Меркулов И.П. 

Онтологические основания математических и логических формализмов

Интенсивное развития за последние десятилетия  когнитивной науки (включая исследования в области искусственного интеллекта) создали достаточно надежные, экспериментально обоснованные теоретические предпосылки для разработки принципиально новых представлений, касающихся  онтологических оснований формальных наук – математики и логики. Благодаря выявлению  присущей человеческому мозгу информационной активности, проявляющейся в реализации его правым и левым полушариями различных доминирующих  стратегий переработки когнитивной информации, стало ясно, что математика и логика имеют непосредственное отношение не к каким-то структурам внешнего мира, а к работе когнитивной системы человека  –  к структурам управляемого нашим символьным (вербальным) сознанием знаково-символического (логико-вербального) мышления (функционирующего, естественно, в кооперации с мышлением пространственно-образным),  к  его способности генерировать идеальные понятия и концептуальные системы, к  аналитическим стратегиям этого мышления, которые мы можем  конструктивно оптимизировать. С учетом этого   математику, видимо, вполне оправданно рассматривать  не как науку о числе, пространстве и т.д., а как науку об идеальных    математических структурах, специальных формальных структурах нашего (неречевого) знаково-символического мышления, свойства которых она описывает с помощью аксиоматических теорий.

В формальные структуры математики включены такие идеальные (обозначаемые символами и их последовательностями)  концептуальные объекты, как, например, числа, множества, группы, функции, векторы, операторы, матрицы, интегралы и т.д., с которыми могут осуществляться формально заданные операции – сложение, умножение, преобразование, композиция, интегрирование и др.     Независимо от вида  символьной репрезентации концептуальных объектов – будь-то теоретико-множественные,  алгебраические и пр. символы, либо визуально представляемые символьные  изображения в виде геометрических фигур, графиков и т.д. – математика конструирует свои формальные структуры только с помощью своих  собственных  гипотез и правил преобразования  (а также формальных и неформальных  логических правил)[1]. Разумеется, это не означает, что математическое познание, являющееся продуктом эволюции знаково-символического мышления и символьного сознания, совершенно   не использует ресурсов пространственно-образного мышления. В силу межполушарной кооперации и «разделения труда» именно пространственно-образное  мышление  обеспечивает  (кроме всего прочего) наше общее целостное понимание смысла математических и логических формализмов. Оно также способно манипулировать образными репрезентациями  в  воображаемом идеальном трехмерном математическом пространстве.

 Как формальные системы математические теории непосредственно не приложимы к внешней,  «внемыслительной» реальности, и ничего о ней не говорят. Но они  применимы к этой реальности опосредованно – через применение к идеальным понятиям и концептуальным системам,  создаваемым нашей когнитивной системой, в которых заключены   наши эмпирически проверяемые знания, зафиксированы теоретические допущения и гипотезы эмпирических наук.  Математические формализмы позволяют извлечь из идеальных объектов эмпирических дисциплин  потенциально содержащуюся в них концептуальную информацию, т.е. новые знания о природных и социальных явлениях.  Исследуя функционирование механизмов, технических устройств и т.п. с помощью математических моделей,  мы можем вывести из них, вычислить ранее неизвестную концептуальную информацию, касающуюся их поведения в различных ситуациях,  сделать соответствующие расчеты, позволяющие улучшить их конструкции, их производительность, эффективность, экономичность и т.д.  Разумеется, научные и технические знания, полученные благодаря применению математических формализмов, подлежат эмпирическим (экспериментальным) проверкам, которые могут их подтвердить или опровергнуть. Но это не означает, что вместе с этими знаниями подобной эмпирической проверке подвергаются математические формализмы,  обеспечивающие их выведение.    В силу своей независимости от эмпирического опыта, относящегося к «внешней» реальности,  они не могут быть с его помощью доказаны или опровергнуты.

Математические формализмы не являются частью физических, химических, астрономических и пр. гипотез, они «нейтральны» по отношению к их содержанию и сами по себе не обладают специально-научным эмпирическим смыслом (интерпретацией). Математические формализмы могут быть частью  только математических теорий. Но почему мы тогда уверены, что математические формализмы действительно являются «описаниями природы» (например, уравнение Дирака) или «описаниями эволюции общества» (например, нелинейные уравнения)?

