). Что же такое высказывание? Это такая вещь, которая характеризуется некоторым особым свойством. Это свойство обычно называется истинностью или ложностью как противоположностью истинности.

Табл. 8

Какие вещи могут быть истинными и ложными? Здесь у философов есть некоторые разногласия. Например, про такую вещь, как “восход солнца в пустыне”, можно сказать, истинна она или ложна? А про русалку?

Аристотель считал, что, например, слово “кентавр” не истинно и не ложно, а просто что-то обозначает.

Мы не будем вдаваться в сложные философские вопросы и будем исходить из несомненного, что не вызывает никаких разногласий. Всем известно из школьной грамматики о повествовательных предложениях. Например, “Кит — млекопитающее”, “Волга впадает в Каспийское море”, а “Лошади едят овес”. Все это есть некоторые вещи, ибо про них можно что-то сказать, приписав им свойство, или установить отношение этих вещей к другим. В данном случае всем им может быть приписано свойство истинности. А вот таким предметам, как “Кит — рыба”, “Волга впадает в Амазонку”, “Лошади питаются каменным углем”, присуще другое свойство, которое мы назвали ложностью.

Внимательный читатель может возразить автору: “Вы обещали использовать одну фундаментальную категорию — вещь, а используете другую категорию — свойство”.

Однако, заметьте, вещи у нас могут быть самыми разными, их неограниченное число, а свойств только два - истинность и ложность. Только эти свойства интересуют логиков: их можно назвать логическими.

Вещи, которые обладают свойствами истинности или ложности, будем называть высказываниями, а иногда, в качестве синонима, — суждениями. В языке высказывания выражаются повествовательными предложениями. Иные типы предложений выражают мысли, отличные от высказываний: побуждение или вопрос.

Над входом в академию Платона в древних Афинах висело “Да не войдет сюда всякий, не знающий геометрии!” Это, с точки зрения приведенного выше определения, не высказывание, ибо оно и не истинно, и не ложно. Здесь выражается пожелание или даже запрет. “Изучали ли Вы логику?” И это не высказывание. Здесь мы имеем дело с вопросом.

И побуждения (нормы), и вопросы могут изучаться логикой. Но в рамках нашего курса мы этого делать не будем, сосредоточиваясь на высказываниях.

Тот раздел логики, который изучает высказывания с точки зрения их истинности и ложности, называется логикой высказываний.

Логика высказываний интересуется отношениями между высказываниями, имеющими логический характер. Их мы уже знаем. Они выражены в наших таблицах, к которым мы сейчас и вернемся. Начнем с таблицы 3. Вместо “демократия” возьмем любое высказывание. Обозначим его символом а подобно тому, как в алгебре этим символом обозначается любое число. Отрицанием обещания демократии было “демократии не будет”. Выразим отрицание высказывания в общем виде с помощью символа ⌐а. Введя символы произвольного высказывания “а” и его отрицания “⌐а” в таблицу 9, будем иметь:

Табл. 9

а ⌐а

И Л

Л И

Эту таблицу можно рассматривать, как определение отрицания. Отрицание ⌐а будет иметь место в том случае, если, когда а будет истинно, то ⌐а будет ложно и когда а ложно, то ⌐а — истинно.

При этом мы предполагаем два фундаментальных закона мышления. Первый из них: высказывание и его отрицание вместе истинными быть не могут. Если одно истинно, второе будет ложным. Этот закон получил название закона противоречия, хотя, более точно, хотя и более длинно, это — закон запрещения противоречия. Второй закон: высказывание и его отрицание не могут быть вместе ложными. Если одно из них ложно, то другое — истинно. Истинно будет именно второе высказывание. Поскольку мы уже знаем, что истинно второе, третьего искать не нужно. Оно исключено. Поэтому этот закон мышления носит название закона исключенного третьего. К этим законам нам еще придется неоднократно возвращаться в будущем.

Теперь перейдем к обобщению таблицы 8. Там мы рассуждали о демократии и благоденствии. Вместо них будем говорить о разных высказываниях, которые обозначим символами а и b. Введем особые знаки для рассмотренных отношений. Нам понадобятся 4 знака, в соответствии с четырьмя типами обещаний.

