В.Я. Перминов. Развитие представлений о надежности математического доказательства

В. Я. Перминов

РАЗВИТИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О НАДЕЖНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

Издание второе, стереотипное

МОСКВА

УРСС

ББК 22.12 87.4

Пермшюв Василий Яковлевич

Развитие представлений о надежности математического доказательства.

Изд. 2-г, стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 240 с.

ISBN 5-354-00891-3

Книга посвящена рассмотрению философских проблем, связанных с понятием математического доказательства. Может ли быть математическое доказательство абсолютно строгим? Является ли вполне надежной система логических норм, используемых в доказательстве? Может ли быть гарантирована непротиворечивость системы доказательств определенной теории? Несет ли доказательство новую информацию? Автор стремится дать ответ на эти и некоторые другие вопросы, касающиеся природы математического доказательства. Обсуждаются мнения философов и математиков по каждой из указанных проблем.

Для студентов философских и физико-математических специальностей, а также для всех тех, кто интересуется философскими проблемами современной науки.

Рецензенты:

доктор философских наук, профессор Л. Б. Баженов;

доктор физико-математических наук, профессор Б.А.Розенфельд;

кандидат физико-математических наук, профессор Г. И. Макаренко

Издательство «Цциториал УРСС». 117312, г. Москва, пр-т 60-летия Октября, 9. Лицензия ВД №05175 от 25.06.200J т. Подписано к печати 17.08.2004 г. Формат '50x90/16. Тираж 500 экз. Печ. я. 15. Зак. Ns 2-1476/650.

Отпечатано в типографии ООО «РОХОС». 117312, г. Москва, пр-т 60-летия Октября, 9.

ISBN 5-354-00891-3

ИЗДАТЕЛЬСТВО

НАУЧНОЙ И УЧЕБНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

E-mail: URSS@URSS.nj Каталог изданий в Internat: http^/URSS.nj Тел./факс: 7 (095) 135-42-16 Теп/факс: 7 (095) 135:42-46

i В.Я.Перминов, 1986, 2004 i Едиториал УРСС, 2004

2747 ID 23788

»785354"008919">

Ложь же никоим образом не входит в число, ибо ложь враждебна природе его, ис-тина же родственна числу и связана с ним с самого начала.

Филолай

ВВЕДЕНИЕ

Математика издревле понималась как абсолютно строгая наука, где все положения доказаны совершенно определенно и навсегда. Самые выдающиеся мыслители античности, средних веков и нового времени пытались лишь объяснить непреложность математических истин, но никогда не ставили их под сомнение. В нашем веке, однако, релятивистский критицизм« захватил и математику.

В последнее время среди математиков и философов все более распространяется, можно сказать, становится модным скептическое отношение к достоверности и строгости математического доказательства. Традиционное представление о математике как об идеально строгой науке заменяется теперь чем-то совершенно иным, вплоть до того что математика объявляется наукой, сливающейся с гуманитарным знанием по характеру своих понятий и утверждений '. Однако если мы попытаемся понять причину этого явления, то встретимся с большими затруднениями. Дело в том, что большинство современных критиков математики как из лагеря философов, так и самих математиков отдают предпочтение некоторому свободному стилю изложения и чрезвычайно неохотно входят в детальный анализ таких понятий, как интуиция, формализация, логическая норма и т. д., необходимых для решения вопроса по существу. Еще меньше внимания уделяется гносеологическим основаниям проблемы, выяснению общих условий строгости рассуждения и критериев его достоверности.

Задача данной книги состоит в том, чтобы дать гносеологический анализ понятия строгости и с этой

позиции прояснить смысл современных фаллибилист-ских веяний в понимании математики.

Вопрос о строгости математики не является чисто академическим, он может быть поставлен в совершенно конкретной методологической форме. Представим себе физика, который, используя некоторую математическую теорию, предсказывает определенное событие. Если это событие не происходит, то он может винить в этом либо физическую модель, либо математическую теорию (логику вывода), либо точность интерпретации — адекватность математической теории отношениям в физической модели. Традиционное понимание математики дает нам здесь совершенно однозначную установку: расхождение между предсказанием и экспериментом может быть следствием несовершенства физической модели либо неадекватности интерпретации, но никоим образом не дефектности дедуктивного рассуждения. При традиционном: понимании математики как строгой науки мы не ставим вопроса о надежности математического аппарата самого по себе, его способности переводить истинные суждения в истинные. Современные сомнения в строгости математического доказательства есть, таким образом, сомнения в правильности традиционной методологии применения математики, в надежности ее как одного из средств исследования природы.

Строгость математического доказательства нельзя рассматривать как некоторое простое, целостное и неразложимое качество. Говоря о строгости доказательства, мы имеем в виду ряд относительно независимых друг от друга его свойств, каждое из которых требует особого анализа.

Рассмотрим для примера известное доказательство бесконечности простых чисел, данное Евклидом. Оно проводится методом «от противного» в несколько шагов, каждый из которых не вызывает сомнения в своей законности. Предположим сначала, что'в ряду натуральных чисел только конечное число простых чисел, наибольшим из которых является число р. Рассмотрим теперь число Л=2'3'...-р+Г, где 2; З...р — все простые числа от 2 до р. Число А либо простое, либо составное. Предположение, что А простое, очевидно, противоречит допущению, что p — наибольшее простое число. Пусть А составное. Тогда оно, по основ-

ной теореме арифметики, разлагается на простые сомножители. Но так как А не делится ни на одно из простых чисел от 2 до р, то каждый из его простых сомножителей должен быть числом, большим р. Мы опять приходим к противоречию с тем допущением, что p — наибольшее простое число. Так как допущение утверждения «существует наибольшее простое число» во всех случаях ведет нас к противоречию, то это утверждение ложно и, значит, доказано, что в ряду натуральных чисел наибольшего простого числа не существует.

Это доказательство нас убеждает, и мы предполагаем, что оно совершенно строго. Но, предполагая это, мы допускаем несколько гипотез в его компонентах.