В нашей повседневной жизни мы широко используем математические  вычисления. Мы считаем вещи и предметы, подсчитываем прибыль или убытки, вероятность получения дохода при покупке  или продажи акций, сравниваем рыночные цены товаров, составляем бухгалтерские балансы, сметы расходов и т.д. Пересчитывая какое-то множество предметов, мы, однако, далеки от мысли, что число   является внутренне присущим им признаком.  Таким образом, в нашем обыденном познании  мы ограничиваемся лишь инструментальной функцией математических формализмов и не делаем далеко идущих выводов о внутренней «присущности» реальным физическим объектам  (вещам) свойств идеальных концептуальных объектов и формальных структур математики.

Однако в развитом научном познании исследователи-теоретики имеют дело  не с непосредственно, перцептивно воспринимаемыми физическими объектами, а с идеальными концептуальными системами (гипотезами, научными теориями, теоретическими моделями и т.д.), адекватность которых структурам физического мира может быть проверена только косвенным образом с помощью экспериментов. Поскольку и идеальные концептуальные системы научных знаний и математические (и логические) формализмы  - это «однопорядковые» структуры нашего знаково-символического (логико-вербального) мышления, то в высокоабстрактных областях  теоретического естествознания (например, в физике) математические теории (или их фрагменты) могут выступать не только как средство вычислений, но и как исключительно мощный когнитивный инструмент порождения новых научных понятий и идеальных концептуальных систем  конкретных научных дисциплин (или даже нескольких областей одной дисциплины)[2].    Приписывая  математическим понятиям  физические интерпретации (смыслы),  мы получаем возможность как бы «оседлать» формализм и путем его  преобразования  выявлять с его помощью ранее неизвестную концептуальную информацию. Формальная достоверность математических преобразований (выводов) лежит в основе нашей когнитивной уверенности в том, что полученные  в результате таких преобразований математические понятия (формулы) также должны иметь какие-то  физические смыслы. Благодаря способности генерировать новые научные понятия и концептуальные системы математические формализмы оказываются важнейшим структурным элементом  дедуктивной системы абстрактных научных теорий, они позволяют выводить следствия из их исходных и дополнительных гипотез, а также вычислять экспериментально проверяемые параметры (величины)[3]. Более того, в силу универсальности математических формализмов как идеальных структур  знаково-символического мышления они могут порождать не только понятийные каркасы отдельных научных теорий, но и концептуальные системы целого класса теорий, выступая по отношению к этим теориям в качестве базовых математических моделей. Примером  могут служить уравнение теплопроводности, волновое уравнение и уравнение Лапласа, составляющие основу математического аппарата классической физики[4]. И, наконец, функцию своего рода «синтаксиса», порождающей грамматики математические формализмы  выполняют  и по отношению к изолированным научным гипотезам и конкретным теоретическим моделям, а также в прикладных и технических дисциплинах, где широко  применяются приближенные методы вычислений.

История физики дает множество примеров, свидетельствующих о том, что формированию  каждой её новой области, возникновению каждой новой физической теории предшествовала разработка  соответствующих разделов математики. Без изобретения математического  анализа,  интегрального и дифференциального исчислений было бы невозможно создание  классической механики,  без теории вероятности – молекулярно-кинетической теории и вообще классической статистической физики, без векторного анализа – классической электродинамики Максвелла, без тензорного анализа – теории относительности, без теории гильбертовых пространств, матричной алгебры, теории линейных дифференциальных уравнений   – квантовой механики, без теории групп и обобщенных функций – теория элементарных частиц и т.д.  Причем создание новых математических теорий, как правило,  обусловливалось проблемами, совершенно  независимыми от положения дел в физике.

