МАТЕМАТИКА

И ОПЫТ

 

 

 

 

Под редакцией А. Г. Барабашева

 

Издательство

Московского университета

2003

УДК 1:001

ББК 87.3

         М 33

 

Издание осуществлено при финансовой поддержке

Российского гуманитарного научного фонда

Проект № 02-03-16106

 

Редакционная   коллегия:

 А.Г. Барабашев (гл. редактор), С.М. Бычков (зам. гл. редактора),

 В.А. Бажанов, С.С.Демидов, А.Н. Кричевец, В.Я. Перминов.

 

 

 

Математика и опыт  / Под ред. А.Г. Барабашева. — М.: М 33 Изд-во МГУ, 2003. - 624 с.

 

ISBN 5-2211-04739-7

 

В работе предпринята попытка масштабного сравнения различных под­ходов к соотношению математики и опыта, сложившихся главным образом в рамках априоризма и эмпиризма. Сравнение проведено как в чисто теоретическом ракурсе, так и посредством рассмотрения различных истори­ческих и философских ситуаций. Исследуются возможные альтернативные подходы, выходящие за пределы дилеммы «априоризм—эмпиризм» в ис­толковании отношения математики к опыту и опытному знанию.

Книга представляет интерес для математиков, философов, специалис­тов и преподавателей по истории и философии науки, студентов и аспи­рантов математических и естественно-научных специальностей.

 

The attempt of full scale approach to the problem of relation of mathematics and experience is represented in this book mainly in the frame of two general positions, apriorism and empiricism. The comparison of positions of mathematical apriorism and mathematical empiricism here realized as in theoretical form, as in the form of the investigation of different historical and philosophical situations. In the final part of the monograph possible non-aprioristic and non-empiristic alter­native approaches to the problem of relations of mathematics and experience are searched.

The book could be useful for mathematicians, philosophers, for specialists in the history and philosophy of science. Students and graduate students in mathe­matical and natural science specialities could use it in the process of preparation for exams in the field of philosophy of mathematics educational programs and courses.

 

УДК 1:001

ББК 87.3

                                                                       © Коллектив авторов, 2003

 © Издательство Московского университета, 2003

 

ISBN 5—2211—04739—7

 

Предисловие

 

Проблема соотношения математики и опыта является одной из наиболее давних и разработанных проблем философии матема­тики. Более того, на заре существования математики и задолго до возникновения философии математики как самостоятельной обла­сти исследований пифагорейцы уже предложили первое решение этой проблемы, положив число началом всего сущего.

Историческая эволюция математики, равно как и эволюция попыток ее философского обоснования, сопровождались увеличе­нием разнообразия предлагаемых решений проблемы соотноше­ния математики и опыта, а также усложнением этих решений. По­степенно выявилась и структура таких решений, или же, вернее сказать, подходов к решению проблемы. Во-первых, стало ясно, что речь должна идти об исследовании соотношения математичес­ких суждений и суждений, полученных в процессе опыта. Во-вто­рых, постепенно возрастало структурирование самого понятия опы­та, и в этом понятии стали выделять повседневный опыт и опыт в виде экспериментального, естественно-научного изучения явлений. В-третьих, оказалось, что возможны раздельно сравнительный ана­лиз формы построения опытных суждений и формы построения математических суждений и сравнительный анализ истинности математических и опытных суждений. В-четвертых, и это стало основным продвижением в исследовании проблемы соотношения математики и опыта, постепенно сложились два как бы конкури­рующих подхода к решению проблемы — математический априо­ризм и математический эмпиризм.

Имеющиеся априористские и эмпиристские работы обычно автономно представляют свой круг идей и не коррелируют друг с другом, зачастую содержатся в сборниках, посвященных иным про­блемам философии математики (проблеме существования револю­ций в математике, проблеме содержания социокультурной филосо­фии математики, проблеме физикализма, проблеме соотношения чистой и прикладной математики и т.д.), и в лучшем случае фраг­ментарно спорят с некоторой «избранной» позицией из спектра противостоящих, не осознавая своего места в ряду сходных кон­цепций. Наконец, среди исследователей нет единства относитель­но самих формулировок этих двух подходов. Таким образом, при всей важности проблемы соотношения математики и опыта и при всем богатстве и значимости уже разработанных подходов в совре­менной философии математики сложилась парадоксальная ситуация отсутствия рефлексивного (целостного) осознания соотношения ма­тематического априоризма и математического эмпиризма.

3

Такая рефлексия, детальный и многоаспектный анализ соот­ношении математического априоризма и математического эмпиризма как подходов, предлагающих различные и даже в чем-то противоположные решения проблемы соотношения математических и опитых суждений, не может быть осуществлена одним автором, oбязательно находящимся «в плену» своей индивидуальной теоретической схемы. Мелодия соотношения математического априо­ризма и математического эмпиризма может быть исполнена только пи много голосов, звучащих синхронно, но ведущих каждый свою «партию». Именно поэтому было решено посвятить очередной (уже третий) коллективный сборник работ российских авторов, специа­лизирующихся в области философии и истории математики, столь и шестой, хотя и фрагментарно обсуждаемой проблеме. Как и две предыдущие монографии данной серии («Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты». М., 1997; «Стили в математике: социокультурная философия математики». СПб.. 1999), настоящая книга является целостным коллективным произведенн­ом, обладающим особой формой построения и изложения материа­ла, включающего полемику авторов между собой, обнаружение как неустранимых разногласий, так и моментов общности отстаиваемых позиций.

Настоящая книга претендует на то, чтобы стать существенным акладом отечественного сообщества философов математики в рассмотрении проблемы соотношения математики и опыта. Этот вклад, как мне представляется, состоит из двух частей. По содержанию книги видно стремление коллектива авторов эксплицировать про­блему соотношения математики и опыта как проблему взаимосвя­зи математического априоризма и математического эмпиризма. Тнкое уточнение сразу же переводит проблему в техническую плос­кость и дает возможность оценивать выдвигаемые позиции как сами ни себе (в контексте априоризма и эмпиризма), так и сравнивать их друг с другом. Но, пожалуй, главным вкладом можно считать форму обсуждения, уникальный механизм совместной организа­ции представляемых материалов. Стиль сборника, при котором коллектив авторов как целое участвует в обсуждении всех разнооб­разных идей соотношения математики и опыта — от анализа ис­ходных понятий и до рассмотрения различных исторических ситуа­ций (кейсов), дает искомую полифонию взглядов, то несогласное согласие, которое наиболее полно передает действительное соот­ношение математического априоризма и математического эмпи­ризма в их эволюции.

Представляемая читателю книга стала результатом многочис­ленных докладов и обсуждений на национальном семинаре по философии математики, регулярно проводимом в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова. Концепция книги, ее содержание, структура и способ построения были опре­делены на ежегодных сентябрьских конференциях по философии математики (2001 и 2002 гг.), традиционно проходящих в Краснови-дово Можайского р-на Московской обл. Перед второй из указанных конференций все предлагаемые доклады были помещены на сайт конференции, что, безусловно, способствовало эффективности об­суждения и подготовке окончательного коллективного текста книги. Мне как редактору этой коллективной монографии хотелось бы выразить признательность всем авторам и членам нашего спо­рящего, но дружного сообщества философов и историков матема­тики за терпение и энтузиазм в обсуждении и подготовке оконча­тельной редакции книги. История нашей совместной многолетней работы свидетельствует, что достижения коллектива как по глу­бине, так и по охвату темы могут и должны превзойти достиже­ния любого отдельного исследователя — конечно, при условии нахождения должных, способствующих творческому сомыслию организационных форм и при доброжелательности авторов друг к другу несмотря на все разногласия в их взглядах. Я полагаю, что особая благодарность от всего авторского коллектива должна быть адресована трудолюбивым и настойчивым членам редколле­гии — С.Н. Бычкову, вложившему много сил и времени на до­работку и редактирование текста книги, А.Н. Кричевцу, контро­лировавшему поступление и размещение файлов статей, а также получение рецензий и их обработку, С. С. Демидову и В.А. Бажанову, поддерживавшим подготовку рукописи, ее совершенствова­ние и прохождение через разные инстанции на всех этапах работы редколлегии, а также В. Я. Перминову, последовательно и убеди­тельно вдохновлявшему все наше сообщество на разработку дан­ной темы, глубокой и философски значимой проблемы соотно­шения математики и опыта.

А Г Барабашев

 

Вместо введения

 

С. С. Демидов

 

МАТЕМАТИКА В ОПЫТЕ

ИСТОРИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ

ИССЛЕДОВАНИЙ ПОСЛЕДНИХ

ДЕСЯТИЛЕТИЙ

 

Чтобы попытаться оценить изменения, произошедшие за тридцать последних лет в тематике и характере историко-математических исследований, я предлагаю сравнить некоторые цифры, отражаю­щие активность историко-математической деятельности междуна­родных конгрессов по истории науки, прошедших за это время.