В доказательстве мы опираемся прежде всего на некоторые утверждения о натуральном ряде, которые можно назвать аксиомами. Очевидно, в частности, что мы опирались на следующие утверждения:

1. Числа натурального ряда можно перемножать и складывать, получая в результате числа натурального ряда.

2. Каждое натуральное число разлагается на простые сомножители единственным образом с точностью до порядка сомножителей.

Допустим, что посредством самого внимательного анализа доказательства мы находим некоторое число таких аксиом и останавливаемся на этом, считая, что все предпосылки, необходимые для доказательства, уже выявлены, или, другими словами, предполагая, что содержащаяся в них информация достаточна для доказательства теоремы без привлечения какой-либо другой информации, внешней по отношению к нашим аксиомам. Насколько мы можем быть уверены в этом и существуют ли вообще средства убедиться, что данная теорема вытекает только из данного множества аксиом без привлечения дополнительных предпосылок? Многократное повторение доказательства здесь ничего не дает, ибо, как показывает история математики, неявные предпосылки доказательства остаются неявными не в силу пренебрежения к строгости отдельных математиков. Утверждая, что приведенное выше доказательство строго, мы предполагаем прежде всего, что оно выведено из определенного

конечного числа утверждений и не использует никакой информации, выходящей за пределы этих утверждений. Строгое доказательство, таким образом, это доказательство из конечного числа явных утверждении и герметичное по отношению к ним, т. е. не использующее никакой информации, кроме той, которая в нлх содержится. Обосновать строгость математического доказательства — это значит прежде всего обосновать его герметичность по отношению к некоторому данному множеству посылок.

Утверждая, что некоторое математическое доказательство строго, мы предполагаем также, что использованные в нем правила логики в некотором смысле совершенны и не могут нас подвести. В приведенном доказательстве мы использовали две логические схемы, а именно: закон исключенного третьего (А\/А) и правило приведения к абсурду (Л-*(В&В))-+А), означающее, что если из допущения ложности А вытекает противоречие, то А истинно. Более сложные доказательства используют, конечно, более богатый арсенал логических средств, но с принципиальной стороны' это несущественно. Утверждая строгость конкретного математического доказательства, мы утверждаем и надежность используемых правил логики. Дискуссия о законе исключенного третьего в XX веке в связи с интуиционистским пониманием математики показала, что это отнюдь не тривиальное допущение. Проблема строгости математического доказательства состоит в этом плане в обосновании надежности логических средств доказательства (логических норм).

Допустим, что мы каким-то образом разрешили как проблему герметичности, так и проблему адекватности логических норм и совершенно убеждены в адекватности посылок заключению в данном конкретном доказательстве или во всем множестве доказательств некоторой теории. Оказывается, что это еще не решает проблему строгости удовлетворительно. Наше доказательство перестанет быть для нас доказательством, если обнаружится, что в той же системе предпосылок можно доказать и противоположное утверждение. По отношению к рассмотренному доказательству мы убеждены, что такого быть не может. Такая ситуация (ситуация противоречия) практически возникает редко, но тем не менее она возможна, и обо-

снование строгости данного конкретного доказательства предполагает доказательство его однозначности в смысле результата, а точнее, доказательство непротиворечивости всех утверждений, выводимых в данной системе аксиом. Проблема обоснования математической строгости в этом плане сводится к обоснованию непротиворечивости системы математических теорем.

Проблема строгости в математике в первом приближении сводится, таким образом, к следующим трем проблемам:

1. В какой мере возможно обоснование герметичности доказательств?

2. Насколько мы можем доверять правилам логики, используемым в доказательстве?

3. В какой мере можно обосновать однозначность доказательства, т. е. невозможность противоречащего результата в данной системе посылок?

Задача настоящей работы состоит в том, чтобы попытаться в возможно более систематической форме ответить на эти три вопроса.

Для понимания современных рассуждений о пределах математической строгости и пределах ее критики необходимо провести существенные различения. Необходимо прежде« всего провести различие между идеалом строгости и нормами строгости, специфичными для каждой эпохи ее развития. Идеал математической строгости изменяется чрезвычайно медленно. Со времени греческой математики и до XIX века он по существу оставался неизменным и состоял в требовании, чтобы теоремы следовали из аксиом без прибавления к ним каких-либо посторонних допущений, т. е. он состоял в требовании герметичности доказательства. Наиболее важное изменение этого идеала произошло в XIX веке и состояло в отказе от реалистической интерпретации аксиом как истинных и очевидных утверждений. Современный математик не связывает идеал строгости с требованием предметной истинности аксиом или с идеей их очевидности. Он вместе с тем включает в этот идеал наряду с герметичностью также и требование непротиворечивости всей системы выводов и адекватности логических норм. Это ооогащение идеала идет, однако, не по линии его радикального изменения, а лишь в плане

экспликации традиционного понятия. Требование непротиворечивости всей системы выводов данной теории и требование адекватности логических норм неявно всегда включались в представление о строгом выводе, но для математиков вплоть до XX века эти требования представлялись всегда и безусловно выполненными, всегда имеющимися налицо предпосылками мышления, проистекающими из самой его природы. Лишь в последнее время было понятно, что эти условия не выполняются сами собой, что здесь возможна вариабельность, следовательно, и особый источник нестрогости математического рассуждения в целом. Явная формулировка указанных условий сделалась, таким образом, обязательной для адекватного представления идеала строгого вывода. Подобные изменения в общем представлении о строгости, разу-меется, возможны и в будущем, но важно отметить, что они происходят чрезвычайно медленно и только в рамках экспликации фундаментальных представлений о сущности математики как науки.