В формальных аксиоматических теориях математики  значения исходных терминов с самого начала не определяются, и они остаются неопределенными при выводе теорем из аксиом. Мы, поэтому, можем произвольно выбирать значения этих исходных терминов при одном только условии, что аксиомы останутся истинными. Но почему мы выбираем именно эти аксиомы, а не другие? Выбор диктуется прежде всего тем, приложима ли данная система к любым идеальным объектам, заданным извне в качестве интерпретации исходных терминов. Во многих случаях в качестве  интерпретации какой-либо системы аксиом берется система концептуальных объектов из какой-нибудь другой аксиоматической теории. Тогда вопрос сводится к значению этой другой аксиоматической теории. Но когда мы утверждаем, что какое-то конкретное предложение данной формальной аксиоматической теории является теоремой, и что оно истинно, то это означает лишь, что  это предложение вытекает из аксиом. Однако вопрос о том, что этому предложению соответствует в действительности и соответствует ли вообще, остается открытым, поскольку в формальной аксиоматике формальные выводы проводятся до какого бы то ни было приписывания значений исходным терминам. Неопределенность исходных терминов и нефиксированность операций составляют теоретическую основу универсальности математики и её языка, многообразия приложений математических формализмов как идеальных знаково-символических структур, обеспечивающих развертывание потенциальной концептуальной информации в понятийных системах самых различных дисциплин. Убедительным примером здесь может служить современная алгебра, в частности, абстрактная теория групп, система аксиом которой допускает существенно различные интерпретации – она обеспечивает извлечение новой когнитивной  информации из самых разнообразных концептуальных объектов, будь то античастицы (ядерная физика) или брачные отношения (социология). Таким образом, в силу идеальной и  сугубо  «ментальной» природы  математики язык формальных математических структур знаково-символического мышления универсален. Благодаря этому открываются возможности  для глубоких аналогий между различными областями математизированных дисциплин. Открытая, например, в свое время  Гамильтоном оптико-механической аналогии, сыгравшей впоследствии важную роль в создании квантовой механики,   была инициирована сугубо формальным подобием математического уравнения движения материальной точки в консервативном поле и уравнения лучевой оптики. Универсальность математических формализмов как идеальных структур нашего знаково-символического мышления обусловливает взаимосвязь различных разделов науки, а по сути дела и единство научного знания.

Разумеется,  во многих областях естествознания и особенно в  общественных и гуманитарных дисциплинах  гипотезы формулируются не на языке математики, а вербально, в словесной форме. Соответственно,  их дедуктивный аппарат включает главным образом  логические формализмы (законы логики). Это, однако, не означает, что в этих дисциплинах в качестве полезных эвристических инструментов вообще не привлекаются математические гипотезы, математические и компьютерные модели. Для их подключения  здесь обычно вводятся упрощающие идеальные допущения, которые, правда, не всегда оказываются по результатам эмпирических проверок достаточно реалистичными. Для современных социогуманитарных дисциплин характерна все увеличивающаяся инструментальная значимость математических моделей. Речь, конечно,  идет не только о прикладной социологии или экономических науках, широко использующих компьютерное моделирование (в том числе и динамических  процессов). В  антропологии, например, применение компьютерных моделей позволило установить,  что в силу анатомических особенностей гортани все виды древних гоминид, включая неандертальцев, в принципе не могли обладать способностью к членораздельной речепродукции. Подсчеты числа хромосомных перестроек и т.п. дали основания утверждать, что наш подвид Homo sapiens sapiens возник намного  раньше, чем предполагалось до недавнего времени (приблизительно 200-250 тыс. лет).   В истории и сравнительной социологии оказалось весьма продуктивным привлечение  статистических и иных математических моделей, которые сделали возможным, например, обнаружение   зависимостей между появлением цивилизаций и плотностью населения, между резкими  изменениями климата и экологическими катастрофами и социальной стабильностью, между возникновением сельскохозяйственного производства и ростом численности населения, между образом жизни охотников и собирателей и численностью первобытных человеческих популяций и т.д. Радиологический анализ позволяет довольно точно  датировать обнаруженные археологами ископаемые останки людей, предметов древних культур, сооружений  и т.д.  Трудно даже представить, каким бы был облик современных общественных наук, если бы они полностью исключали  привлечение прикладных математических гипотез.