Как некоторые, наверное, еше помнят, 30 лет назад такой кон­гресс, по счету тринадцатый, прошел в нашей стране — с 18 по 24 августа 1971 г. в Москве в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова на Ленинских (ныне Воробьевых) горах. Истории математики были посвящены: специальная секция, которая провела 6 заседаний, где было заявлено 59 докладов¹, сим­позиумы «Пути развития функционального анализа» (1 заседание, 7 докладов) и «Античность и современность» (1 заседание, 6 докла­дов), значительная часть симпозиума «Средневековая наука: взаи­моотношения Востока и Запада». (I заседание, 5 математических из

8  заявленных в программе), специальное межсекционное заседа­ние, посвященное 150-летию со дня рождения П.Л. Чебышева (1 заседание, 3 доклада). Доклады по истории математики звучали также на секциях «История античной науки и техники» (4 из общего числа 16) и «История средневековой науки и техники» (18 из общего числа 46). Один математический доклад (из 22 заявленных в про­грамме) прозвучал также на проходившем 26—28 августа в Ленингра­де Кеплеровском симпозиуме — спутнике Московского конгресса.

Можно сказать, что основная работа конгресса протекала на секциях. Таковых, соответствующих по преимуществу основным наукам и отраслям техники — математике, механике, физике, аст­рономии, химии, наукам о Земле, биологии, медицине, наукам о человеке, технике, авиационной, ракетной и космической науке и технике, — было 12². Работа секций и симпозиумов (их было 14, они были посвящены узловым вопросам истории науки — напри­мер, «Личность ученого в истории науки», «Эволюционная теория и генетика» или «Использование новой техники в развивающихся странах (конец XVIII — XX в.)» — или знаменательным для истории науки датам, например, 100-летию Э. Резерфорда или 150-летию П.Л. Чебышева) была организована таким образом, что любой ис­торик математики, например, мог посетить большинство интере­сующих его мероприятий по своей специальности. Центром же историко-математических событий оставалась секция истории ма­тематики — здесь было заявлено 59 из 103 (т.е. 57,3%) заявленных докладов по истории математики.

Для сравнения приведем данные по последнему, XXI конгрес­су, прошедшему 8—14 июля 2001 г. в Мехико. Разумеется, работала секция истории математики, которая провела всего 1 заседание, на котором было представлено 6 докладов. И это вовсе не означает, что на мексиканском конгрессе были слабо представлены история математики или историки математики. Они были одними из самых активных на конгрессе. Заседание Международной комиссии по истории математики, на котором состоялось ставшее уже традици­онным награждение новых лауреатов премии К. Мэя, вручаемой за достижения в области истории математики, собрало значительное количество участников. Медаль А. Койре Международной академии истории науки была на этот раз присуждена историкам математики — российскому ученому И.Г. Башмаковой и представителю Франции К. Узелю. Конечно, доклады по истории математики делались и в рамках других секций и, что особо важно подчеркнуть, на многочис­ленных симпозиумах. Два из них были организованы непосредствен­но Международной комиссией по истории математики. Это — «Ис­тория математики в латиноамериканских странах» (на него было заявлено 8 докладов) и «История взаимоотношений французских и немецких математиков в XVIII—XX вв.» (соответственно 5 докла­дов). Кроме этого, историко-математические доклады были включе­ны в программы симпозиумов — «Астрономическое наследие неев­ропейских культурных ареалов» (1 доклад из 19), «Миссионерская активность и распространение европейских наук в Америке и Азии: деятельность иезуитов в XVI—XVIII вв.» (3 доклада из 11), «Замед­ленное научно-техническое развитие — возможности усиления миссии преподавания» (2 доклада из 9), «От универсализма люби­теля к институализированному профессионализму: становление профессии ученого (XVIII—XIX вв.)» (2 доклада из 11), «Этнонаука и этноматематика: эволюция стилей мышления в последние 500 лет» (4 доклада из 9), «Трансмиссия научных культур и формирование научных языков» (6 докладов из 8), «Изменения в интерпретациях и концептуальном содержании» (2 доклада из 22), «Культурное и научное значение памятников науки и техники, находящихся в исторически значимых городах» (1 доклад из 11), «Типологические параллели в доклассических науках» (2 доклада из 13), «Наука и техника в Древней Мексике» (1 доклад из 11), а также в специальное заседание Международной ассоциации — «Наука и культурное раз­нообразие» (1 доклад из 6). Некоторые из этих симпозиумов были организованы историками математики — (У.Д. Амброзио, А.К. Вол­ковым, С.С. Демидовым, Э. Кноблохом, Р. Рашедом, Я. Фолтой).

Как всегда, доклады по истории математики в древности и в Средние века проходили на соответствующих секциях: на секции «Классическая и восточная древность» было заявлено 8 докладов (из общего числа 12 секционных докладов), на секции «Средние века и Ренессанс» 2 доклада (из 7). Доклады по истории математи­ки звучали также на секциях «Международные научные обмены» (2 из 8), «Эволюция преподавания и популяризации» (1 из 12), «Искусство и наука» (1 из 8), «Наука и общество» (2 из 29), «Наука и культура» (1 из 25) — всего в программе конференции числился 61 доклад. (Общее число докладов меньшее, чем на московском. Напомним, что тогда их было 103, однако не надо забывать, что московский конгресс был рекордным по числу участников — он был одним из первых после падения «железного занавеса», мекси­канский же конгресс отпугнул многих потенциальных его участни­ков из Европы дороговизной авиабилетов.)

Как видно, секция уже перестала быть средоточием деятельно­сти историков математики (на нее приходится менее 10% от числа всех историко-математических докладов, заявленных в программе, в то время как для московского эта цифра поднимается почти до 60%). Поэтому если на московском конгрессе участник (по край­ней мере тот, кто к этому стремился) мог составить себе представ­ление о новых результатах, доложенных на конгрессе, которые по ^большей части сообщались на секциях (любые симпозиумы и ме­мориальные заседания предполагают приглашение докладчиков по заранее согласованной теме, а вовсе не изложение новых результатов), то мексиканский конгресс такую возможность исключал самой своей организацией. Хочу обратить внимание и на чрезвычайное расширение тематики секций, число которых более чем удвоилось — 29 против прежних 12.

Если раньше, как мы уже говорили, большую часть секций составляли секции по истории тех или иных конкретных наук или областей техники, то теперь к ним добавились и составили при этом большинство секции, посвященные важным проблемам исто­рии науки и техники в их взаимосвязи с обществом, его культурой, экономикой и идеологией. Если к этому добавить симпозиумы, на которых и протекает ныне основная жизнь конгрессов (объединя­ющими началами все в большей степени становятся пленарные заседания и заседания комиссий), их число 62 (23 из них организо-

ваны различными комиссиями союза, 35 — отдельными учеными и 4 — так называемые специальные сессии) против 14 московских, то можно сделать вывод о произошедшем за эти 30 лет кардинальном изменении тематики и характера историко-научных исследований.

Изменение это произошло не внезапно, однако его смысл и направленность начинают проясняться только сейчас. Я буду гово­рить об истории математики, так как лучше представляю себе со­бытия именно в этой области, но полагаю, что и в других разделах истории науки события проистекали сходным образом (хотя и с разной интенсивностью). Среди участников московского конгресса был Кеннет Мэй. профессор из Торонто (Канада), которого мой учитель Адольф Павлович Юшкевич — один из крупнейших исто­риков науки XX в. и один из организаторов московского конгрес­са — не знал как ученого. Результаты Мэя по историографии истории математики не представлялись ему особо интересными. А.П. Юшкевич рассматривал его прежде всего как общественного деятеля, занятого полезным делом — хлопотами об организации в рамках Союза истории и философии науки специальной комиссии по истории математики³. Такую комиссию во время московского конгресса К. Мэй организовал⁴, а в 1974 г. основал и журнат комиссии «Historia Mathematica», который сегодня стал одним из са­мых распространенных и влиятельных историко-научных журналов в мире. Одним из результатов деятельности комиссии, которая впоследствии стала регулярно собираться в Математическом ин­ституте в Обервольфахе, стало резкое усиление активности истори­ков математики на конгрессах. Комиссия стала организовывать в их рамках симпозиумы. Одним из первых таких симпозиумов стал симпозиум «Историография и история математики» на проходив­шем в 1989 г. в Гамбурге XVIII конгрессе, организаторами которого выступили известный мюнхенский историк математики М.Фоль-ертс и автор этих строк.

