Идея внутренней геометрии

Андрей Родин

Идея внутренней геометрии<= /span>

Введение=

Математиче&= #1089;кие идеи оказывают огромное вл = 80;яние не только на естественнm= 9;е науки, но и на человеческl= 6;е мышление в целом, в том ч&= #1080;сле и на практическl= 6;е мышление. Пр= 080; этом часто оказываетсn= 3;, что математичеl= 9;кие конструкциl= 0;, которые кажутся свободными = 90;ворениями человеческl= 6;го ума и фантазии, оч= 077;нь быстро находят применение = 74; естественнm= 9;х науках и технике. Вигнер назвал этот = 092;еномен, указывающиl= 1; на неразрывнуn= 2; - хотя l= 0; неочевиднуn= 2; и часто совершенно неожиданнуn= 2; - связь математики = 80; опыта “непостижиl= 4;ой эффективноl= 9;тью математики в естественнm= 9;х науках” (1). Какова природа это = 81; связи? Нам представляk= 7;тся, что объяснение этой загадк = 80; состоит в том, что математика укоренена в опыте с само= 075;о начала, то есть что фундаментаl= 3;ьные математичеl= 9;кие понятия (например, понятие числа) имеют эмпирическl= 0;й характер. Такая укорененноl= 9;ть означает, чт= 086; вне опыта эт= 080; понятия не и= 084;ели бы никакого смысла, были бы совершен = 85;о непонятны, т= 086; есть не были бы понятиям = 80;. Представим себе совершенно хаотическиl= 1; мир (можно подумать о пламени), в котором нич = 77;го нельзя сосчитать, который совершенно = 84;еняется каждое мгновение, в котором нет памяти и в котором нельзя выделить никаких “шт = 91;к” и “разов”. В таком мире понятие числа не име= 083;о бы никакого смысла, и значит, не могла бы существоваm= 0;ь арифметика. Гельмгольц = 76;остаточно убедительнl= 6; (хотя, может быть и черес= 095;ур формально, н= 077; до конца выявляя пре = 76;посылки собственныm= 3; рассуждениl= 1;) показал, что евклидова геометрия основана на нашем опыте твердых тел: в жидком мир= 077; такая геоме = 90;рия бессмысленl= 5;а (2)= . Если допустить, что математичеl= 9;кие понятия имеют эмпирическm= 1;ю природу, то “&#= 1085;епостижима= я эффективноl= 9;ть математики̶= 1; не покажетс= 03; такой непостижимl= 6;й, поскольку это будет означать, чт= 086; математичеl= 9;кая теория связ = 72;на с миром опыт= 072; всегда и везде, а не то&= #1083;ько в те особые моменты, когда эта теория “при = 84;еняется” в какой-либо эмпирическl= 6;й области. Вопрос о специфике такого “применениn= 3;” является важным и требует внимательнl= 6;го разбора, однако, на наш взгляд было бы сове= 088;шенно неправомерl= 5;о предполагаm= 0;ь, что эти “при= 084;енения” составляют единственнm= 9;й способ контакта математики = 89; миром опыта. Этот вывод покажется тем более убедительнm= 9;м, если мы принять во внимание то обстоятельl= 9;тво, что сами математичеl= 9;кие теории очен= 00; часто формируютсn= 3; под влияние = 84; конкретных = 87;рактически&#= 1093; задач (например, землемерныm= 3; и пр.) “Непостижиl= 4;ая эффективноl= 9;ть математики̶= 1; состоит в том, что эти теории обычно имею = 90; гораздо более широкое значение, в том числе и в смысле возможных практическl= 0;х применений, чем решение той практическl= 6;й задачи (или того класса практическl= 0;х задач), с которой эта теория первоначалn= 0;но могла быть с= 074;язана. Это, однако, означает не то, что матем&#= 1072;тика может обойтись бе = 79; опыта, а только то, что математика связана с опытом настолько глубоко, что эта связь не может быть заранее ограничена указаниями на конкретные = 87;рактически&#= 1077; задачи.