 Поскольку математические формализмы обеспечивают выведение новой информации, потенциально содержащейся в концептуальных объектах эмпирических наук, то в условиях архаического, преимущественно образного мышления  возникает когнитивная уверенность в том, что эти формализмы суть структуры внешней реальности. Примером может служить «числовая парадигма» древних пифагорейцев, сформулированная в их известном тезисе: «Все есть число».  Конечно, мы можем «превращать» наши идеальные интеллектуальные инструменты  в некое «субстанциональное» знание о внешнем мире  только в силу того, что действительно мыслим с их помощью и мыслим достаточно эффективно. Отождествляя цель и эффективное интеллектуальное средство её достижения («магия цели»), архаическое мышление распространяет эту когнитивную установку  и на математические формализмы, ориентируя на поиск соответствующих коррелятов в структурах внешней реальности. Аналогичным образом дело обстояло и с логическими истинами,  которым на протяжении многих веков, начиная с Аристотеля,  приписывалась онтологическая интерпретация. Постепенная эволюция логико-вербального мышления (в кооперации с мышлением пространственно-образным) создала предпосылки для разрушения атавизмов древней «магии цели» и способствовала формированию всё более артикулированных эпистемологических представлений о наших интеллектуальных инструментах познания.

По-видимому, некоторые элементарные математические структуры врожденны в силу генетической детерминированности встроенных в нашу когнитивную систему относительно «низкоуровневых» аналитических стратегий знаково-символического мышления. В пользу этого также свидетельствуют результаты исследований интеллекта отдельных видов животных (в частности, птиц), обладающих зачатками  неречевого знаково-символического мышления, – как оказалось, они способны считать предметы (естественно, в весьма ограниченных пределах, как правило, не более десяти). История прикладной математики берет своё начало с простейших арифметических вычислений и геометрических построений, отвечавших сакральным и сугубо прозаическим, практическим целям. Изобретение языка символов и формул позволило (по крайней мере уже древневавилонским математикам) конструировать из простейших математических формализмов все более сложные и абстрактные, не заботясь о том, имеют ли они какое-либо прикладное значение. Развитие устной культуры и искусства аргументации в Древней Греции способствовало формированию теоретической математики, где впервые стали применяться  неформальные доказательства (с помощью геометрических построений, силлогистического типа и др.). Критерии неформальных доказательств эволюционировали на протяжении всей последующей истории математики, оставаясь при этом достаточно неопределенными. Даже интуиционистской математике, вопреки первоначальным планам Брауэра, так и не удалось разработать критерии абсолютного понятия конструктивного доказательства, а лишь его более слабые и более сильные версии. Только по отношению к формальным доказательствам, отвечающим жесткому набору требований, можно говорить о стандартах строгости, не зависящих от времени. Но ведь многие математические теории, в том числе такие «простые»,  как, например,  арифметика натуральных чисел, формально не аксиоматизируемы. По-видимому, любой перечень методов математического доказательства и принципов построения математических объектов всегда остаётся и должен оставаться неполным.  К тому же эти методы и принципы подлежат пересмотру и уточнению, поскольку возможность дальнейшего расширения и углубления конструктивных способностей человеческого мышления  ничем не ограничена (естественно, в пределах эволюции человека как биологического вида).

Таким образом, элементы гипотетичности, предположительности обязательно присущи математическим формализмам  как идеальным структурам знаково-символического мышления. Эпистемологический статус утверждений формальных наук ничем принципиально не отличается от статуса гипотез наук эмпирических, хотя  они и имеют прямое отношение к аналитическим стратегиям переработки информации, которыми мы (в отличие от природных и социальных процессов) можем непосредственно сознательно управлять (хотя бы частично) и которые мы в состоянии конструктивно оптимизировать. Конечно, появление современной вычислительной техники, её бурное развитие за последние десятилетия постепенно размывает функциональные границы  между искусственным и естественным интеллектом. В этой связи возникает много вопросов эпистемологического характера    Можно ли утверждать, например,  что эпистемологический статус (а точнее, степень достоверности)  математических утверждений, доказательство которых проведено с использованием современной вычислительной техники, не уступает утверждениям, полученным традиционным способом?