1. Обещание “то и другое” выразим а & b.

2. Обещание “по крайней мере одно” выразим a v b.

3. Обещание “только одно” выразим a w b.

4. Обещание “если будет одно, то будет и другое” выразим а ® b. Теперь немного латыни. Используем слова латинского языка. Всего четыре.

1. Конъюнкция а & b.

2. Дизъюнкция (соединительная) a v b.

3. Дизъюнкция (исключающая) a w b.

4. Импликация а ® b.

Каждое из этих понятий мы определим с помощью таблицы 10. Так, про конъюнкцию мы можем сказать, что это такая связь высказываний а и b, которая будет истинной тогда и только тогда, когда оба высказывания будут истинными, и ложной во всех остальных случаях.

Дизъюнкция (соединительная) a v b будет истинной тогда и только тогда, когда истинным является хотя бы одно высказывание или же сразу оба. Если же оба высказывания а и b одновременно ложны, то и сложное высказывание (a v b) будет ложным.

Дизъюнкция (исключающая) a w b (ее называют также строгой) выражает утверждение о наличии только одной из двух ситуаций, выраженных высказыванием а или высказыванием в. Строгая дизъюнкция принимает значение “истина” только в двух случаях: 1) когда а истинно, a b — ложно, и 2) когда а ложно, a b — истинно.

Строгая дизъюнкция принимает значение “ложно”, если оба высказывания а и b одновременно ложны или одновременно истинны.

Импликация а ® b — это такое сложное высказывание, которое является ложным только в том случае, когда ее антецедент (идущий перед), выраженный высказыванием а — истинен, а консеквент (идущий за), выраженный высказыванием b, ложен. Во всех остальных случаях импликация а ® b является истинной. Антецедент мы будем называть также основанием импликации, а консеквент — следствием. Хотим сразу же предостеречь читателей от распространенной ошибки. Антецедент — идущий перед, понимается нами лишь в логическом смысле, так же как и консеквент. В языке же ситуация часто обратная. Мы начинаем с консеквента и переходим к антецеденту. Но в этом случае используем другой союз. Не “если — то”, а чаще всего “так — как”, “поскольку”. Почтамт закрыт, так как выключили свет. Здесь антецедентом, основанием импликации будет “выключили свет”, а консеквентом — “почтамт закрыт”.

Читатель может убедиться, что мы уже достигли больших успехов в смысле точности определений условий истинности и ложности сложных высказываний.

Союзы, соединяющие простые предложения в сложные, в естественном языке можно понимать в самых разных смыслах, и понимание одного человека часто не согласуется с пониманием другого. Отсюда возникают разногласия, споры из-за слов.

В логике высказываний логические связки (отношения) — конъюнкция, дизъюнкция (соединительная и исключающая), импликация (их еще можно назвать логическими функторами), имеют совершенно четкое, можно сказать, математическое определение.

Сказанное позволяет нам на основе таблицы 8 построить следующую таблицу 10.

Табл. 10

Мы построили таблицу для 4-х функторов. Возможны или нет другие функторы?

Можно подойти к этому вопросу чисто формально. Четыре функтора определены в зависимости от распределенности истинности и ложности в соответствующей колонке.

Возможны ли еще варианты? Читатель может сам подумать и эти варианты перечислить. Если он будет достаточно аккуратен, то у него получится еще 12 функторов.

Итоговая таблица, с помощью которой мы определим 16 логических отношений (функторов) между высказываниями, имеет следующий вид:

Табл. 11

Каждое из полученных нами новых отношений может быть обозначено новым знаком и термином, но мы этого в целом делать не будем, поскольку и 4-х отношений, определенных нами, вполне достаточно для наших задач.