Одно из основных возражений против эмир = 80;ческого характера математичеl= 9;ких понятий связано с именем Кант = 72;, который считает математику априо= 088;ной. Априорностn= 0; математики не означает, что она не связана с опытом или слабо связана с оп= 099;том. Априорностn= 0; математики означает, чт= 086; сам опыт подчиняетсn= 3; математичеl= 9;ким законам, которые поэтому должны в каком-то смы= 089;ле предшествоk= 4;ать опыту - если не генетическl= 0;, то логическ = 80;. Аргумент Канта основан на следующем с = 86;ображении: всякий опыт конечен и относителеl= 5;, а математик = 72; претендует на нео= ;бходимость своих выводов, то есть на то, что ее утверждениn= 3; истинны всегда и везде. Например, мы можем всю жизнь складывать спички и все же никогда таким образом не докажем наверняка, что взяв два раза по две спички мы по= 083;учим четыре спички; поэтому, говорит Кан = 90;, 2х2=3D4 это априорная истина, которую мы только обна = 88;уживаем с помощью спичек, которые даю = 90; нам эмпирическl= 0;й материал, чтобы эту истину обнаружить. Конечно, кажется нел = 77;пым считать 2х2=3D4 индуктивноl= 1; гипотезой вроде гипотезы все лебеди белы - поскольку нетрудно представитn= 0; себе черног = 86; лебедя, даже если такого = 080; не доводило = 89;ь видеть, а вот можно ли придать нетривиальl= 5;ый смысл утвер = 78;дению 2х2=3D5 - эт = 86; по меньшей мере неочев = 80;дно (и можно допустить, что это вообще нево = 79;можно сделать). Тем не менее, нет достаточныm= 3; оснований понимать необходимоl= 9;ть математичеl= 9;ких выводов так, как это дела= 077;т Кант - в абсолютном = 80; вневременнl= 6;м смысле. Конечно, математичеl= 9;кие теории не меняются та = 82; же быстро, как наши чувственныk= 7; впечатлениn= 3;, однако нет ничего нелепого в том, чтобы считать, что они возникают, и= 079;меняются и исчезают в пространстk= 4;е и времени наряду с людьми, лебедями, книгами, языками, городами и традициями. Кажется, со времени Канта идея вечной истины сильно утратила популярносm= 0;ь, и напротив, возникло понимание того, что изменчивосm= 0;ь науки является такой же фун= 076;аментально&= #1081;, как и изменчивосm= 0;ь мира. (Более того - это уже наша гипотеза, которую зде = 89;ь невозможно развивать подробно - эту динамик = 91; совершенно необязателn= 0;но понимать в смысле бесконечноk= 5;о прибл= ижения к вечной истине, пользуясь п = 86; сути тем же г&#= 1077;ометрическ= им образом, который мог иметь ввиду Платон, дума= 103; о гончаре, пытающемся сделать тар = 77;лку как можно более круглой. Конечно, иде= 103; бесконечноk= 5;о приближениn= 3; знания к веч= 085;ой истине делает само знание если = 080; не вечным, то по крайней мере долгосрочнm= 9;м или даже “бессрочныl= 4;” проектом. Однако это н= 077; единственнm= 9;й способ, которым можно обеспечить = 90;акую бессрочносm= 0;ь. Кроме того, определеннk= 2;я “устойчивоl= 9;ть”, которой, по-видимому, должно обладать всякое знание, не обязательнl= 6; предполагаk= 7;т неизменносm= 0;ь и отсутстви = 77; всякой динамики.)

Есл = 80; же отказаться от идеи о том, что корректные математичеl= 9;кие рассуждениn= 3; должны быть необходимыl= 4;и в абсолютно = 84; и вневременнl= 6;м смысле, то вывод Канта об априорно = 84; характере математики лишается убедительнl= 6;сти.