Напротив, признаки, с которыми мы связываем строгость доказательства, в то или другое время изменяются относительно быстро. Признаком строгого доказательства для пифагорийцев раннего периода было доказательство арифметическое. После открытия несоизмеримости величин гарантией строгости стали считать проведение его в геометрических понятиях. Декарт настаивал на правах интуитивной ясности и очевидности и поднял эти критерии математической истины до уровня общего критерия истинности. В XVIII веке был выдвинут ряд отрицательных признаков строгого доказательства: запрет апеллировать к геометрическому чертежу и т. д. Очевидность окончательно потеряла свои права в качестве признака строгости в XIX веке. Никогда не угасающие споры о строгости математики редко затрагивают общий идеал строгости; в этом пункте, на уровне общей интуиции строгости, математики не расходятся друг с другом. Речь идет, как правило, о конкретных требованиях к доказательству, которые предполагаются идеалом строгости. Общий идеал строгости не дает здесь однозначного руководства, и каждая эпоха в развитии математики характеризуется преобладанием своих, только ей свойственных требований к

математическому рассуждению, призванных гарантировать его строгость.

Общие принципы строгости, которые выдвигаются той или иной эпохой, далеко не всегда могут быть реализованы в форме эффективных критериев. Требование избегать геометрических интуиции в доказательстве выдвигалось уже Эйлером, но оно не могло быть критериальным до появления идеи формализованного доказательства в конце XIX века. Естественное с современной точки зрения требование непротиворечивости вводимых определений пока не имеет никакого реального критерия. В общем случае поэтому необходимо различать исторические 'нормы (требования) строгости от критериев строгости, посредством которых эти нормы проводятся и фиксируются в реальном рассуждении.

Степень развития норм и критериев строгости необходимо отличать от уровня фактической строгости математических доказательств в ту или другую эпоху. Мы будем считать математическое доказательство фактически строгим, если оно принимается в качестве доказательства и с точки зрения последующих эпох, т. е. если оно не может быть отвергнуто как ошибочное и невосполнимое с точки зрения каких-либо других, более глубоких критериев строгости. Фактическая строгость математики в широком диапазоне независима от существующих норм и критериев строгости. Несмотря на неразвитость таких критериев, математики всех времен мыслили достаточно строго. В отличие от эмпирического знания в математике мы не наблюдаем систематического процесса фальсификации утверждений, полученных учеными предшествующих эпох. Эта замечательная особенность математического знания является, несомненно, одним из оснований представления о математике как о строгой и непогрешимой науке.

Обсуждая математический метод, мы явно или неявно исходим из определенного образа математики как науки, из некоторых гносеологических предпосылок, которые (по крайней мере в определенном контексте) не подвергаются обсуждению. Одной из таких предпосылок является то или иное решение вопроса о характере математических понятий и об отношении математики к эмпирической науке. Здесь исторически

сформировались три основных взгляда, три образа математики, которые можно охарактеризовать как содержательный, или предметный, формалистский (структуралистский) и функциональный, или системный⁵. Хотя эти представления возникли в различные эпохи на основе существенно различного содержания математики, они продолжают сосуществовать и в современной философии математики, определяя различные подходы ко всем ее проблемам.

В соответствии с первым воззрением математика понимается как наука, отражающая некоторые аспекты реальности, как имеющая определенный предмет. По вопросу о том, что именно отражается в математических понятиях, что является предметом математики, в истории философии и математики имели место существенно различные мнения. Для пифагорий-цев — это сам космос'в его идеальной законченности, для Аристотеля, Бэкона, Ньютона и многих других математиков и философов вплоть до XIX века — это некоторые отношения реальных вещей, взятые в идеализированном виде, для Канта, Шопенгауэра и Бра-уэра — это непреложности самого сознания (чистая интуиция пространства, процесс мысленного конструирования и т. п.). Реализм в современной философии математики также связывает математические понятия с некоторым содержанием, истолковывая его однако скорее в онтологическом, чем в эмпирическом или теоретическом плане. Для содержательного понимания математики характерно стремление «означить» математические понятия через их соотношение с некоторой независимой от них реальностью (объективной или субъективной), объяснить особенности математики как науки из специфики этой реальности. Математика безусловно истинна для пифагорийцев как отражение идеального космоса. Ньютон, Гегель, Конт, Милль объясняли точность математических истин особой простотой тех сторон природы, которые она отражает. Для Канта и Брауэра достоверность математики проистекает из непосредственной интуитивной данности ее объектов.

Натуралистическое воззрение на математику уже в XVIII веке вошло в неустранимое противоречие с фактическим ее содержанием. Признание неевклидовых и многомерных геометрий, абстрактных алгебр,

разрывных функций и, наконец, актуально бесконечного привело к радикальному изменению взглядов математиков на природу своей науки. Точка зрения, сформировавшаяся к концу XIX века, подчеркивает логическую природу математических понятий и математических теорий. Математическая теория с этой точки зрения не имеет предмета в том смысле, в каком его имеют естественные науки. Математическая теория в своих понятиях может отражать реальность, но она, в отличие от опытных наук, не исследует этой реальности; она направлена на построение логических замкнутых структур, которые и делает своим предметом исследования. Пространство — 'не предмет геометрии, но лишь ее интуитивная основа, облегчающая построение системы геометрических операций. Математические понятия — не абстракции и даже не идеализации, подобные идеализациям физики, но конструкции, удовлетворяющие определенным преобразованиям и созданные именно для этой цели. В основе образования математических теорий лежит не абстрагирование, не тенденция к адекватности отражения, но осознанная или неосознанная конвенция, нацеленная на то, чтобы сконструировать систему объектов с достаточно богатой системой внутренних (логических) связей.

Математическая теория как логически организованная система объектов и операций должна рассматриваться сама по себе вне какой-либо предметной интерпретации. В этом смысле она не истинна и не ложна, но может приобрести это качество только в процессе такой интерпретации. Формалистская концепция математики, в отличие от содержательной, не накладывает каких-либо ограничений на предмет математики: приемлем любой объект, заданный непротиворечивой системой требований. Строгость и непреложность математического рассуждения проистекают с этой точки зрения не из свойств предмета отражения, но исключительно из логической организации математической теории. Единство математики как науки определяется также не предметом, но только методом.