Как мы построили таблицу? Сначала заполняли колонку 1 — все истинно: И, И, И, И. Далее допустили одну Л снизу и будем иметь еще четыре колонки, которые для удобства запишем в ряд: И И И Л (колонка 2); И И Л И (колонка 3); И Л И И (колонка 4); Л И И И (колонка 5). Теперь возьмем два значения Л. Если они берутся подряд, то будем иметь И И Л Л (колонка 6); И Л Л И (колонка 7); Л Л И И (колонка 8), а если врозь, то И Л И Л (колонка 9); Л И Л И (колонка 10); Л И И Л (колонка 11). Итого, имеем: 1+4+3+3=11 колонок. Теперь заменим везде Л на И и И на Л, будем иметь еще 11 колонок. Но среди них могут быть дубли. Будьте внимательны: Л Л Л Л (колонка 12); Л Л Л И (колонка 13); Л Л И Л (колонка 14); Л И Л Л (колонка 15); И Л Л Л (колонка 16). Дубли вычеркнем. Останется 5 новых вариантов. Следовательно, имеем 11+5=16 возможных колонок.

§ 2. Операции над сложными высказываниями.

Допустим, что у нас есть два сложных высказывания — конъюнктивное (а & b) и дизъюнктивное (a v b). Эти сложные, или молекулярные, высказывания состоят из атомарных высказываний а и b. Молекулярными высказываниями можно оперировать так же, как и атомарными. Получим суперсложные высказывания, например, ( а & b) w (a v b), которое можно преобразовать в высказывание (d w е), если заменить, соответственно, (а & b) на d, a (a v b) на е. Мы этого делать не будем, а сразу будем вычислять истинное значение сложной формулы.

Рассмотрим это на примере формулы (а & b) w (a v b).

Как определить истинность этого сложного выражения?

Построим совместную таблицу для формул а, b, (а & b), (a v b) и (а & b) w (a v b).

Табл. 12

Совершенно аналогично мы можем определить значение истинности сколь угодно сложных выражений, включающих сколь угодно большое число компонентов. Это, в общем, нетрудно сделать в том случае, если число атомарных формул (каждая из которых содержит один символ) не превышает двух, В случае трех атомарных формул ситуация несколько усложняется. Пусть, например, нужно вычислить функцию истинности формулы (а & b) v с. В этом случае у нас уже не четыре возможных распределений истинности и ложности между элементарными компонентами, как было в случае высказываний а и в, а восемь, поскольку нужно учесть две различные возможности для высказывания с. Число возможных комбинаций для двух высказываний равно 2² = 4, для трех 2³ = 8, для п элементарных высказываний 2ⁿ.

Построим таблицу истинности для формулы (а & b) v с. Здесь число комбинаций для трех переменных равно 8, поэтому в таблице для этой формулы будет 8 строк.

Табл. 13

a	b	c	а & b	(а & b) v с
И	И	И	И	И
И	Л	И	Л	И
Л	И	И	Л	И
Л	Л	И	Л	И
И	И	Л	И	И
И	Л	Л	Л	Л
Л	И	Л	Л	Л
Л	Л	Л	Л	Л

§ 3. Тавтологии. Законы мышления

Сложные формулы, вообще говоря, могут иметь разное значение истинности и ложности в зависимости от значений истинности и ложности их элементарных компонентов. Однако, могут быть такие сложные формулы, которые получают значение истинности независимо от того, какое значение истинности и ложности принимают атомарные высказывания. Вспомним диагноз, который поставил лекарь Богомол: “...пациент жив или он умер. Если он жив, он останется жив или он не останется жив. Если он мертв — его можно или нельзя оживить” (А. Толстой. Золотой ключик или приключения Буратино).

Такого рода диагнозы и прогнозы справедливо высмеиваются, поскольку они оказываются всегда истинными. Тем не менее, всегда истинные формулы, называемые тавтологиями, играют в логике весьма существенную роль. То, что выше было названо законами мышления, выражается с помощью тавтологий.

Возьмем закон противоречия, который запрещает одновременную истинность высказывания и его отрицания. Его можно выразить в виде следующей формулы:

⌐ (а & ⌐ а), что можно прочитать следующим образом: ложно, что а и не а.

Построим таблицу функций истинности для этого сложного высказывания.

Табл. 14

Итак, оказывается, что наше высказывание, выражающее закон противоречия, всегда истинно, к какому бы элементарному высказыванию а оно ни относилось. Плохо ли это?

Это хорошо и очень важно для нас. Закон противореч