Естественно задаться вопросом: каковы причины, побуждаю­щие ученого возлагать на себя довольно обременительные обязан­ности по организации таких предприятий? Попробую ответить на него, опираясь на собственный опыт⁵. Как тогдашний вице-прези­дент комиссии по истории математики (речь идет о времени, пред­шествующем конгрессу 1989 г.) я был заинтересован в активизации ее работы. Тема — историография истории математики — казалась мне в высшей степени актуальной⁶. Это причины объективные. К тому же была причина этой активности, носившая субъективный характер: организуя симпозиум, я увеличивал свои шансы на учас­тие в конгрессе, В это время еще существовал Советский Союз, и этот симпозиум значительно увеличивал вероятность включения моей кандидатуры в состав советской делегации. Подобного рода

субъективные соображения играют немалую роль в организации симпозиумов на конгрессах — акции организатора такого предпри­ятии в его собственном университете резко повышаются, к тому же любой западный университет безоговорочно оплатит такому орга­низатору расходы по поездке на сам конгресс; добавим еще от­крывшуюся перед таким организатором возможность издать мате­риалы такого симпозиума под своей редакцией — это стимулирует активность амбициозной молодежи (хочу обратить внимание на большой процент сравнительно молодых ученых, выступивших в такой роли на мексиканском конгрессе; руководители симпозиу­мов на московском конгрессе — сплошь маститые ученые).

Все это — важные субъективные причины, которые побуждают ученых браться за организацию симпозиумов. Объективным же фактором, определяющим подобную деятельность, выступает не­обходимость исследования новых тем и вопросов, которые ставит перед сообществом сам ход развития нашей науки. Ведь только для обсуждения таких тем и вопросов организатор сумеет найти доста­точное количество квалифицированных докладчиков, и в необхо­димости постановки только таких тем он сумеет убедить коллег, от которых зависит включение соответствующего симпозиума в про­грамму конгресса.

Итогом такой деятельности немалого числа активных историков науки и стали изменения в тематике конгрессов (и параллельные перестройки в структуре отделения истории науки Международно­го союза истории и философии науки — организация комиссий по самым разным вопросам истории науки). Первоначально казалось, что вся эта деятельность служит исключительно удовлетворению личных амбиций. Однако теперь становится ясным, что причины этого феномена находятся значительно глубже, а личные амбиции являются лишь частью того механизма, который осуществляет эту громадную перестройку всего корпуса истории науки.

Описанная нами картина наблюдается не только в практике международных конгрессов по истории науки, но и в деятельности других международных и национальных историко-математических форумов (например, на традиционных конференциях по истории математики в математических институтах в Обервольфахе (ФРГ) и Люмини (Франция), на состоявшейся в 1999 г. 5-й Всероссийской школе по истории математики в Ярославле), в работе ведуших исто­рико-математических семинаров (таких, как семинар на механико-математическом факультете МГУ или в Институте Анри Пуанкаре в Париже). Сходная ситуация и в тематике публикаций ведущих мировых изданий по истории математики — в упоминавшемся журнале «Historia Mathematical или в «Историко-математических исследованиях.

10

            Если 30 лет назад в тематике историке-научных изысканий доминировала история идей, то сегодня мы видим значительное количество исследований, направленных на выяснение того, каким образом математика в своем развитии зависит от социальных факторов (и в какой мере ими определяется), как математические идеи функционируют в обществе, каким образом организованы ее институты и как они взаимодействуют с другими общественными и государственными институтами, как математика, институциональ­но и идейно, связана с проблемами народного образования, как воздействуют на ее развитие идеологические факторы и, наконец, как она сама воздействует на общество, на его философию, культу­ру и идеологию. И дело здесь даже не в том (хотя и в том тоже), что модные до Второй мировой войны проблемы выявления социальных корней науки (вспомним знаменитый доклад Б.М. Гессена о соци­альных и экономических корнях ньютоновых «Начал», произне­сенный в 1931 г. на Втором международном конгрессе по истории науки в Лондоне), не найдя своего решения в рамках тогдашних историко-научных исследований, вновь вернулись в историю на­уки на новом витке ее развития (а именно в такой трактовке это изменение тематики историко-научных исследований и было пер­воначально воспринято по крайней мере советским научным сооб­ществом⁷), таким пониманием наполнялся и появившийся тогда термин — «социальная история науки».

Дело, на наш взгляд, в другом. Наука в современном обществе заняла особое положение. Конечно, важность науки, а главное, базирующегося на ней научно-технического прогресса всеми при­знавались, но решительные перемены в идеологии произошли лишь в последние десятилетия, Не последнюю роль в этом сыграла экс­пансия компьютерных, космических и ядерных технологий. И факт этот по-настоящему только начинает осознаваться. И хотя он рож­дает во многих слоях общества неадекватную реакцию активного неприятия — растут антинаучные настроения, принимающие под­час чрезвычайно агрессивные формы, — значимость науки и науч­ной идеологии de facto становится общепризнанной. В такой ат­мосфере необходимость осознания феномена науки становится одной из центральных задач познания, поэтому вопросы истории и философии науки оказываются в ряду сюжетов, волнующих почти каждого мыслящего человека. А отсюда и чрезвычайное расшире­ние историко-математической проблематики, и увеличение списка специальностей лиц, пишущих на историко-математическиетемы, и, соответственно, читательской аудитории⁸.

Мир разделенный европейской культурной традицией Нового времени надвое — Восток и Запад, материя и противостоящее ей сознание, теория и, по сути, противополагаемая ей практика ме-

няются на наших глазах. Такие оппозиции, оказывавшиеся до из­вестной степени удобными для предварительных оценок, мыслен­ных построений и даже практики (например, для номенклатуры специальностей — чистая и прикладная, определившей структуру учебных заведений на добрые две сотни лет), начинают выглядеть сегодня искусственными. Проблема «математика и опыт» приобре­тает, как убедительно демонстрируют доклады на нашей конфе­ренции, новое понимание и новые измерения.

 

Примечания

 

¹   Приводимые цифровые данные получены в результате анализа программ X1I1 и XXI конгрессов [1, 2].

²   Некоторые направления делились на подсекции. Например, секция «История физики и астрономии» делилась на две подсекции — «История новой и новей­шей физики» и «История физики и астрономии».

³   В отсутствии интереса А.П. Юшкевича к деятельности К. Мэя и его трудам на­шло отражение распространенное тогда среди ведущих историков математики отношение к вопросам, которыми оп занимался, как второстепенным. Истинное значение деятельнсти К. Мэя (1915—1977) было оценено лишь после его ранней смерти. В память К. Моя основанной им Международной комиссией по истории математики была учреждена Международная премия, первыми лау­реатами которой в 1989 г. стали А.П. Юшкевич и Д.Я. Стройк.

⁴   Вот состав ее тогдашнего бюро — К. Мэй (Торонто), президент; С.С. Демидов (Москва), вице-президент; П. Дюгак (Париж), секретарь; К.Р. Бирман (Берлин); С. Ито (Токио); Дж.Дж. Уитроу (Лондон).

^s  Начиная с XVIII конгресса я участвовал в организации симпозиумов на всех последующих конгрессах.

⁶   Актуальность темы для современной истории математики — вопрос в высшей степени деликатный. В 1972 г., будучи еше совсем молодым историком науки, я участвовал в 3-м конгрессе болгарских математиков с доклатом по истории тео­рии дифференциальных уравнений с частными производными в XIX в. Плохо рассчитав время, я успел рассказать только об изменении идеологии в теории, которое произошло в конце века. Я сам и мои коллеги посчитали, что доклад я загубил: ограничился введением, не рассказав о главном — о конкретных резуль­татах математиков XIX в. Выступая в июне 2001 г. на конференции по истории теории дифференциальных уравнений в Лиссабоне, я (уже сознательно) сделал центром доклада то самое изменение в идеологии, убрав конкретные результаты из доклада вовсе. Доклад вызвал содержательную дискуссию. То, что в начале 70-х годов казалось неинтересным, стадо в высшей степени актуальным в наше время.

⁷   И его тогдашним лидером — С.Р. Микулинским.

^R Отсюда, в частности, и появление курсов истории математики, читаемых ныне студентам самых неожиданных специальностей в многочисленных университетах.

 

Список литературы

 

1.   XIII Международный конгресс но истории науки. Программа. Москва, IS—24 августа 1971. М.. 1971.

2.   XXI International Congress of History of Science, Mexico City, 8—14 July, 2001. Scientific Program. Mexico City, 2001.       

12

 

КОММЕНТАРИИ

           

A.A. Григорян  

                                                                   

В статье С.С. Демидова обращают на себя внимание факты, свидетельствующие о том, что современный историк математики в своих исследованиях стремится существенно выйти за границы «парадигмального поля» историко-математического исследования, ограниченного прежде всего проблемами «истории идей». В част­ности, историки математики в своих работах затрагивают важней­шие проблемы как философии, так и социологии математики.

В своем комментарии мне хотелось бы сказать о другой, не менее значимой тенденции, характерной для развития исследова­ний в области философии математики.