Вопрос о внутренней геометрии, который мы р= 072;ссмотрим ниже, имеет к кантовскомm= 1; априоризму особое отношение (н= 072; что указывали многие, в частности, Рейхенбах (3)). Кант считае = 90; пространстk= 4;о априорной формой, определяемl= 6;й геометрией этого прост = 88;анства (естественн = 86; думать, что Кант имел в виду евклид = 86;ву геометрию). Внутренний подход, впервые пре = 76;ложенный Гауссом (4), состоит, грубо говор= 03;, в том, что пространстk= 4;о как целое вообще не является данным и опр= 077;деленным, а вместо этого рассматривk= 2;ется движущийся наблюдателn= 0;, который на основании локальных измерений и наблюдений делает выводы о том, в каком пространстk= 4;е он находитс= 03; и какова геометрия этого пространстk= 4;а. Кажется заманчивым считать эту конструкциn= 2; моделирующk= 7;й ту ситуацию, в которой на самом деле находятся исследоватk= 7;ли реального пространстk= 4;а, геометрия которого, таким образом, оказываетсn= 3; эмпирическl= 0;м фактом о мире. Мы увидим, однако, что ситуация на самом деле н= 077; такая простая, и что конструкциl= 0;, используемm= 9;е при внутреннем подходе в геометрии, обязательнl= 6; также предп = 86;лагают и некоторое внешнее заранее зад = 72;нное пространстk= 4;о. Тем не менее, нет необход = 80;мости вслед за Кантом считать геометрию этого внешнего пространстk= 4;а фиксированl= 5;ой и жестко связанной с нашим рассудком - г&#= 1086;раздо естественнk= 7;е думать о ней как о гипоте= 079;е, которая может быть заменена на другую, если это позволи = 90; построить лучшую теорию.

В следующих двух разделах этой работы мы попытаем = 89;я эксплицироk= 4;ать идею внутренней геометрии, а затем укаже = 84; на некоторы = 77; метафизичеl= 9;кие следствия, которые, кроме проче = 75;о, могут иметь важное практическl= 6;е и эпистемол = 86;гическое значение.

История про плоскатикоk= 4;

Представим себе нарисованнm= 9;х на листе бум= 072;ги плоск= атиков - плоских человечков, которым дан = 72; способностn= 0; двигаться в пределах этого листа. Допустим, чт= 086; тела плоскатикоk= 4; (как и наши тела в нашем мире) непроницаеl= 4;ы друг для друга (то есть, что они не могут сме= 096;иваться как жидкости), и что они подобно наш = 80;м телам могут хотя бы приблизитеl= 3;ьно сохранять свою форму. Что бы мы почувствовk= 2;ли, если бы оказались н = 72; месте плоскатикоk= 4;, и что бы мы смогли узнать о сво= 077;м мире? Двигаясь по прямой (из любого мест = 72; в любом направлениl= 0;) плоскатик дойдет до кр= 072;я листа и так узнает, что его мир имее= 090; границу. Двигаясь вдоль границы и не поворачиваn= 3; назад, он в какой-то момент поймет, что п&#= 1088;оходит один и тот же путь многократнl= 6; (если он умеет идентифициl= 8;овать свое местоп = 86;ложение и обладает памятью).

История становится более интересной, когда мир плоскатикоk= 4; перестает быть плоски = 84;, хотя и остается двумерным. Предположl= 0;м, что плоскатик нарисован н = 72; поверхностl= 0; шара. Тогда, двигаясь по = 89;тоянно в одном и том же направлениl= 0;, он не обнаружит границы, но опять в какой-то мом= 077;нт наткнется н = 72; собственныk= 7; следы. Возмо= 078;ны и более сложные эксперименm= 0;ы. Предположиl= 4;, что начиная движение вперед из А, плоскатик в какой-то момент возвращаетl= 9;я в А. После этого плоскатик поворачиваk= 7;т, например, направо, и опять идет прямо, пока снова не окажется в А (в третий раз). Если плоскатик нарисован н = 72; шаре, он по дороге в А непременно еще раз наткнется н = 72; свои старые следы. Если же он нарисован н = 72; торе (поверх= 085;ости бублика), то этого может не произойт = 80;. Так, путешествуn= 3;, плоскатики могут много = 77; узнать о своем мире (рис.1).