 В качестве формальных систем математические теории не обязательно должны быть наглядными или «интуитивно истинными» – наглядность и интуитивная достоверность не являются их критериями истинности. Достаточно лишь, чтобы эти теории были бы формально правильными, свободными от внутренних противоречий. В рамках формальной аксиоматики система аксиом может быть также исследована на предмет наличия таких свойств, как независимость какой-либо аксиомы от других, полнота, категоричность, и т.д. Традиционным способом проверки истинности, формальной правильности математических доказательств является их перепроверка другими математиками, сообщество которых выступает в роли окончательных «верховных» судей. Однако математики тоже люди, и они могут ошибаться – такие случае широко известны из истории научного познания. Формализация доказательств автоматизировала вычисления и тем самым создала предпосылки для конструирования современной вычислительной техники. Создание такой техники, в свою очередь, открыла новые возможности для проверки правильности математических  доказательств и их поиска компьютером. Первые попытки использовать ЭВМ для проверки и получения логико-математических доказательств были предприняты еще в 50-х гг. XX в. (программа «Логический Теоретик»). К настоящему времени эта область применения ЭВМ значительно расширилась, причем перечень проблем, решаемых только компьютером, постоянно пополняется.

 Одной из таких проблем, представляющей особый интерес для эпистемологии, является доказательство математических гипотез и решение задач, относящихся к категории необозримых. В таких случаях традиционные методы вычислений и  проверки полностью исключаются  – никакой исследователь не в состоянии ни провести требуемые вычисления «вручную», ни шаг за шагом повторить и перепроверить весь процесс доказательств или решений. Поиск необозримых доказательств и их верификация может быть осуществлен исключительно «искусственным интеллектом», компьютером. Поскольку доказательство в формальных дедуктивных системах является эффективным, т.е. существует некоторая механическая процедура, задающая последовательность выполнения тех или иных действий (алгоритм), которая позволяет проверить, будет ли полученная последовательность формул правильно построенным выводом или нет, то задача проверки правильности формального доказательства, представленного в виде текста, оказывается алгоритмически разрешимой и может быть реализована на компьютере. Перепроверку формальных доказательств в принципе может выполнить любой компьютер, удовлетворяющий соответствующим  системным требованиям и обладающий нужными вычислительными характеристиками. Таким образом, в случае формального вывода  полученные результаты оказываются независимыми от конкретного типа компьютера. Более того, обнаружилось, что эти результаты также независимы и от программы, обеспечивающей получение формального вывода, и даже от языка программирования, который был использован для написания исходной программы. Сложнее дело обстоит с проверкой правильности программ.

Компьютер представляет собой физическое устройство, состоящее из электронных микросхем, материальных накопителей информации, оборудования для её ввода и вывода и т.д., которое обеспечивает его функционирование как логического устройства, позволяющего представить доказательства в виде формальных выводов в некоторой дедуктивной системе и зафиксировать эти выводы на материальных носителях информации. Работоспособность аппаратных средств, отсутствие у оборудования ошибок и сбоев в работе можно проверить с помощью соответствующих тестирующих программ, перепроверки результатов тестовых вычислений на других компьютерах и т.д. Если работоспособность  компьютера как физического и логического устройств сомнений не вызывает, то для проверки правильности необозримых доказательств и решений остаётся лишь убедиться в правильности соответствующих программ. На практике правильность программы (алгоритма) выявляется на этапе её прогона и проверки с помощью специальных тестов, подбор которых во многих случаях представляет собой далеко не тривиальную задачу. Такое тестирование, по-видимому, носит сугубо теоретический характер, так как в ходе него соотносятся два теоретических продукта – программа и полученные с её помощью результаты вычислений. Однако положительные тесты все же не могут гарантировать отсутствие логических ошибок в программе и служить доказательством её правильности. Проблема сдвигается в плоскость традиционных методов, поскольку удостовериться в формальном выполнении алгоритма и тем самым доказать формальную правильность программы может только человек. Рассматривая текст программы как статический математический объект, на который распространяются аксиомы и логико-математические правила вывода, разработчик должен «вручную» воспроизвести действия, строго соответствующие имеющемуся алгоритму. Если для создания программы был использован язык с обозримым алфавитом, то доказательство правильности программы оказывается обозримой процедурой и осуществить его не представляет особого труда. Обозримая программа в принципе способна совершить необозримое число шагов, проверить и вывести сколь угодно длинные формулы. Если же текст программы необозримый, то доказательство правильности такой программы оказывается задачей алгоритмически неразрешимой (так как вопрос о завершении, остановке произвольного вычисления остается открытым), которая   не может быть реализована на компьютере. Понятно, что только в случае обозримости используемых программ, а также при наличии формального вывода в некоторой формальной дедуктивной системе степень строгости и эпистемологический статус математических утверждений, доказательство которых проведено с использованием современной вычислительной техники, нисколько не уступает результатам, полученным традиционным способом[5].