Развитие математики в XX веке привело к некоторому изменению этой позиции. Оно все более побуждает рассматривать математику с точки зрения

ее системной организации и ее функции. Математическая теория не соотносится в обязательном порядке с какой-либо системой эмпирических представлений, но она рассматривается как необходимо связанная с реальностью в качестве прямого или косвенного орудия ее преобразования, как необходимый элемент математики в целом. Если сторонник структуралистской точки зрения определяет математику как совокупность абстрактных структур, то функционалист определяет ее как систему моделей, подчеркивая потенциально прикладной характер математических теорий и основной стимул развития математики как науки. Математика понимается здесь как функционально подчиненная подсистема в системе научного знания в целом. Характер математических понятий, внутренняя структура математики и сама ее история истолковываются теперь на основе некоторых общих гипотез о ее функции в познании. Конвенция, играющая значительную роль в формалистском понимании математики, перестает быть произвольной — на нее накладываются требования актуальной «ли перспективной целесообразности для функционирования ма-тематики в целом. Абстрактная свобода построения объектов также, естественно, ограничивается практической целесообразностью. Функционалистская философия математики делает акцент не на логической структуре математики, но на целостности ее как динамической системы, на особенностях развития математической теории, на обосновании внутренней телеологии этого развития, на связях математики с другими науками. Сама логическая организация математического знания рассматривается здесь как продукт системности математики, взаимосвязи ее частей.

Функциональная (системная) точка зрения на математику будет основной гносеологической предпосылкой нашего исследования математической строгости. Строгость математического рассуждения, несомненно, не самоцель. Она возникает и совершенствуется как некоторое средство, определяющее эффективность математики, и она, следовательно, может быть понята только из основных требований этой эффективности, т. е. из общих задач математики по отношению к науке в целом.

Наряду с понятием строгости мы будем использо-

вать также понятие достоверности (надежности) математического доказательства, характеризующее доказательство с точки зрения предмета рассуждения, фактического положения дел в некоторой внутрима-тематической или физической реальности. Имеются заведомо нестрогие рассуждения, но достоверные в том смысле, что они приводят к установлению полной истины. С другой стороны, можно представить себе логически законченное (строгое) доказательство, которое по некоторым причинам не воспринимается как достоверное, гарантированное от контрпримеров. Такая ситуация возникает иногда в основаниях математики. Таким образом, строгость и достоверность — разные понятия, хотя и тесно связанные: наше стремление к строгости доказательства проистекает, очевидно, из стремления к его достоверности и надежности как средства предсказания в науке.

Отметим еще то обстоятельство, что математическое доказательство может рассматриваться с нескольких, существенно различных точек зрения. Мы можем изучать его с позиций чистой логики, анализируя его структуру и типы, можем подходить исторически, выясняя обстоятельства зарождения и смены его канонов, рассматривать его в плане возможных эвристических средств, как это делает в своих книгах Д. Пойа, или, наконец, исследовать его психологический механизм. Задача философии не в синтезе этих подходов. Такой синтез, вообще говоря, и невозможен. Гносеологический подход состоит в рассмотрения доказательства с особой точки зрения, а именно с точки зрения его функции, его общих задач в науке.

Глава I

ГЕРМЕТИЧНОСТЬ И ДОСТОВЕРНОСТЬ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

Строгое математическое доказательство отличается от всякого другого рассуждения тем, что в нем не используется никаких допущений, которые не зафиксированы в посылках. Это свойство доказательства мы будем называть герметичностью.

Герметичность доказательства не тождественна простой достаточности посылок, ибо при наличии таких посылок доказательство может проводиться не строго, а с обращением к некоторого рода наглядности, аналогиям и т. п.

При анализе герметичности мы будем обращать внимание не на формальную достаточность посылок в теории для того или иного доказательства, но на фактический процесс доказательства в плане наличия или отсутствия в нем посылок, не оговоренных в условиях.

Это простое требование на практике оказывается чрезвычайно трудно выполнимым. История математики показывает, что многие доказательства даже в элементарной математике, считавшиеся совершенно строгими в течение многих веков, при более тщательном анализе оказались негерметичными, неполными с точки зрения фиксации своих посылок. Теоретическая задача состоит в том, чтобы понять вообще принципиальные возможности математического рассуждения быть абсолютно герметичным.

Негерметичное доказательство выглядит для нас убедительным, принимается как строгое по той причине, что оно является интуитивно ясным. Именно интуиция скрывает от нас недостаточность логики, принципиальную нестрогость доказательства. Исследование герметичности, таким образом, требует прежде всего анализа доказательства с точки зрения взаимосвязи в нем интуитивных и логических элементов.

I. Тенденция математических доказательств к герметичности

Слово «доказательство» в самом общем смысле обозначает рассуждение, приводящее к установлению истинности некоторого утверждения. В математике доказательство может быть проведено на двух уровнях: на формальном и содержательном. Под содержательным математическим доказательством понимается рассуждение относительно математических объектов (чисел, фигур, функций, операций и т. п.), которое опирается на очевидные или данные в определении свойства этих объектов и протекает в рамках обычной логики научного рассуждения. На доказательство в этом смысле не налагается никаких требований, кроме того что оно должно быть достаточно убедительным.

Основная часть математики всегда была и является в настоящее время содержательной по характеру своих рассуждений. Математики убеждают себя и других в правильности своих доказательств, исходя из необходимых свойств объекта, очевидных возможностей его преобразования, перестройки и т. п., из бесспорной правильности известных арифметических и алгебраических операций и т. д. При этом они, как правило, не вникают в анализ логической структуры доказательства и не ставят под сомнение норм обычной логики.