Рис. 1 (5)

Э= 090;а история был = 72; придумана Edwin’ом A. Abbott’о= 084; в 1882 году<= /span> и названа автором “многомернm= 9;м романсом” (Flatland: A Romance of Many Dimensions) (6). Однако, как представляk= 7;тся, самое интересное = 74; этой истори = 80; это не идея многомерноk= 5;о пространстk= 4;а. Аналогичныk= 7; эксперименm= 0;ы могли бы производитn= 0; существа, живущие в пространстk= 4;ах любого числ = 72; измерений, например, жи= 074;ущие на линиях или живущие в трехмерных пространстk= 4;ах вроде нашег = 86;. Самой важно = 81; для нас в рассказаннl= 6;й истории явл= 03;ется та идея, что на некоторы = 81; геометричеl= 9;кий объект можн = 86; посмотреть не извне и не “ниоткуда”, как этому учат в школе, когда рассказываn= 2;т про треугольниl= 2;и, круги, шары, пирамиды и т.д., а и&#= 1079;нутри, представив себе, что данный объект является дл= 03; нас миром, в котором мы живем. В этом и состоит идея внутренней = 75;еометрии.

Попробуем проанализиl= 8;овать рассказаннm= 1;ю историю подробнее. Как я уже сказал, пред= 087;оложение о том, что плоскатики живут в мире &#= 1076;вух измерений н = 77; существеннl= 6; (по крайней м&#= 1077;ре для наших настоящих целей). Важными мне представляn= 2;тся следующие три обстоят = 77;льства.

(1) Главный герой истории - это Наблюдателn= 0;, Перспективk= 2;, Точка Зрени= 03; или Я. (Математиче = 89;ки это - локальная система координат; см. пункты 2 и 3 ниже.) Чтобы понять смыс = 83; рассказаннl= 6;й истории необходимо отождествиm= 0;ь себя с одним из плоскатикоk= 4;, встать на точку зрени= 03; плоскатика. Однако важн = 86; одновременl= 5;о сохранить и “обычную” точку зрени= 03;, которая по отношению к плоскому миру является внешней точкой зрения всевидящегl= 6; ока. Мы видим шар, по поверхностl= 0; которого ползают пло = 89;катики, и заранее знаем, кудk= 2; и как они могут доползти, и одновременl= 5;о мы пытаемся поставить себя на мест= 086; плоскатика, спрашивая, как много из того, что уже знаем мы о плоском мире (например, что этот мир представляk= 7;т собой сферу), сможет узнать плос = 82;атик, не подозреваюm= 7;ий и том, что такое треть = 77; измерение. Т= 086; есть чтобы понять рассказаннm= 1;ю историю нужно не про= 089;то встать на внутреннюю точку зрени= 03;, но нужно научиться свободно переходить от внутренн = 77;й точки зрени= 03; к внеш= ;ней и наоборот (7). Разумеется, все, что касается внешней точки зрени= 03;, относится к внешн= 077;й, а не внутренней геометрии. Н= 086; это значит т= 086;лько то, что идея внутренней геометрии н = 77; существует сама по себе. Идея состои = 90; не просто в том, что вводится какая-то новая геоме = 90;рия, а в том, что пр= оводится различие между внутренней = 80; внешней геометрией. Внешняя геометрия - это геометр = 80;я пространстk= 4;а, в котором находятся лист бумаги, сфера, тор или любая другая пове = 88;хность, на которой живут плоскатики (8). Кстати, это обстоятельl= 9;тво объясняет, почему идею внутренней геометрии легче всего иллюстрироk= 4;ать именно на примере двумерного мира. Причин= 072; состоит в том, что в качестве внешней в эт= 086;м случае можн = 86; взять “обычную” (евклидова) геометрию трехмерногl= 6; пространстk= 4;а, которую мы привычно считаем геометрией нашего повс = 77;дневного мира. Кроме того, если иметь в виду метри= 095;еские свойства, то случай минимальноl= 1; размерностl= 0;, когда такие свойства могут оказаться в = 85;утренними, то есть не зависящими от внешнего пространстk= 4;а и способа вложения внутреннегl= 6; пространстk= 4;а во внешнее - э&= #1090;о как раз случай, когд= 072; внутреннее пространстk= 4;о является поверхностn= 0;ю: все линии в м&#= 1077;трическом смысле эквивалентl= 5;ы прямой лини = 80; и “форма” линии полностью определяетl= 9;я способом ее вложения во внешнее про = 89;транство (9)= . Однако если иметь в виду более простые и бо= 083;ее фундаментаl= 3;ьные топол= огические свойства, то это не так: окружность или любая линия с самопересеm= 5;ениями топологичеl= 9;ки не эквивалентl= 5;а прямой. (Топологиче = 89;кие свойства более фунда = 84;ентальны, чем метрическиk= 7; в том смысле, что всякая метрика индуцирует топологию, н= 086; не всякая топология метризуема.) Историческl= 0; же идея внутренней геометрии была предло = 78;ена Гауссом именно в связи с метрическиl= 4;и свойствами поверхностk= 7;й и развита Ри= 084;аном (10= ) в связи с метрическиl= 4;и свойствами пространстk= 4; произвольнl= 6;го количества измерений. Переход от метрическиm= 3; свойств к топологичеl= 9;ким заставляет также отказаться = 86;т идеи Римана = 086; том, что внутренняя геометрия является сугубо лока = 83;ьной, то есть действующеl= 1; только в некоторой бесконечно малой окрестностl= 0;. Топологичеl= 9;кие свойства пространстk= 4;а являются од = 85;овременно глобальнымl= 0; и, как мы видели, внут= 088;енними. Как внутренний подход связ = 72;н с локальностn= 0;ю, мы подробне = 77; проанализиl= 8;уем в следующих двух пункта = 93;.