Было бы ошибкой утверждать, что классические философские проблемы математики — такие как, например, проблема бытия математических объектов, проблема обоснования математики и т.п., близки к своему окончательному разрешению или что интерес к ним, по крайней мере сейчас, резко понизился. По-видимому, спра­ведливо и то, что эвристический потенциал тех идей и направлений в обсуждении данных проблем, которые обходятся без широкого приатечения и достаточно кропотливого анализа соответствующего историко-математического материала, еще далеко не исчерпан. Тем не менее современные исследователи проблем философии матема­тики все чаше не просто привлекают историко-математический материал для иллюстрации своих идей, но и, пусть в достаточно ограниченной области, выступают в роли историка.

Дело не только в том, что историко-математический материал может обеспечить богатую обосновательную базу для выдвигаемых философских концепций. Поскольку эти концепции зачастую ос­новываются на принципиально различных метафизических и гно­сеологических предпосылках, их собственно философский сравни­тельный анализ оказывается практически невозможным. Однако в том случае, если каждую из сравниваемых концепций попытаться применить для построения рациональной реконструкции того или иного эпизода в истории математики, понимание которого так или иначе связано с обсуждаемой философско-математической пробле­матикой, можно говорить о достаточно адекватном «взвешивании» эвристических потенциалов рассматриваемых идей в философии математики. Более того, на этом пути возможна такая коррекция философско-математических построений, которая будет способство­вать тому, что историки математики смогут использовать их в каче­стве своего методологического инструментария, что, надо признать, является не слишком частым явлением в современной практике взаимоотношений историков и философов математики.

13

 

Е.А. Зайцев

 

В статье С.С. Демидова внимание обращено на феномен сме­ны приоритетов в историко-научных исследованиях вообще и в историко-математических исследованиях, в частности. Анализ те­матической структуры международных конгрессов по истории на­уки позволил автору сделать вывод о том, что традиционные дис­циплинарно ориентированные исследования в настоящее время во многом потеряли свою привлекательность. Внимание научного со­общества переключилось на ряд культурологических тем, в рамках которых и изучаются теперь исторические формы той или иной научной дисциплины.

На феномен смены приоритетов в истории математики можно взглянуть шире, попытавшись разобраться в истоках дисциплинар­ного подхода, с одной стороны, и в движущих силах того развития, которое в настоящее время приводит к его преодолению, с другой. Дисциплинарная форма, которую история науки приняла в XX в., своим источником имела позитивистскую трактовку научного зна­ния. При таком подходе значимыми являются лишь «позитивные» научные результаты, полученные в рамках данной дисциплины. Что же касается вопроса о том, как вообще стала возможной та или иная форма существования науки, то он «выносится за скобки» как не вписывающийся в позитивистскую модель развития (родона­чальники позитивизма относили такие вопросы к сфере «метафи­зики»).

Таким образом, именно к позитивным достижениям науки и было в XX в. приковано внимание историков соответствующих дис­циплин. И если в истории физики или биологии время от времени слышались голоса, считавшие абсурдом попытки обнаружения но­вейших физических или биологических идей, скажем, у Аристотеля, то в области истории математики идея прогрессивного кумулятив­ного развития почти не встречала сопротивления. Историки старательно обходили молчанием тот факт, что в подлинной истории идей развитие математики неотделимо от развития общекультур­ного, прежде всего философского (или ограничивались формаль­ными замечаниями общего характера).

В конце же XX столетия, когда математика утратила лидирую­щее положение среди прочих наук, модель кумулятивного развития, поддерживавшаяся солидарными усилиями математиков (заинте­ресованных в пропаганде своих идей посредством исторических обзоров) и историков математики (зачастую работавших в составе математических факультетов и живших проблемами современной им математики), дала трещину. Утратив привычные критерии, ис­торики математики занялись поисками новых методологических

14

ориентиров. К сожалению, общих критериев им сформулировать не удалось. Интуитивно почувствовав, что математика является феноменом, неразрывно связанным с культурой рассматриваемой эпохи» историки математики впали в другую крайность. Оставив без внимания специфику этого феномена, они занялись исследовани­ем самых разных констелляций, в которых могла бы фигурировать математика. Историю математического знания стати «прививать» к истории политических режимов, национальных стилей, научных учреждений, патронажа, миссионерства (одним из популярнейших направлений является сейчас история иезуитской математики) и т.д. Неудивительно, что при этом собственно математическая про­блематика, столь ценимая исследователями предыдущего поколе­ния, начала постепенно исчезать из поля зрения исследователей. На смену ей пришли сюжеты, навеянные идеями социологии, политологии, религиоведения и т.д. Внешне многое изменилось, но, по сути, принципы отбора и интерпретации исторического мате­риала остались столь же произвольными. Если раньше изучению подвергались только те исторические формы математики, в кото­рых видели прообразы новейших математических идей, а все ос­тальное оставалось за скобками, то теперь исследованию подвергается лишь тот материал, который считается релевантным с точки зрения доминирующего подхода — социологического, политоло­гического и т.д.

В этой ситуации возможны два варианта: либо история мате­матики вовсе прекратит свое существование, растворившись в раз­ного рода «исследованиях науки и технологии» (в США, например, это уже фактически произошло), либо будет наконец осознано то обстоятельство, что математика настолько тесно связана с фило­софскими императивами конкретной эпохи (позитивно или нега­тивно), что исследование ее истории невозможно без анализа соот­ветствующего философского контекста.

 

ОТВЕТ АВТОРА

 

Я полностью разделяю мнение Е.А. Зайцева, что исследование истории математики «невозможно без анализа соответствующего философского контекста».

По поводу его соображений, связанных с моим докладом, у меня есть несколько мелких замечаний. Во-первых, я никак не могу согласиться с утверждением, что к концу XX в. математика утрати­ла лидирующее положение среди прочих наук. На мой взгляд, вер­но, скорее, обратное — ее доминирование в науке и, даже шире, в культуре приобретает все более абсолютный характер. Одним из

15

проявлений этой тенденции стало включение математики в про­грамму обучения студентов по все новым и новым специально­стям — вплоть до журналистов, при обучении которых еше вчера ни о какой математике и речи быть не могло. Во-вторых, я не могу согласиться с тем, что история математики в США фактически ра­створилась «в разного рода "исследованиях науки и технологии"». На мой взгляд, в США произошло иное — пути развития традици­онной истории математики и истории науки разошлись. Исследова­ния по традиционной истории математики ведутся в математичес­ких департаментах университетов и патронируются Американским математическим обществом (именно оно издает сегодня замеча­тельную серию книг «История математики»), в то время как на многочисленных кафедрах истории науки представительство исто­риков математики минимально, а в Американском обществе исто­риков науки историки математики почти никакой роли не играют. В американских журналах по истории науки (в том числе в «Isis» и в «Osiris») история математики практически отсутствует. Но не надо при этом забывать, что ведущие журналы по традиционной исто­рии математики — «Historia Mathematical и «Archive for History of Exact Sciences» — издаются, по существу, в США. Такая же тенден­ция расхождения путей развития истории математики и истории науки начинает прояатяться и в Европе, пожалуй, сильнее всего — во Франции.

Разделяя мысли, высказанные по поводу моей статьи А.А. Гри­горяном, хочу в дополнение к ним высказать следующее. Конечно, история математики (равно как и любая другая историческая на­ука) имеет своей целью «поведать о том, как это было». При всей важности этой установки, которая на первый взгляд может пока­заться даже определяющей цель исторического исследования, су­ществует другая, по моему мнению, куда более важная и значи­тельно более сложная задача историке-мате магического исследо­вания — выявление сущности математики и природы ее метода, постигаемые на пути их исторической реконструкции. Эта задача (или, если угодно, сверхзадача) историко-математического иссле­дования делает его, по сути, исследованием философским — здесь цели истории и философии математики оказываются идентичными.

 

Раздел 1

 

ПО СЛЕДАМ КАНТА

 

 

 

А.Г. Барабашев

 

РЕГРЕСС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АПРИОРИЗМА*

 

Математический априоризм можно рассматривать с двух раз­ных позиций — как философскую концепцию математики и как фи­лософскую концепцию математики. Вторая позиция предполагает рассмотрение «приложимости» математического априоризма к ма­тематике, его способности эффективно объяснять и предсказывать функционирование и эволюцию математического знания как состоящего из синтетических априорных суждений. Я утверждаю, что история математического априоризма как философской кон­цепции математики начиная со времени его возникновения у Канта представляет собой периоды разработки все более и более слабых версий, каждая из которых, в свою очередь, ставилась под сомнение новыми достижениями математики, плохо укладываю­щимися в схему априористского истолкования. Поэтому, как я по­лагаю, следует признать, что история математического априоризма как программы обоснования и исследования математики представ­ляет собой его регресс¹.