Специалисты по математической логике и основаниям математики понимают, однако, под доказательством нечто другое. Они стремятся предельно выявить все компоненты доказательства, уяснить логический характер и истоки каждой из его посылок и, наконец, сделать явной логику доказательства, узаконить каждый его шаг с точки зрения определенного, заранее зафиксированного правила. Другими словами, они заменяют обычное содержательное математическое доказательство неким аналогом, предельно жесткой схемой, которая призвана зафиксировать его логическую структуру, в возможном отвлечении от различного рода внелогических представлений, обычно связываемых с объектами в содержательном рассуждении. Такой аналог математического доказательства, построенный с помощью символов и операций

математической логики, называется формальным¹ доказательством.

Этот аналог является адекватным в том смысле, что он может быть построен для любого правильного математического доказательства и может рассматриваться, таким образом, в качестве критерия правильности содержательного доказательства. Математическое рассуждение можно считать правильным (строгим, корректным) в том и только в том случае, если для него может быть построен формальный аналог (формальное доказательство).

Говорить о формальном доказательстве имеет смысл только для формализованной теории, поэтому необходимо пояснить смысл этого последнего понятия. Формализованная теория считается заданной, если заданы следующие ее компоненты:

1. Алфавит, т. е. список всех употребляемых в ней знаков (постоянных, переменных, логических знаков, скобок).

2. Правила построения правильных формул, т. е. правила, отделяющие правильные формулы от случайной последовательности знаков.

3. Аксиомы, представляющие собой список формул, принятых в данной теории в качестве истинных.

4. Правила вывода, фиксирующие допустимые способы перехода от одних формул к другим.

Если формализованная теория задана, то формальное доказательство может быть определено как последовательность формул в формализованной теории, каждая из которых является либо аксиомой, 'либо формулой, выводимой из аксиом посредством допустимых в данной теории правил вывода. Последняя формула в этой цепи будет теоремой.

Из этих общих определений уже видно, что формальное доказательство представляет собой некоторого рода механическую процедуру со знаками и их комбинациями, призванную выявить и предельно канонизировать допустимые ходы реального математического рассуждения. Главной особенностью такого доказательства является полное отвлечение от смысла объектов рассуждения, они даны нам теперь только в виде формул, к которым применимы те или иные правила перестройки, объединения и т. д.

Другой его особенностью, важной с гносеологи-

ческой точки зрения, является конечность процедуры подтверждения. Если представлено формальное доказательство формулы в формализованном исчислении, то нетрудно видеть, что проверка его правильности сводится к ряду конечных и эффективных процедур. Мы имеем конечное число формул (по определению доказательства), каждая из которых за конечное число шагов проверяется, как принадлежащая к множеству правильно построенных формул. Законность появления каждой формулы в доказательстве обосновывается либо указанием на то, что она аксиома, либо демонстрацией конечного числа применений правил вывода к аксиомам, посредством которых она выводится из аксиом.

Из сказанного ясно, что формализованные теории в математике — не особая ветвь математики (такая математика сама по себе вообще не могла бы развиваться), но некий аналог содержательной математики, который строится с той целью, чтобы обосновать полную законность утверждений, полученных на содержательном уровне. Идея построения такого аналога возникла не из чистого стремления математиков к абсолютной строгости, но из весьма реальных методологических трудностей, обнаружившихся в XVIII и XIX веках в обосновании принципиально важных математических результатов. Формализация доказательства представляется, в частности, единственным надежным средством убедиться в герметичности доказательства, т. е. в том факте, что определенное утверждение (теорема) следует из данных и только из данных положений и доказательство его не использует каких-либо неявных допущений, оставшихся вне нашего контроля.

Тенденция к герметичности математического рассуждения, к безусловному выявлению всех его посылок проявляла себя на всех этапах, развития математики. Прекрасным примером является здесь геометрия в истории поисков окончательного обоснования всей системы утверждений. Известно, что доказательства геометрии в том виде, как они представлены в «Началах» Евклида, содержат много погрешностей против строгости, в частности, почти все они негерметичны. ,-Как показывает современный анализ, Евклид сформулировал меньше половины аксиом,

необходимых для систематического вывода геометрических теорем *. Он оставил в стороне аксиомы непрерывности, аксиомы положения, аксиомы конгруэнтности (движения) и ряд других положений, без которых строгое развитие геометрии невозможно. Математики постепенно выявляли эти погрешности, но только s XIX веке в связи с развитием самой идеи аксиоматической строгости геометрия получила удовлетворительное логическое обоснование.

Другим замечательным примером движения к строгости является развитие идей дифференциального исчисления в XVIII веке. Здесь мы в очень яркой форме можем наблюдать весь спектр возможных нарушений строгости в рассуждениях математиков, а с другой стороны, и постоянную борьбу за ее восстановление. Рассмотрим этот пример подробнее.

Современная математика (дифференциальное и интегральное исчисление) появилась в Европе в XVII веке как дальнейшее развитие метода исчерпывания, изобретенного в античной математике, а также в русле анализа геометрических свойств кривых линий, таких, как эллипс, гипербола, парабола, циклоида и т. д. В какой-то мере эти исследования диктовались и практическими потребностями в связи с интересом к задачам механики и астрономии.

В работах математиков XVII века (Кеплер, Ка-вальери, Ферма, Барроу и др.) были различными частными методами решены многочисленные задачи, которые мы относим сегодня к дифференциальному и интегральному исчислению: нахождение площадей криволинейных фигур, проведение касательной к произвольной кривой, нахождение максимумов и минимумов у широкого класса функций. Лейбниц и Ньютон завершили эти работы созданием алгоритмов, позволяющих единообразным путем решать все эти, на первый взгляд разнородные задачи. Эти алгоритмы, будучи приняты, подверглись, однако, критике за неясность в основных понятиях.