(2) Различие между внешней и внутренней точкой зрения состоит не только в том, что внешний наблюдателn= 0; наблюдателn= 0; наблюдает и = 79;вне, а внутренни = 81; - изнутри. Существеннm= 9;й момент состоит и в том, что внешний наблюдателn= 0; неподвижен, = 072; внутренний движе= 090;ся. Как мы видел= 080; из приведенныm= 3; примеров, уз= 085;ать что-то о своем мире внутренний наблюдателn= 0; может тольк = 86; путешествуn= 3;, а не просто с&#= 1086;зерцая свой мир изнутри. Внешнему же наблюдателn= 2; достаточно чистого созерцания. = 061;отя мы на самом деле не може= 084; посмотреть на шар одновременl= 5;о со всех стор= 086;н и увидеть вс= 102; поверхностn= 0; шара сразу, о&#= 1073;ычная стереометрl= 0;я абстрагируk= 7;тся от этого обстоятельl= 9;тва: считают, что шар вместе с= 086; своей поверхностn= 0;ю целиком дан в пространстk= 4;е. Заметим также, что внутренний наблюдателn= 0; обязательнl= 6; должен обладать памятью - в противном случае он ничего не сможет извл = 77;чь из своих путешествиl= 1;, поскольку у него не останется о = 90; них никаких воспоминанl= 0;й. На самом дел= 077; память необходима внутреннемm= 1; наблюдателn= 2; и во время путешествиn= 3;: иначе он не сможет вспомнить, проходил ли он через данную местность раньше или ж= 077; оказался та = 84; впервые; натолкнувшl= 0;сь на собствен = 85;ые следы, он не сможет вспомнить, что это имен= 085;о его следы, и т.д. Внешнему же наблюдат = 77;лю память, вообще говоря, не нужна, поско= 083;ьку в единственнm= 9;й момент времени он видит сразу все, что вообще способен увидеть. Гов= 086;ря другими словами, время, движение и память существеннm= 9;м образом участвуют в = 86; внутренних наблюденияm= 3;, и не участвуют в = 86; внешних наблюденияm= 3; (11).

Кроме того в приведенныm= 3; примерах было сущест = 74;енно, чтобы наблюдателn= 0; был пр= ;обным и его наблюдения воспроизвоk= 6;ились при некотор = 86;й вариации начальных условий. Так, мы можем утверждать, что соверши = 74; кругосветнl= 6;е путешествиk= 7;, Магеллан доказал шарообразнl= 6;сть земли, тольк= 086; имея в виду, что ка= ;ждый человек в принципе может совершить кругосветнl= 6;е путешествиk= 7;, причем не обязательнl= 6; повторяя путь Магеллана в деталях. Есл= 080; бы кругосветнl= 6;е путешествиk= 7; Магел= ;лана оставалось уникальным событием, он= 086; еще ничего н= 077; говорило бы = 086; топологии земной поверхностl= 0;.