 

Абрис аргументации

 

Чтобы убедиться в неоспоримости выдвинутого тезиса, я пред­полагаю последовательно рассмотреть сущность и историю матема­тического априоризма в их соотношении с эволюцией математики. Для этого следует:

а) выделить ту проблему и эксплицирующие ее вопросы, которую рассматривает и на которые стремится ответить математический априоризм;

б)  указать центральные положения (тезисы) математического априоризма в том виде, в котором они были первоначально сфор­мулированы Кантом, а также кратко осветить предысторию мате-

____________________

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского гуманитарного научного фонда (код проекта: 99—03—00078).

17

матического априоризма (в части формирования этих центральных положений);

в)  предъявить аргументацию, с помошью которой Кант обо­сновывал свою позицию;

г) рассмотреть, что в математике может расцениваться как фак­ты, подтверждающие или опровергающие математический априо­ризм, и показать, какие факты дальнейшего (после Канта) развития математики вошли в противоречие с исходной версией математи­ческого априоризма;

д)  выявить, что уцелело в математическом априоризме после открытия этих фактов и какие утверждения и способы аргумента­ции пришлось ослабить в новых, гуссерлевой и неокантианской, версиях математического априоризма;

е) обосновать, что в математике первой половины XX в. были открыты дополнительные факты, заставляющие математический априоризм принять еще более слабую форму. Это подразумевает, во-первых, описание таких фактов и, во-вторых, сравнение гуссер­левой и неокантианской ослабленных версий априоризма с после­дующими, еще более слабыми версиями — праксеологическим, эво­люционистским, структуралистским математическим априоризмом;

ж)  выделить в современном состоянии математики те новые тенденции и нарождающиеся факты (находящиеся в процессе принятия математическим сообществом утверждения), которые не укла­дываются и в последние, постнеокантианские версии математи­ческого априоризма. Следствием обнаружения таких тенденций и фактов станет утверждение, что избежать дальнейшего ослабления математического априоризма как программы исследования и обоснования математики вряд ли удастся.

 

1. Общая проблема, в рамках которой развертываются основные концепции природы математики, может быть сформулирована как проблема соотношения математики и реальности. Эта проблема, если отвлечься от ее понятийного оформления, представляет собой типовой образ ситуаций вопрошания, повсеместно возникающих в тех познавательных эпизодах, в которых математические понятия, утверждения, теории приходится сопостаатять с понятиями, утверж­дениями, теориями о реальном, чувственно воспринимаемом мире. Математика поставляет только материал для вопрошапия, содержа­щийся в разных, вполне конкретных эпизодах изучения природы, в которых участвуют, с одной стороны, те или иные математичес­кие утверждения (тот аппарат, который математика предлагает ис­следователю для описания природы), а с другой — реальный опыт человека, встречающиеся человеку объекты внешнего мира. Загадоч-

18

ная гармония математических утверждений и реальных взаимоотно­шений объектов внешнего мира, проявляющаяся в этих эпизодах,  как бы инициирует общую постановку проблемы соотношения математики и реальности, придавая ей жизненность (т.е. проблема соотношения математики и реальности не надуманна, и практика, математики ее постоянно воспроизводит).

Сопряжение значительно отличающихся ситуаций вопрошания, их соединение в одних понятиях предполагает использований столь общих обозначений, что данная выше понятийная формулировка общей проблемы соотношения математики и реальности, несмотря на жизненность самой проблемы как чего-то, стоящего за понятиями, становится малоинформативной, не указующей на концепции-решения или единственную концепцию-решение про­блемы. Более того, понятия «математика», «реальность», «соотношение» могут быть наполнены разным смыслом, что затрудняет нахождение подходов к решению проблемы. Другими словами  проблема соотношения математики и реальности выступает как условное обозначение (предельно общее наименование), объеди­няющее все концепции природы математики, но не позволяющее представить их по существу и выделить концепции-решения про­блемы.

2. Философия трансформирует проблему соотношения матема­тики и реальности в вопросы, понятийное оформление которых и сам настрой вопрошания подводят к тем или иным концепциям природы математики. Так, некоторые концепции природы математи­ки возникли в результате попыток ответить на вопрос о том, обуслов­лены ли содержание и истинность математических суждений чем-то отличающимся и от эмпирической, и от индивидуатьной субъектив­ной реальности (например, существуют ли всеобщие субъективные основания математики)? Обращение не к экспериментальному опытy и сенсусу, не к психологическим индивидуальным характеристи­кам ученых-математиков, не к референтной истинности и приложи­мости математических суждений, не к эмпирической реальности, а именно к познающему субъекту «как таковому» — вот акценты и исходные понятия, используемые этим кругом концепций.

Наиболее известной разновидностью данного вопроса можно считать его априористскую трактовку. Классическая постановка иопроса в случае априоризма выглядит так: являются ли математи­ческие суждения априорными синтетическими² и благодаря какой человеческой способности такие суждения возможны? Другой ва­риант — идеалистическая трактовка: являются ли идеи, содержа­щиеся в математических утверждениях, врожденными, и если это так, то почему мы все обладаем одной и той же версией этих идей?

19

Две названные трактовки вопросов как бы предрасположены к двум ответам, концепциям природы математики — математическому априоризму и математическому идеализму, причем под последним я понимаю комплекс убеждений о врожденном характере матема­тических истин.

Платон, Лейбниц, Кант, Гуссерль, неокантианцы, равно как и многие современные философы науки и философы математики, мне представляется, тяготеют к данным двум трактовкам вопроса об обусловленности содержания математики не эмпирической ре­альностью и не индивидуальной субъективной реальностью. У Пла­тона концепции математического априоризма и математического идеализма существуют в неразвито слитном виде в рамках представ­лений о ноэсисе и дианойе. Лейбниц развернул эти представления в направлении математического идеализма, а Кант использовал фраг­менты концепции Лейбница при построении основ собственно ма­тематического априоризма. Как я утверждаю, после Канта мате­матический априоризм постоянно ослаблял свои позиции под дав­лением математической практики, однако в философском плане его позиции все более совершенствовались, становились все более изощренными.

3. Впервые, по-видимому, идея неэмпирического и в то же время не индивидуально-субъективного статуса математических утверждений была высказана Платоном в «Федоне» и «Федре» и развита в диалоге «Государство», книгах V—VII (1]. (Анализ взгля­дов Платона применительно к существованию математических объектов, см. [2]. Но я хотел бы обратить внимание именно на ста­тус математических утверждений, а не объектов). Задавая вопрос, как возможны в мире чистых идей математические утверждения, Платон привлекал для ответа концепцию ноэсиса и писал, что од­ной из разновидностей интеллигибельного выступает такое, в ко­тором предположения вьщвигаются как гипотезы, исходящие не из чувственных объектов, но из чистых идей, они разворачиваются через чистые идеи и заканчиваются в чистых идеях. Утверждения геометрии и арифметики в той части, в которой они имеют дело с идеями числа и фигуры, подпадают под власть ноэсиса. Однако в то же время Платон указывал, что геометры исходят в своих рас­суждениях из эмпирических фигур, как бы имея их исходным пунк­том. Поэтому утверждения геометрии остаются на уровне дианойи, не добираясь до ноэсиса — чистой диалектики идей [3]. В частно­сти, геометрические доказательства имеют в виду чертежи, т.е. конкретные (индивидуальные) математические объекты, а не фигуры вообще [4]. Интересно, что важные соображения о соотношении ноэсиса и дианойи в математическом дискурсе, высказанные устами Сократа в контексте разговора об идеальном государстве, о благе

20

и умопостигаемом мире, Платон счел нужным представить в кон­центрированном виде в окончании этого фрагмента разговора во второй раз, как бы затверживая разбросанные по тексту диалога соображения. Главкон, внимающий Сократу, повторяет то, как он понял его мысль: «Я понимаю, хотя и не в достаточной степени: мне кажется, что ты говоришь о сложных вещах. Однако ты хочешь установить, что бытие и все умопостигаемое при помощи диалек­тики ("ноэсиса". — А. Б.) можно созерцать яснее, чем то, что рас­сматривается с помощью так называемых наук, которые исходят из предположений. Правда, и такие исследователи бывают вынуждены созерцать область умопостигаемого при помощи рассудка («дианойя». — А.Б.), а не посредством ощущений, но поскольку они рассматривают ее на основании своих предположений, не восходя к первоначалу, то, по-твоему, они и не могут постигнуть ее умом, хотя она вполне умопостигаема, если постичь ее первоначало. Рас­судком же ты называешь, по-моему, ту способность, которая встре­чается у занимающихся геометрией и им подобных. Однако это еще не ум, так как рассудок занимает промежуточное положение между мнением и умом» [1 (Государство. Книга VI. Т. 3. С. 294)].