 

Онтологические корреляты логики как формальной науки.

Несмотря на то что логика возникла еще в IV в. до Р.Х.,  и её методы на протяжении столь длительного исторического периода  менялись, основная задача этой науки в общем и целом существенно не претерпела изменений – она всегда исследовала и продолжает исследовать то, как из одних утверждений логически выводятся другие утверждения. Логика исходит из предположения, что логический вывод зависит только от «формы», т.е. от способа связи входящих в него утверждений и их структуры (строения), а не от конкретного содержания этих утверждений. Современная неклассическая логика не внесла в этот подход каких-либо принципиальных изменений – все её разделы и направления также игнорируют конкретное концептуальное содержание высказываний (умозаключений) и оперируют только с их логической формой, структурой. Логика, как и математика, не является опирающейся на эксперимент эмпирической наукой (наподобие физики) и в силу этого  не может быть отображением каких-то «наиболее общих отношений реального мира» или «реального положения дел в физическом мире». Она также имеет непосредственное отношение лишь к нашему знаково-символическому мышлению, а точнее к его разновидности – мышлению логико-вербальному. Логика – это наука об идеальных,  формальных логических структурах вербального мышления, принудительная сила которых вытекает из их тавтологичности. Формулы, представляющие любой логический закон, всегда истинны, независимо от каких-либо интерпретаций переменных. Все законы логики являются логическими тавтологиями, которые нельзя подтвердить или опровергнуть никаким опытом. Конечно, логические тавтологии «пусты» в том смысле, что они не содержат когнитивной информации о внешнем мире. Но эти формализмы содержат информацию об идеальном, «правильном»  вербально репрезентируемым   мышлении, о правилах этого мышления, которые обеспечивают трансляцию истинностных значений от посылок к заключениям. Благодаря этому они позволяют выявить скрытую, потенциально содержащуюся в концептуальных объектах,  когнитивную информацию.

Мы начинаем пользоваться логикой как инструментом нашего знаково-символического мышления  практически с того момента, как начинаем говорить. Нетрудно, однако,  заметить, что многие люди способны мыслить и рассуждать логически правильно (по крайней мере в простых случаях) сугубо интуитивно, не обладая какими-либо детальными знаниями о законах логики. И это неудивительно, так как в человеческих популяциях с относительным доминированием знаково-символического мышления имеется генетически врожденная предрасположенность к использованию преимущественно аналитических стратегий переработки когнитивной информации. Такие логические правила, как modus ponens  и modus tollens, по-видимому, являются алгоритмами  мыслительных программ и метапрограмм,  которые оказались включенными в арсенал  некоторых «встроенных» в нашу когнитивную систему аналитических стратегий. Разумеется, эти мыслительные программы  (также как и достаточно развитый естественный язык) не возникают в окончательном и готовом виде одновременно с появлением подвидов Homo sapiens и в этом смысле не являются нашим древнейшим филогенетическим наследием, как, например, перцептивное восприятие или пространственно-образное мышление.  Они формируются вместе с соответствующими когнитивными структурами  в ходе биологической,  когнитивной и культурной эволюции человеческих популяций, эволюции естественного языка, символьного (вербального) сознания, памяти и т.л.  в процессе   постепенной смены доминирующего пространственно-образного мышления мышлением преимущественно знаково-символическим (логико-вербальным). С этой, эволюционно-когнитивной  точки зрения,  нет и не может быть никакой «общечеловеческой логики», также как и нет «человека вообще», независимо от той или иной стадии биологической,  когнитивной и культурной эволюции отдельных человеческих популяций.