Основным понятием теории Лейбница было понятие дифференциала, или бесконечно малого прира-шения функции. Пусть мы имеем функцию y~f(x). Если мы увеличим ее аргумент (х) на некоторую величину dx, то получим приращение функции dy=f(x+ +dx)—f(x). Для Лейбница ауФЪ, но_г с другой сто-

роны, эта величина столь малая, что, умножив ее на любое конечное число, мы не получим конечной величины, т. е. Лейбниц в основном своем определении проводил чуждую элементарной математике и вообще здравому смыслу идею неархимедовой величины². Эта идея, однако, была необходима Лейбницу для оправдания предлагаемого им способа вычисления дифференциала. Пусть, к примеру, дана функция t/= = х². Придавая переменной х приращение dx, получим y+dy= (x+dx)², откуда dy=2xdx+dx². Величину dx² Лейбниц предлагает отбрасывать как несравненно малую по отношению к величине 2xdx. В результате dy—2xdx. Результат правильный с- современной точки зрения, но процедура его получения является, очевидно, противоречивой. Если допустить, что dx=Q_tто и dy=Q (из исходного равенства). Но если dx^Q_tто, не нарушая строгости, мы не имеем права отбрасывать dx². Рассуждения Лейбница о несравненно малых величинах были попыткой как-то оправдать такой способ действия.

Алгоритм Ньютона базировался на другом варианте понятия актуально бесконечно малой, на понятии флюксии (производной — в современной терминологии) и страдал тем же самым противоречием. При отыскании флюксий Ньютон также отбрасывал члены, заведомо не равные нулю, хотя вообще высказывал мнение, что в математике недопустимо пренебрегать никакими количествами, хотя бы и самыми малыми ³.

Хотя абстрактно идеал строгого доказательства сохранялся, практически строгость была утеряна. Дж. Беркли не без сарказма заявлял, имея в виду прежде всего Ньютона: «Тому, кто в состоянии переварить вторую или третью флюксию, второй или третий дифференциал, не следовало бы привередничать в отношении какого-либо положения в вопросах религиозных» ⁴.

К. Маркс, рассматривая историю развития анализа, писал по поводу исчисления флюксий у Ньютона: «Если в y=ùz+zu + ùè (слагаемое) иг отбрасывается ввиду его бесконечной малости по сравнению с ùz и zu, то математическим оправданием этому может служить лишь ссылка на то, что ùz+zu имеет в моих глазах приближенное значение, мыслимое сколь угод-

но близким к точному. Подобного рода маневр встречается и в обыкновенной алгебре. Но тогда мы оказываемся перед лицом еще большего чуда: благодаря этому методу мы получаем для производной функции [в] х отнюдь не приближенные, а совершенно точные значения...»⁵.

Противоречивость основополагающих принципов дифференциального исчисления, несогласие их с пред-, ставлениями о строгом доказательстве были очевидными для большинства математиков XVIII века. Эйлер, Даламбер и Лагранж говорили о необходимости возвращения к «греческой строгости». Это действительно было актуальным: греческие математики, несмотря на свои недостатки в строгости, не смешивали строгое доказательство с приближенным и не пренебрегали явно реальными величинами в предположении их ничтожной малости. Задача, однако, была сложной и, более того, практически невыполнимой. С современной точки зрения совершенно ясно, что анализ не мог быть обоснован в XVIII веке просто в силу того, что он еще не подготовил тех понятий, в которых это обоснование могло быть реализовано. Оно было невозможно, поскольку не были выработаны строгие определения предела, функции, непрерывности и самого дифференциала (известно, что до середины XVIII века дифференциал смешивался с приращением функции). Оно не было возможным еще и потому, что отсутствовал сам идеал обоснования. Идея аксиоматического метода, перешедшая в новое время от античности, была слишком неопределенной и не могла стать методологическим руководством для математиков XVIII века. Надо было не просто возвратиться к греческой строгости, но существенно превзойти ее, уточнить сам идеал обоснования. Условий для такого методологического шага в XVIII веке, как мы понимаем теперь, еще не было. Требовалось, наконец, уточнить само понятие строгого доказательства. Общий идеал строгости у математиков XVIII века был, разумеется, совершенно правильным и мало отличающимся от современного: доказать строго — это значит вывести с необходимостью из истинных посылок. Но какие посылки можно считать допустимыми в математическом рассуждении и как можно проверить «необходимость» следования — на эти во-

просы математики того времени, как показывает анализ, не имели достаточно определенного ответа.

Многие математики стремились обосновать анализ на пути, который нужно охарактеризовать как метафизический, или натурфилософский.

Метафизическое обоснование исчисления бесконечно малых проявлялось в стремлении оправдать чисто математические операции (в первую очередь дифференцирование) ссылкой на некоторые фундаментальные свойства природы. Вообще такая аргументация соответствовала духу XVIII столетия, когда еще крепко было убеждение в том, что философия является наукой наук и что все частные законы о природе должны быть выведены из общих философских принципов. Такая тенденция проявилась и в обосновании анализа на первой стадии его развития.

Важное место в аргументации Лейбница занимает принцип непрерывности, на основе которого он стремится дать некоторое общее оправдание дифференциальному исчислению. В письме к Вариньону Лейбниц пишет: «И мнимые корни имеют свое основание в вещах... Точно так же можно сказать, что бесконечные и бесконечно малые обоснованы тем, что в геометрии и даже в природе все происходит, как если бы они представляли собой совершенные реальности. Об этом свидетельствует не только наш геометрический анализ трансцендентных, но еще и мой закон непрерывности, в силу которого допустимо рассматривать покой как бесконечно малое движение, совпадение — как бесконечно малое расстояние, равенство — как последнее из неравенств и т. д.»⁶. В онтологическом плане, т. е. применительно к реальности, Лейбниц понимает непрерывность как отсутствие скачков, разрывов в процессе. В методологическом же плане этот принцип превращается у Лейбница в некоторый вариант современного принципа соответствия. Лейбниц считает, что законы движения должны непрерывно переходить в законы покоя, законы неравенств — в законы равенств и т. д. По отношению к поведению функций принцип непрерывности формулируется им в следующем виде: «Если переменная на всех промежуточных этапах обладает некоторым свойством, то и ее предел будет обладать тем же свойством»⁷. С точки зрения этого принципа равен-

ство dy~2xdx для функции у—х* объясняется Лейбницем следующим образом.¹ равенство —— =*2x+dx

ах

справедливо для любого как угодно малого dx, a следовательно, оно будет справедливым и при rf* = 0 как при его предельном значении.