Идея движения в римановой геометрии может быть реализованk= 2; двояко. Во-первых, с помощью “метода подвижного репера”. В этом случае “точка зрения” математичеl= 9;ки означает некоторую (локальную) систему координат, которая предполагаk= 7;тся движущейся, то есть сохр= 072;няющей свою идентичносm= 0;ь в различных = 087;оложениях в пространстk= 4;е. Задача состоит в том, чтобы описать это движение, не прибегая к фиксированl= 5;ой внешней системе коо = 88;динат. Покажем как это делаетс= 03; в простейше = 84; случае кривой на поверхностl= 0;. Представим себе, что кривая описываетсn= 3; движущейся точкой О. Пусть l - длина дуги кривой, пройденной точкой на да= 085;ный момент времени. Для удобства мы будем отсчитыватn= 0; время по длине пройденногl= 6; пути. Тогда скорость движения О v=3Dv(l) б&#= 1091;дет по модулю равна 1 и направлен = 72; по касательноl= 1; к траектори = 80;, а ускорение= k(l)=3Ddv/dl будет всегд = 72; перпендикуl= 3;ярно к скорости. М&#= 1086;дуль ½k= ½ назыв= 072;ют криви= зной, а обратную величину R=3D1/k - радиу= 089;ом кривизны кривой в данной точк = 77;. Если теперь взять едини = 95;ный вектор скорости v(l) и единичный перпендикуl= 3;яр к нему n в качестве движущейся прямоугольl= 5;ой системы координат (подвижного репера), то будут верны форму= 083;ы Френе, которые показывают как движетс= 03; репер: dv/dl=3Dkn <= /span>и dn/dl=3D-k= v. Поскол&#= 1100;ку модуль v не меняется, можно также записать = ½dj/dl= = ½=3Dk, тl= 6; есть кривизна эт = 86; скорость поворота ре = 87;ера (тогда как скорость ег = 86; движения вдоль криво = 81; постоянна и равна по модулю ½v½=3D1). Заметим, чт= 086; указанный метод позволяет с = 91;дить не о внутренней геометрии кривой, а о внутренней геометрии поверхностl= 0;, на которой лежит крива= 03; (поскольку понятия касательноl= 1; и нормали к кривой имею = 90; смысл тольк = 86; по отношени= 02; к объемлющемm= 1; пространстk= 4;у). Пусть наша кривая это окружность. После того, как касательнаn= 3;, образующая одну из осей подвижного репера совпадет с исходным положением, вектор нормали может либо тоже оказаться в исходном состоянии, либо оказаться направленнm= 9;м в противополl= 6;жную сторону. Есл= 080; поверхностn= 0; - цилиндр, будет реализован = 87;ервый случай, если поверхностn= 0; - лист Мебиус = 72;, то может быт= 100; реализован второй.

Альтер&#= 1085;ативный подход на самом деле идет нескол= 00;ко вразрез с историей пр = 86; плоскатикоk= 4;. Вместо того, чтобы предполагаm= 0;ь наблюдателn= 3;, движущегосn= 3; в неподвижноl= 4; объемлющем пространстk= 4;е (которое ни в какой момен = 90; не видно все целиком), здесь предполагаn= 2;т множество неподвижныm= 3; (относитель = 85;о неподвижноk= 5;о пространстk= 4;а) наблюдателk= 7;й и ставится вопрос о том, каким образом они могут “коммунициl= 8;овать” по поводу наблюдаемоk= 5;о. Формально т = 72;кой переход дается просто: никт= 086; не мешает в предыдущем примере говорить не об одном репере, движ= 091;щемся вдоль криво = 81;, а о множеств= 077; реперов, имеющих начала в разных точках крив = 86;й. В следующем пункте мы покажем, что принципиалn= 0;ным моментом является то, что эти моме= 085;тальные наблюдателl= 0; не взаимозамеl= 5;имы, поскольку каждый из ни= 093; наблюдает только