Эволюция логико-вербального мышления в особенности тесно сопряжена с эволюцией символьного (вербального) сознания, которое позволило  людям управлять  «встроенными» аналитическими стратегиями и соответствующими мыслительными схемами,  оперировать  ментальными репрезентациями (в словесном формате) независимо от содержащейся в них конкретной концептуальной  информации. Благодаря этому у человечества открылись принципиально новые когнитивные возможности конструировать идеальные логические схемы рассуждений (формализмы) и использовать их для извлечения из концептуальных объектов новой информации. Характерно, что само возникновение логики как науки неразрывно связано с определенным этапом когнитивной эволюции не всех без исключения, а только некоторых человеческих популяций. Оно   стало реально возможным лишь благодаря широкому распространению вербальной формы культурно-информационного контроля окружающей среды и  архаической магии слова. Если с помощью «истинного» слова нельзя «овладеть» окружающим миром, то незачем тогда исследовать, при каких условиях одни высказывания «безошибочно» выводятся из других высказываний!

Итак, логика изучает идеальные,  формальные структуры логико-вербального мышления (как разновидности мышления знаково-символического), которое (в кооперации с мышлением пространственно-образным) подлежит когнитивной эволюции. Создание идеальных  мыслительных схем, а затем использование для обозначения соответствующих структурных «формальных" единиц общепринятого в математике языка символов и формул, а также математических методов  и т.д. – все это  позволило конструировать абстрактные   логические исчисления. Но отсюда ясно, что по отношению к нашему целостному мышлению, функционирование которого основано на тесной кооперации и взаимодействии правого и левого полушарий,  все тавтологии любых логических исчислений с эпистемологической точки зрения  могут рассматриваться только как идеальные схемы, гипотезы. Именно поэтому логические выводы, осуществляемые в соответствии с формальными схемами,  далеко не всегда согласуются с нашим интуитивным пониманием  и влекут за собой появление парадоксов. Непонимание того обстоятельства, что логика – это не эмпирическая «наука о мышлении», а наука об идеальных,  формальных структурах нашего логико-вербального мышления, которая в силу идеального, а следовательно, и гипотетического характера своих допущений не всегда обязана следовать за нашей интуицией, за нашем интуитивным пониманием «правильного мышления» или «правильного умозаключения», нередко влечет за собой незаслуженную критику логических формализмов. В недалеком прошлом  оно приводило   к сугубо схоластическим попыткам разработать какие-то «логики» (типа «диалектической логики»[6]), «законами» которых были бы отрицания логических законов (например, закона противоречия или закона исключенного третьего).

Конечно, наше мышление в целом не охватывается логикой, так как мы мыслим не только в соответствии с логическими правилами и формальными схемами, но и с помощью  множества идеальных схем нелогического характера  – причинно-следственные  отношения, математические правила, эмпирические обобщения, извлеченные из  обыденных знаний, гипотезы и допущения эмпирических наук и т.д.  Кроме того, мы активно привлекаем ресурсы нашего пространственно-образного мышления, которое использует неаналитические стратегии переработки когнитивной информации, – оно обеспечивает целостное понимание (а это – важнейший аспект мышления), дарит нам творческое озарение, позволяет  открыть новые знания, и т.п. Наш естественно развивающийся язык   хорошо адаптирован к взаимодействию систем правого и левого полушарий, и от него было бы нелепо ожидать  свойств, приемлемых только для искусственных, формализованных языков. Всё это, однако, не умаляет значения логики. Символьная  формулировка логических формализмов помогает нам явным образом и с гораздо большей  точностью использовать их в качестве составной части нашего интеллектуального, мыслительного арсенала. Изучение логики как теории формального мышления помогает укрепить и расширить наши врожденные аналитические способности. Хотя наши врожденные способности к аналитическому мышлению, позволяющие «интуитивно» обнаруживать верные аргументы, скорее всего не возрастают в результате изучения логики, все же нельзя отрицать, что в ходе такого изучения увеличивается возможность проверить правильность  рассуждений. Люди могут сознательно (или неосознанно, по неведению) нарушать законы логики (как и правила грамматики), которые имеют силу независимо от нас. Но если в случае  грамматических ошибок мы рискуем оказаться непонятыми собеседником (что, конечно,  приводит  к недоразумениям), то незнание законов логики может повлечь за собой ошибочные выводы и поступки, т.е. неадекватное, неадаптированное поведение.