В целом такое обоснование, конечно, не является удовлетворительным, так как оно оставляет в стороне вопрос: что должно означать выражение —— при

dl*=0?

Такого рода тенденция к метафизическому обоснованию присутствует также в работах Л. Эйлера. Эйлер также стремится найти понятиям бесконечно большого и бесконечно малого некоторые реальные прототипы, привлекая с этой целью соображения о бесконечной делимости материи. Однако, чувствуя слабость и противоречивость такой аргументации, он пишет: «Если даже отрицать, что во Вселенной действительно существует бесконечное число, то все же в математических исследованиях часто встречаются вопросы, на которые нельзя ответить, если не допустить бесконечного числа»⁸. Эйлер здесь стоит на пороге того, чтобы понять различие двух сфер: математической и физической, математического и физического существования. Однако сам факт присутствия в специальной математической работе у Эйлера пространных рассуждений о бесконечной делимости материи доказывает, что такого различия со всеми его последствиями для обоснования математики Эйлер не сделал.

На этих примерах мы видим, что математическое мышление XVIII века еще не отделилось полностью от натурфилософии и что перед лицом трудностей логического порядка математики искали спасения в рассуждениях о природе в целом. Лишь во второй половине XVIII века Даламбер и Лагранж наложили вполне определенный запрет на натурфилософию в рамках математики, что, безусловно, было большим шагом вперед в понимании специфики математического знания и автономности математического рассуждения от аргументов внешнего порядка.

Этот процесс, однако, еще не означал, что математики вполне осознали внутреннюю логику своих

доказательств. Математика XVIII века, в особенности это относится к геометрии, тесно связывалась не только с натурфилософскими представлениями о мире, но и с более конкретными — физическими или, точнее, механическими представлениями. Ньютон вводил понятие флюксия как скорость некоторого движения; понятие предела задавалось и иллюстрировалось также кинематически. И это не было данью популярности изложения. Здесь проявлялось определенное видение математики, как знания, опирающегося на представления о реальном пространстве и реальных движениях. Согласно Ньютону, математические образы «коренятся в самой природе вещей и ежедневно наблюдаются нами в движении тел»⁹. Но такой подход привязывал математическое рассуждение к очевидностям механического (кинематического) порядка и делал его заведомо негерметичным. Для математиков XVIII века было естественным думать, что каждая непрерывная функция имеет производную, так как всякое движение имеет скорость, и что всякое приближение к пределу монотонно, так как движущееся тело может приближаться к некоторой точке только с одной стороны, и т. п. Известно, что только в конце XVIII века у некоторых математиков возникла мысль о необходимости доказать дифференцируе-мость непрерывной функции.

Использование механических допущений в анализе было подвергнуто критике Даламбером и Лагран-жем. Лагранж справедливо указывал на то, что «...вводить в исчисление, предметом которого являются лишь алгебраические величины, движение — значит вводить идею, ему чуждую, и принуждать рассматривать эти величины как линии, пробегаемые движущимся телом. С другой стороны, следует признать, что мы отнюдь не обладаем четким понятием о том, что такое скорость точки в любое мгновение, в случае, когда скорость переменная»¹⁰. С точки зрения Лагранжа, дифференциальное исчисление логически независимо от анализа, оно должно быть изложено совершенно автономно, на собственных основаниях и только после этого может применяться для выражения законов механики -или какой-либо другой науки. Надо отметить, что эти взгляды Лагранжа были приняты не сразу. Большое число книг и учебников по

анализу было написано в соответствии с ньютоновской методологией еще в XIX веке.

Наконец, с осознанием независимости математических рассуждений от метафизики и механических аналогий оставалась еще одна трудность методологического порядка, затруднявшая становление современной идеи строгого математического доказательства. Дело в том, что для большинства математиков XVIII века и даже тех, кто решительно отказывался от механических аналогий в процессе математического рассуждения, была чем-то само собой разумеющейся законность ссылок на геометрические представления, в частности, апелляция к чертежу. Это отчасти объяснялось высоким авторитетом «Начал»- Евклида. Геометрические истины считались хорошо обоснованными, и именно геометрия, а не арифметика мыслилась наиболее авторитетной частью математики, некоторым ее фундаментом и, следовательно, соответственной предпосылкой алгебры и анализа. Существование производной и интеграла многими математиками XVIII века обосновывалось исключительно рассмотрением очевидных свойств кривой линии, ее касательной и т. д. Хотя -математические рассуждения в этом случае были независимыми от механических представлений, они отнюдь еще не были строгими, они не были герметичными в собственно математической области.

По мере развития анализа, особенно с введением в практику разрывных функций, а также функций комплексного переменного, недостаточность геометрических интуиции становилась все более очевидной. Развернутую критику использования как физических» так я геометрических представлений в процессе доказательства дал в начале XIX века Б. Больцано. Больцано настаивал на том, что даже в случаях высочайшей очевидности (например, в случае утверждения» что между положительным и отрицательным значениями непрерывной функции имеется, по крайней, мере, одно ее значение, равное нулю) утверждение еще не является истинным как утверждение математики, если оно не выведено из понятий, непосредственно определяющих эту функцию ^п.

В результате критики натурфилософских, механических и геометрических интуиции в начале XIX века

Г™;'

сформировался новый взгляд на сущность математического доказательства. Математическое доказательство с этой новой точки зрения должно быть аналитическим, оно должно исходить только из явно сформулированных допущений и определений математического порядка (выраженных на математическом языке), должно происходить по правилам логики, и оно законно только относительно тех объектов, существование которых доказано в рамках математических допущений. Работы Коши, Лобачевского, Боль-цано, Гаусса, Остроградского и других математиков первой половины XIX века написаны уже в соответствии с этими новыми требованиями 'К строгости доказательства. Мы можем сказать, что в начале XIX века математическое доказательство, по крайней мере в теории, приобрело автономность от внешних содержательных допущений, внутреннюю герметичность, которая является основным условием строгости математического доказательства в современном ее понимании.