Таким образом, главными моментами платоновской концеп­ции, объединяющей в себе в неразвитом виде и априористскую и идеалистическую трактовки, были: 1) промежуточное существова­ние математических утверждений, расположенных между эмпири­ей (восхождение вверх, анализ в направлении от эмпирических основоположений) и миром эйдосов (спуск вниз, синтез в направле­нии от эйдосов числа и фигуры к сочетающим их утверждениям); 2) познание математических истин как обращение к врожденному душе знанию о мире эйдосов; 3) синтетический характер математи­ческих суждений. Как будет показано далее, пункты 2 и 3 хорошо совместимы с априористской и идеалистической трактовками воп­роса о неэмпирических и несубъективных основаниях математики.

4. Развитие взглядов Платона было осуществлено Лейбницем. Он ввел само понятие «истины априори», относящейся к свойствам некоторой структуры, существующей независимо от того, есть ли чти структура в эмпирическом мире (по Лейбницу, в мире простых субстанций) [5]. Сделано это было следующим образом. Имеются лиа вида истин — истины разума и истины факта. Истины факта ситуативны, и противоположные к ним возможны при некоторых лругих обстоятельствах. Истины разума необходимы, и противопо­ложные к ним утверждения невозможны, ибо из них выводится противоречие. Истины разума посредством анализа сводимы к все нолее и более простым, покуда мы не приходим к исходным (при­ми гивным) истинам разума и к составляющим их понятиям. Опре-

21

деление примитивных истин разума не может быть дано, и они не могут быть доказаны. Тем самым Лейбниц использовал декартов­ское «непосредственное знание» как прямое усмотрение истины (интеллектуальная интуиция). В то же время противоположные к ним утверждения непосредственно противоречивы. Далее Лейбниц вводит понятие «истины априори». По Лейбницу, априори суть истины, необходимо следующие из исходных истин разума. То есть априори есть логически необходимые (выводимые) истины. Эти истины имеют аналитический характер (хотя сами понятия анали­тического и синтетического были введены Кантом). В частности, вся информация, содержащаяся в теоремах геометрии, согласно Лейбницу, содержится в исходном понятии пространства. Естествен­но, такая точка зрения не удовлетворяла Канта, предполагавшего синтетический характер математических утверждений. По мнению В. Тэйта, «это истолкование Лейбнииа дало основание немотиви­рованному тезису Канта³, высказанному им в Трансцендентальной Эстетике, что пространство не есть понятие» [3, р. 40].

5. При построении концепции математического априоризма Кант использовал представления, разработанные Платоном и Лейб­ницем. У Платона, как мне кажется, Кантом заимствованы два положения;

1) он воспринял тезис о причастности математических утверж­дений к сфере внеопытного знания и даже усилил его, отказавшись от промежуточного статуса математических утверждений (отрицая чувственные основания математических утверждений, в частности воплощенные в чертежах эмпирические прообразы геометрических фигур как важные для рассуждений геометров);

2) он признал наличие нового знания в выводимых (из исход­ных) математических утверждениях, выразив это в тезисе о синте­тическом характере математических утверждений.

От Лейбница Кант унаследовал главным образом понятие «ис­тины априори», отказавшись в то же время от ее аналитического характера и от чисто логической выводимости априорных истин из исходных примитивных.

С точки зрения собственно математического априоризма эти заимствования зачастую воспринимаются как источник неяснос­тей, недоразумений и внутренних несогласований. Например, как отмечал Б. Рассел [6], а затем Ф. Китчер и ряд других авторов, важ­ные недоразумения проистекали из смешивания Кантом априор­ного как процесса познания и как его результата — априорных суждений. Как указывал Рассел, это именно неправомерное смеши­вание: априорный процесс познания не обязательно влечет за собой априорные суждения, и наоборот (например, априорные суждения

22     

могут быть результатом апостериорного познавательного акта) [6, р. 21]. Предложенные Кантом критерии априори — необходимость и непосредственная универсальность — отнесены им не только к суждениям, но и к самому процессу познания. Но в таком случае априорные познавательные акты приобретают черты декартовского и лейбницевского прямого усмотрения интеллектуальной истины, что не только устанашшвает дополнительный мостик между кон­цепциями Канта и Лейбница, но и, в принципе, подводит к лейбницевскому тезису об аналитичности истины априори. Примени­тельно к собственно математическому априоризму в его кантовской (классической) версии эти нестыковки приводят к внутренним предпосылкам развития, предполагают процесс «отлаживания» философских позиций. В частности, в данном случае дальнейшее развитие математического априоризма характеризовалось отказом от априорности процесса математического познания (т.е. стало ясным, что схемы доказательств не являются априорно данными).

6. Концепция синтетического априори как самостоятельная эпистемологическая концепция не сводится к заимствованиям, но имеет свои центральные утверждения. И именно Кант в границах этой концепции сформулировал собственно математический апри­оризм — ту его версию, которая стала классической и от которой можно отсчитывать историю математического априоризма. Вопрос об обусловленности математики субъектом в рамках этой версии трансформировался в вопрос о том, существуют ли априорные ос­нования познания, обеспечиваюшие именно такие (а не другие) основания математики и структуру математического дискурса. От­вет Канта — ядро программы математического априоризма, его центральный тезис — звучал так: у математики — субъективные основания, и они суть априорные основания человеческого позна­ния. Имеется априорное синтетическое созерцание в формах про­странства и времени, и математика единственна именно потому, что единственно это созерцание. Это созерцание, продолжал Кант, реализуется как конструирование⁴. Такое конструирование начи­нается с конструирования понятий математических объектов. Так, в геометрии любой теореме об окружностях предшествует констру­ирование понятия «окружность» через постулаты и аксиомы гео­метрии (в данном случае особенно важен постулат, что из любой точки на плоскости можно провести окружность любого радиуса). Для этого у нас есть неэмпирическая интуиция, представляющая либо чистое воображение (формальная интуиция), либо, как пи­шет Кант, чистую форму чувственной интуиции, накладываемую на эмпирию посредством рисования чертежа и т.п. действий. Указанная неэмпирическая интуиция универсально применима при

23

конструировании всех возможных геометрических фигур (скажем, разных треугольников). Затем следуют доказательства, использую­щие ранее созданные (сконструированные) понятия. Доказатель­ства, делящиеся в математике на дискурсивные (понятийный вы­вод) и на демонстрации (при которых в мышлении удерживается его объект, используется «формальная интуиция объекта»), в обоих случаях представляют собой конструирование, т.е. утверждается, что доказательство распадается на два типа конструирования — на понятийный вывод и на демонстрацию с удержанием объекта в мышлении. Независимость от чувственного опыта в обоих типах конструирования — первая важнейшая черта математических суж­дений. Кстати, каждое математическое суждение по самой сути конструирования напрямую соотносимо с априорным синтетичес­ким созерцанием (для каждого суждения я созерцаю, что «это именно так»). Соответственно, я полагаю, что Ф. Китчер не прав, когда он при описании «априористской программы» делит суждения в це­почке доказательного вывода на первичные (соотносимые с апри­орным созерцанием) и вторичные (вывод, согласно правилам, со­храняющим априорное созерцание первичных суждений) [7]. Вто­рая важнейшая черта — синтетический характер математических суждений. В отличие от аналитических суждений, в которых пре­дикат содержится в субъекте суждения и используется принцип непротиворечия (скажем, таково суждение «тело протяженно»), синтетические суждения опираются на принцип непротиворечия и на формулу «предикат не содержится в субъекте суждения, но со­стоит с ним в связи»⁵. Например, суждение, что площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму ее оснований, не явля­ется аналитической истиной и не имеет логического характера. Наконец, прикладная значимость математики обуслоатена приме­нимостью пространства и времени как формальной интуиции к «внешнему чувственно воспринимаемому миру» в виде чистых форм чувственной интуиции. Тем самым Кант тяготел ко взгляду, что прикладная математика также априорна [3]. Разъясняя это положе­ние, Кант пишет: «Исследуя выше понятия пространства и време­ни, нетрудно было дать понять, каким образом они, будучи апри­орными знаниями, тем не менее необходимо должны относиться к предметам и делают возможным синтетическое знание о них неза­висимо от всякого опыта. В самом деле, так как предмет может являться нам, т.е. быть объектом эмпирического созерцания, толь­ко с помощью таких чистых форм чувственности, то пространство и время суть чистые созерцания, a priori содержащие условие воз­можности предметов как явлений, и синтез в пространстве и вре­мени имеет объективную значимость» [8].