Итак, математические и логические формализмы имеют непосредственное, прямое отношение только к нашему левополушарному знаково-символическому (логико-вербальному) мышлению. В отличие от мышления пространственно-образного это мышление людей по своей когнитивной природе является филогенетически «вторичным», оно использует «вторичное», символьное  кодирование мысли и порождает идеальные понятия и концептуальные системы, оперируя своими репрезентациями  с помощью аналитических стратегий.   Как идеальные и формальные структуры знаково-символического мышления математические и логические теории применимы к «внемыслительной» реальности только косвенным образом, опосредовано – через применение к нашим эмпирическим знаниям, теоретическим допущениям,  гипотезам и теориям. Математические (и логические) формализмы позволяют выявить,  развернуть огромный массив скрытой, потенциально содержащейся в теоретических объектах эмпирических наук концептуальной информации, они дают возможность вычислить эмпирически проверяемые параметры и величины, получить новые следствия из научных теории и гипотез и т.д., а в абстрактных, математизированных областях естествознания выступают и как инструмент порождения новых научных понятий и концептуальных систем.   

Отталкиваясь от результатов исследований когнитивных типов мышления, эволюционно-информационная эпистемология дает ясное понимание несостоятельности как  наивно реалистических, так  и     инструменталистских взглядов на когнитивную природу математических и логических формализмов. Наивный реализм постулирует наличие  истоков математических и логических формализмов в структурах и корреляциях окружающего нас внешнего мира. Он  апеллирует к перцептивно воспринимаемым признакам  реальных объектов, относительно которых  мы должны заранее обладать знанием, позволяющим нам решить, от каких из них нам  следует абстрагироваться и какими идеальными свойствами и отношениями  эти объекты  необходимо  «наделить».  Понятно, что  без точного выбора и спецификации требуемых идеальных свойств и отношений мы не знаем и в принципе не можем знать границ абстрагирования от  бесконечной совокупности всех признаков  реальных объектов.   Таким образом, процедуры абстрагирования и идеализации должны обязательно базироваться на каких-то (в том числе и  неявно принимаемых) гипотезах – математических или специально-научных.   В математизированном научном познании выбор идеальных признаков определяется подключаемыми к концептуальной структуре теорий математическими формализмами, математическими понятиями и моделями, которые порождают  соответствующие идеальные объекты и концептуальные системы. Именно в результате такого подключения   в  структурах физических теорий генерируются  такие понятия, как, например, материальная точка, идеальный газ, абсолютно черное  тело и т.д. Об их  правомерности и адекватности  можно судить лишь на основании результатов эмпирических (экспериментальных) проверок научных теорий.

В отличие от наивного реализма инструментализм базируется на  предпосылке, что математические и логические  формализмы представляют собой лишь сугубо интеллектуальные орудия  для вычислений и выведения следствий, и что им ничего «не отвечает» в окружающей нас реальной действительности.  Конечно, математические и логические формализмы непосредственно не имеют прямого отношения к внешнему миру, а только к работе нашей когнитивной системы, к нашему левополушарному, знаково-символическому мышлению. Но необходимо учитывать, что  и наша когнитивная система в целом и наше знаково-символическое   мышление (также как и работающее в тесной кооперации с ним наше правополушарное пространственно-образное мышление) относятся к тому же типу  объективной  реальности, как и окружающая нас действительность. Когнитивные способности людей (включая мышление,  сознание, память, а также их  интегральная характеристика - интеллект ) имеют информационную природу, они являются  продуктом  продолжающейся биологической (когнитивной)  и культурной эволюции человеческих популяций.