24

7. Концепция математического априоризма, предложенная Кантом, должна учитывать две основные группы факторов. Во-пер­вых, в философском (концептуальном) плане она должна быть пред­ставлена как можно более изящно и полно. Все возможные не­стыковки, двусмысленное использование понятий должны быть устранены, а отсылки и пересечения с другими философскими кон­цепциями природы математики — четко обозначены. Математи­ческий априоризм, как я уверен, успешно справляется с этой зада­чей, и именно поэтому он пользуется столь большим влиянием среди философов математики. Во-вторых, математический априо­ризм должен соответствовать математической практике, т.е. тому положению дел, которое наблюдается в реально функционирую­щей («работающей») математике. Именно в этом своем качестве математический априоризм представляет собой программу иссле­дования и обоснования математики⁶. Конечно, математическая практика разнообразна, и ни один отдельно взятый факт, утверж­дение (теорема), пример или контрпример не могут поколебать ма­тематический априоризм. Относительно отдельных «сингулярных» фактов он неуязвим. Однако в математике есть факты и другого рода. К ним относятся значимые кластеры теорий, включая идео­логию этих теорий, массивы часто используемых теорем, принятые и распространенные типы математического дискурса, основопола­гающие приложения и принципы использования математического знания в этих приложениях. Это — интегральные факты математи­ки. С ними любая философская концепция математики вынуждена считаться — в противном случае она будет восприниматься как красивая игрушка философов математики, далекая от реальной жизни. Именно о воздействии таких фактов на математический априоризм и пойдет дальше (начиная с п. 9) речь.

8. Предваряя возможное возражение, выскажу один важный дополнительный тезис. Однажды возникнув, концепция математи­ческого априоризма развивается. В этом плане хотелось бы поспо­рить с теми кантоведами, которые резко отрицательно относятся к попыткам модернизации взглядов Канта. Мне предстаапяется, что такой подход к Канту не продуктивен. Математический априо­ризм — не сформировавшаяся единовременно, а затем застывшая концепция. У Канта не следует искать то, что как бы гениальной предусмотрительностью было заложено им в концепцию математи­ческого априоризма с целью полностью учесть будущую матема­тическую практику. Не надо полагать Канта провидчески подняв­шимся над горизонтом доступного ему современного состояния математики, не надо полагать, что у Канта содержатся ответы на псе вопросы, поставленные математикой последующих эпох. Я ис-

25

хожу из того, что математический априоризм развивается, что ис­следователи после Канта не просто читают и разъясняют его взгля­ды, а делают реальное дело. Они снимают неопределенности во взглядах Канта, истолковывают неясности (о которых сам Кант и не подозревал) в пользу сохранения центральных положений кон­цепции. Кант предупредил возможное будущее развитие математи­ки и сделал математический априоризм достаточно гибким к воз­можному воздействию открываемых интегральных фактов именно благодаря тому, что он не все предусмотрел и не все ясно расставил по местам. Конечно, по мере развития математики возникают но­вые неопределенности, неясности в математическом априоризме, появляются новые вопросы, на которые математический априо­ризм должен давать ответы. Но эти неясности, неопределенности, вопросы характеризуют более глубокие уровни проработки про­граммы математического априоризма.

9. Как расценивать послекантовское развитие математического априоризма в его соотношении с математикой — как прогрессив­ный или регрессивный сдвиг программы? Я постараюсь показать, что это был именно регресс.

Первый «удар фактами» по математическому априоризму был нанесен открытием неевклидовых геометрий. После открытия пер­вой из них, гиперболической геометрии⁷, были созданы риманова геометрия, проективная геометрия, барицентрическая геометрия, аффинная геометрия, эрмитова геометрия, геометрия Лаггера, не­архимедовы геометрии и т.д. В них варьировались разные постула­ты и аксиомы геометрии, вводились вообще другие основания, получались новые, отличающиеся от евклидовых результаты. Фак­ты, представляющие собой целый класс основоположений и ре­зультатов в рамках новых геометрических теорий, были таковы:

А. Постулаты и аксиомы. Наиболее известные факты

  относились к основаниям геометрии, ее пятому постулату. Если утверждение, альтернативное пятому евклидову постулату, не приводит к противоречию и влечет за собой продуктивные следствия, то как тогда быть с кантовским видением постулатов? Напомню, что у Канта постулаты суть практические предположения в смысле оснований дальнейшего конструирования. В этих предположениях содержится синтез (синтетическое априорное созерцание), впервые представляющий нам объекты геометрии и задающий их понятия. Постулаты не могут быть доказаны, их обоснование коренится непосредственно в нашем априорном созерцании. Что, возможны различные априорные  синтетические созерцания?    

26

Б. Понятия. Возникают экзотические понятия, возможные в неевклидовых геометриях, но невозможные в евклидовой геометрии. Например, понятие «двуугольник» существует в римановой геометрии, но в евклидовой оно запрещено (такой синтез невозможен). Получается, что возможно вариативное в разных геометриях конструирование понятий. Но как быть тогда с необходимым характером истин априори?

В. Суждения (теоремы). В евклидовой и неевклидовой геометриях имеются не совпадающие по содержа­нию теоремы. Например, в евклидовой геометрии все треугольники с равными углами подобны, что влечет соотношение их площадей, равное квадрату линейного коэффициента подобия. В гиперболической геометрии это не так. Построить треугольник, подобный данному, но других линейных размеров, нельзя.  Насколько можно доверять доказательствам «альтернативных» теорем? Как  быть с тем, что процесс доказательства суть конструиро­вание как априорный синтез?

Указанные факты, как видно, затрагивают важные компонен­ты математического априоризма в том его прочтении, которое при­писывалось Канту. Общее мнение математического сообщества той эпохи, как я полагаю, состояло в том, что по математическому ап­риоризму нанесен серьезный удар. Так. А. Пуанкаре считал, что если бы априорное созерцание действительно имело место, то мы бы и не могли себе представить неевклидовы геометрии. Он писал: «...Мы должны спросить себя, в чем состоит природа геометричес­ких аксиом. Не являются ли они синтетическими априорными суж­дениями, как говорил Кант? Будь это так, они навязывались бы нам с такой силой, что мы не могли бы ни вообразить себе положе­ние противоположного содержания, ни основать на нем теорети­ческое построение. Неевклидовых геометрий не могло бы быть» [9]. Действительно, общим местом было отождестатение единства априорного созерцания с единственностью евклидова пространства. Евклидовость пространства возводилась, так сказать, не из практи­ки эмпирического оперирования с фигурами на поверхности зем­ли, твердыми телами, натянутыми веревками, лучами света и т.п., а из наличия формы чистой эмпирической интуиции: другая попро­сту не могла быть мыслима. Эта форма совпадает с формальной интуицией, так что единственно мыслимая прикладная геометрия суть приложение «чистой» геометрии. Аналогично такая же ситуа­ция полагалась и с соотношением чистой и прикладной арифметики.

10. Реакция математического априоризма на представленные факты развития математики в общих чертах может быть представ-

27

лена как комбинация уточнений и допущений, сформулированных Гуссерлем и неокантианцами⁸. Я постараюсь показать, что эта ре­акция напоминает регрессивный сдвиг программы в том значении, которое приписывалось этому понятию Лакатосом в концепции научных исследовательских программ.

Во-первых, Кант не предсказывал названные новые интеграль­ные факты развития математики. Их пришлось учитывать post factum. С этим были согласны все исследователи послекантовской эпохи. Причем схема такого учета варьировалась. Один из вариан­тов может быть резюмирован в тезисе «лучшая зашита — нападе­ние». Некоторые неокантианцы интерпретировали открытие неев­клидовых геометрий как блестящее подтверждение взглядов Канта: так, Л. Нельсон утверждал, что поскольку астрономически невоз­можно обнаружить, какая из геометрий верна, то все они должны укладываться в некие более общие посылки неэмпирического про­исхождения [10, с. 18, 25]. Но аргументацию Л. Нельсона ослабляет то обстоятельство, что у Канта нигде нет прямого утверждения, что наряду с евклидовой геометрией должны исследоваться и другие геометрии, не дается никакого намека на то, что геометры должны строить новые системы, варьируя постулаты и аксиомы (хотя Кант и был в курсе некоторых попыток доказательств пятого постулата). Другой вариант ограничивал априоризм в пользу эмпиризма. На­пример, Г. Гельмгольц полагал, что пространство — интуитивное понятие, а аксиомы следуют из нашего опыта. Третий вариант сводил дело к соображениям удобства. Обращаясь к словам А. Пуанкаре, мы избираем более замечательные для нас объекты, с которыми чаше имеем дело в нашем опыте [9, с. 81]. Таким образом, «блестя­щее подтверждение», модернизация тезисов априоризма, конвен-циальные допущения в совокупности составляют, по терминоло­гии Лакатоса, оправдание фактов, а не их предсказание.

Во-вторых, пришлось изменить и уточнить некоторые вспомо­гательные положения математического априоризма, которые Кант связывал с центральным комплексом утверждений о математичес­ких суждениях как априорном синтетическом созерцании в форме пространства и времени. В особенности я бы отметил, что была подвергнута сомнению непреложность априорной интуиции как основания доказательства. Так, Ф. Клейн пришел к выводу, что чем дальше мы продвигаемся в создании сложных математических теорий, тем более интуиция нам изменяет. Очевидность обманчи­ва. Л. Больцман эмоционально писал по этому поводу: «Я вполне согласен с тайным советником Клейном в отрицательном отношении к учению Канта. Я совершенно не понимаю, как можно говорить о доказательствах из наглядного представления. Когда я читаю Кан­та, я совершенно не понимаю, как разумный человек может писать

28

это. Наглядное представление ровно ничего не доказывает. Нагляд­ное представление есть лишь повторение того, что мы восприни­маем чувственным образом. Я не могу совершенно понять того, что человек приносит с собою наглядное представление простран­ства, которое находится над опытом или до опыта; я не знаю, как это следует себе представить» [10, с. 124]. Конечно, Больцман огрубил ситуацию и сделал из нее сугубо эмпирический вывод. В действительности речь может идти только о не наглядности про­цедур доказательства, т.е. об отсутствии ясного отбрасывания лож­ных гипотез внелогическим путем (через наличие априорного со­зерцания). Схожее соображение об ущербности априорной интер­претации процесса математического доказательства высказывалось также Ф. Китчером в контексте его критики математического априоризма. Китчер указывал, что для длинных доказательств не­возможно посредством многократного повторения рассуждений и освежения их в памяти охватить эти доказательства как единый акт. Подходя к концу, мы забываем начало. «Таким образом, когда мы следуем длинным доказательствам, мы теряем гарантии апри­орности их начальных шагов» [7, р. 45]. Я согласен с Китчером за исключением упомянутого мною ранее его утверждения, что эти гарантии состоят всего лишь в «сохраняющих априорность прави­лах» (р. 38): ближе к Канту было бы сказать, что, когда мы следуем длинным доказательствам, мы не можем совместить априорную ин­туицию отдельных шагов доказательств (промежуточных суждений) с интуицией суждения (теоремы) в целом. Эту ситуацию подметил Пуанкаре, когда в главе «Математическое творчество» книги «Наука и метод» указал, что многие люди не способны принять вывод в целом при понимании его отдельных шагов. Для понимания мате­матического доказательства, считал Пуанкаре, необходимо обла­дать интуицией порядка расположения элементов доказательства. «Понятно, — писал Пуанкаре. — что это чувство, этот род матема­тической интуиции, благодаря которой мы отгадываем скрытые гармонии и соотношения, не может быть принадлежностью всех людей. Одни не обладают ни этим тонким, трудно оцениваемым чувством, ни силой памяти и внимания выше среднего уровня, и тогда они оказываются совершенно неспособными понять сколь­ко-нибудь сложные математические теории. Другие, обладая этим чувством лишь в слабой степени, одарены в то же время редкой памятью и большой способностью внимания. Они запомнят наи­зусть частности, одну за другой; они смогут понять математическую теорию и даже иной раз сумеют ее применить, но они не в состоя­нии творить. Наконец, третьи, обладая в более или менее высокой степени той специальной интуицией, о которой я только что гово­рил, не только смогут понять математику, не обладая особенной

29

памятью, но они смогут оказаться творцами, и их поиски новых открытий будут более или менее успешны, смотря по степени раз­вития у них этой интуиции» [9, с. 311—312]. Видно, сколь далека эта интуиция от всеобщей и единой синтетической априорной интуиции истинности математических суждений! Я считаю, что можно найти общую почву соображений Клейна, Больцмана, Китчера, Пу­анкаре, в чем-то ослабив каждое из них: принять математические утверждения и доказать истинность математических утверждений, принять и обосновать — разные вещи. Совокупность математичес­ких суждений («цепочка силлогизмов в доказательстве») обладает качественно иными свойствами по сравнению с каждым отдель­ном суждением. Поэтому логический аппарат в математике пря­мым усмотрением истинности отдельных суждений незаменим. Отсюда необходимо ограничение математического априоризма в части отождествления процедуры доказательства с конструирова­нием как ступенчато осуществляемым априорным синтетическим созерцанием. Априоризм должен потесниться и уступить часть своего «царства» логической процедуре. Однако очевидность, собственно априорное созерцание, остается с суждениями, за границы априо­ризма выводится только процедура их соединения, сведения в сис­тему, доказательного обоснования.

В-третьих, вместо априорного созерцания в форме евклидова пространства возникло допущение о наличии единого фундамента, абсолютного пространства, спецификациями которого являются пространства всех геометрий. Это усовершенствование математи­ческого априоризма, предложенное Л. Нельсоном и следующее из отмеченной ранее стратегии «лучшая защита — нападение», полу­чило внутреннее оправдание. Именно синтетические априорные суждения допускают противоположные как осмысленные, хотя у Канта не говорится, что они истинны наряду с евклидовыми. Неопределенности у Канта позволяли принять такую трактовку, а совместимость различных геометрических систем (так, гиперболи­ческая планиметрия выполняется на псевдосфере, расположенной в евклидовом трехмерном пространстве; «Эрлангенская программа» ф. Клейна устанавливает единые основания различных геометрий через классификацию групп движений; другой вариант взаимосвязи геометрий был предложен в концепции Б. Римана, в которой «ос­новным понятием является не фундаментальная группа, а фунда­ментальная (произвольная) квадратичная форма, являющаяся обоб­щением понятия расстояния между двумя бесконечно близкими точками» [11]. Указанная концепция подводила математическое основание под подобную точку зрения⁹. В то же время сохранялась и более консервативная позиция, согласно которой равноправие различных геометрий есть только в сфере математики (как матема-

зо

 

тических теорий) и в теоретической физике (как теорий, имеющих приложения в физике), но в фундаменте находится именно евк­лидова геометрия как схема нашего созерцания (В. Майнеке). Все остальные геометрии доступны нам постольку, поскольку они огра­ниченно моделируются с помошью евклидовых образов.

11. Что получилось у Гуссерля и неокантианцев, в чем заклю­чалась модификация математического априоризма?

Г. Гуссерль испытал влияние марбургской школы и Б. Больцано. Основные идеи Гуссерля о математике содержатся в его работе «Начало геометрии» [12]. Гуссерль полагал, что сознание необхо­димо очистить от эмпирического содержания, поскольку мы кон­ституируем оглушения в мышлении. А так как акты сознания есть оценочные акты, то при очищении сознания от эмпирии в итоге остается последнее неразложимое единство сознания, его интен-циональность как направленность на предмет. Содержание интенциональности, т.е. на что направлено наше сознание, Гуссерль называет ноэмой, а форму интенциональности, т.е. как сознание направляется на предмет, он обозначает как когито («я думаю, что»). Когито обеспечивает интенциональность как таковую, а ноэма обус­ловливает само содержание сознания, включая возможные вопро­сы об объекте [13]. Интенциональность задает порядок ощущений (то, что Гуссерль называет феноменологической редукцией), в том числе предполагает отбрасывание одних, возможных, но не реали­зовавшихся ощущений, и концентрацию на других ощущениях. Одна из трех разновидностей феноменологической редукции, эйдейтическая редукция (варьирование данных воображения и отбор обра­зов-иллюстраций), лежит в основе математики, логики, этики и эстетики [14]. Как выражается Гуссерль, феноменологическая ре­дукция выводит на разные «онтологические регионы» интенцио­нальности, и в том числе на «онтологический регион» математики (кстати, близкая конструкция была дана в статье Душкина [15]). Можно сказать, что это и будет аналог кантовского ареала математи­ки как области, содержащей суждения, представляющие априорное синтетическое созерцание. Состав математического онтологического региона весьма разнообразен, например, в нем может присутство­вать мысленное осуществление некоторых действий по воображае­мому скручиванию, склеиванию и т.п. некоторых поверхностей. Р. Трагессер показывает, что при подобных действиях нам обяза­тельно приходится достраивать наше представление объектов, с ко­торыми мы действуем. По-настоящему «у нас есть иллюзия уста­новления синтетических истин априори» [13, р. 97]. Таким обра­зом, у Гуссерля происходит отказ от предзаданности априорных форм созерцания. Ноэмы эволюционируют, что обеспечивает рас­ширение математики.

31

Попытки усовершенствовать априоризм в его части, предлага­ющей обоснование математического знания, совершались также представителями неокантианских школ и напраштений. Взгляды сторонников «физиологического» (Ф. Ланге, Г. Гельмгольц) и «психологического» (Л. Нельсон) направлений, внесших значительный вклад в эволюцию математического априоризма, были представлены ранее (см. п. 10). Кроме того, здесь следует упомянуть две школы последователей Канта — Марбургскую и Баденскую.

В Марбургской школе — Г. Коген, П. Наторп, Э. Кассирер [16] — гипотеза занимает место априорных форм, и с ее помощью произ­водится упорядочивание созериания.

Представители Баденской школы (В. Виндельбанд, Э. Ласк, Г. Риккерт, последний в наиболее явной форме [17], — предлагают другой вариант: безличное сознание конструирует математические суждения, которые априорны с позиций отдельного индивидуума.

Видно, что реконструировать общую позици