На практике успех не был полным потому, что, сформулировав более точную идею математического доказательства, математика начала XIX века еще не обладала эффективными средствами контроля доказательства, т. е. эффективными критериями строгости. Можно сказать, что методология математики в то время еще и не созрела до понимания необходимости таких критериев.

В течение XIX века ситуация изменилась решительным образом. Развитие неевклидовых ' и многомерных геометрий потребовало уточнения процедуры математического доказательства. Эта проблема стала методологически неотложной с появлением теории множеств и с обнаружением противоречий в ее утверждениях. Наиболее существенный шаг в определении строгого математического доказательства сделал Д. -Гильберт в своей теории формального доказательства.

С начала 50-х годов XIX века в работах Буля и Шредера началось развитие нового раздела логики — математической логики. Символика математической логики оказалась прежде всего удобным средством для записи математических утверждений во всех областях математики и для символической записи ма-

тематического вывода в целом. Для Пеано и Гильберта с самого начала было ясно, что если строгое математическое доказательство не использует никаких допущений, кроме тех, которые записаны в аксиомах, то оно может быть представлено последовательностью формул и допустимых операций над ними, и, наоборот, доказательство не может быть признано строгим, если оно не допускает такого представления. Символика математической логики позволила, таким образом, сформулировать четкий критерий строгости (герметичности) математического доказательства, хорошо согласующийся с нашим интуитивным пониманием строгости. Суть этого критерия в том, что доказательство строго, если оно формализуемо. Формализация математики была понята как средство уточнения математических понятий и как критерий строгости (герметичности) математического рассуждения.

Не подлежит сомнению, что формальное представление теории — чрезвычайно высокая гарантия полной герметичности ее доказательств. Если доказательство . представлено в виде последовательности формул с точными правилами перехода от одной из них к другой, то такое доказательство в высшей степени независимо от содержательных представлений о предмете рассуждения и не может вызывать каких-либо сомнений в своей герметичности.

Единственное возражение против завершенности формализованного математического доказательства состоит в том, что оно все-таки не полностью свободно от интуитивных допущений. В предисловии к книге Л. Кутюра «Философские принципы математики» Ф. Линде справедливо указывал на то, что каждый шаг логического доказательства требует принятия допущений вида «а есть частное значение функции ф». Из этого он заключал, что логическая «полностью формализованная система» либо должна содержать бесконечное количество аксиом вида «а — частное значение ф», либо должна опираться на некоторый общий интуитивный принцип подведения части под целое, родственный наглядному представлению у Канта ¹².

В целом это возражение надо признать верным. Ни одно рассуждение человека не свободно от содер-

жательного контекста, а следовательно, и от некоторых интуитивных допущений. Решение проблемы герметичности связано, таким образом, с выяснением вопроса о том, может ли неизбежная интуитивность доказательства сосуществовать с его полной герметичностью и достоверностью. Ответ на этот вопрос требует более детального анализа интуиции.

2. Интуиция и аподиктическая достоверность

Интуицию мы можем понимать двояко, так сказать, в статическом и динамическом плане. В первом случае интуиция — это некоторое созерцание, ясное видение, связанное с мыслью и делающее эту мысль непреложной. Мы хорошо осознаем, к примеру, что прямая пересекает окружность в двух, а не в трех или четырех точках, и это осознание, несомненно, продиктовано определенным наглядным представлением о возможных положениях окружности и прямой на плоскости. Интуитивная идея в этом смысле есть идея самодостоверная, ясная для сознания, не допускающая альтернативы.

Интуиция во втором (динамическом) смысле лучше всего выражается словом «озарение». Под интуицией в этом случае мы понимаем особый процесс перехода от незнания к знанию, не опирающийся на последовательное рациональное рассуждение.

Указанные подходы к пониманию интуиции существенно различны. Интуитивно ясная идея в' первом, статическом смысле» предполагается ясной ' всегда, как бы изначально данной сознанию. Говоря же об интуиции как об озарении, мы подчеркиваем как раз то обстоятельство, что наша идея не является изначально ясной и что эта ясность достигается здесь лишь в течение некоторого времени, в процессе перехода от неясности к ясности. Интуиция в первом смысле связана с содержанием, полностью определена им (начала геометрии ясны для каждого в силу своей простоты и т. п.), в то время как интуитивно ясное во втором смысле определяется специфическими особенностями субъекта: идея, озарившая одного и интуитивно ясная для него, как правило, не является очевидной для других.

Интуиция в динамическом смысле не может быть

предметом философского анализа. Исследуя историю науки, философ и историк, разумеется, на каждом шагу фиксируют такого рода интуитивные шаги, «озарения». Они могут также в науковедческих понятиях зафиксировать некоторую логику таких шагов, зависимость их от состояния знаний в данной области, от существовавших традиций мышления и т. д. Но сам механизм интуитивного шага остается при этом полностью прерогативой психологии мышления¹³. Другое дело статическая интуиция. Интуитивное видение этого рода связано, очевидно, с некоторыми особенностями объекта познания; оно интерсубъективно, не зависит от индивидуальной психологии, а следовательно, нуждается не в психологическом, но в социально-деятельностном и гносеологическом анализе.

Можно выделить четыре типа интуитивной ясности, которые существенно различаются по своим истокам и достоверности.

1. Эмпирическая интуиция. Простейшим видом интуиции, который встречается в математике, как и во всякой другой науке, является интуиция, основанная на опыте, появляющаяся на основе длительного общения с определенного рода объектами. Пусть мы оцениваем объекты по некоторым признакам Л, В, С,..., которые не даны непосредственно (визуально), но выявляются на основе некоторого анализа. Хорошо знакомый эффект длительного опыта состоит в том, что мы начинаем судить об этих искомых признаках уже до детального исследования, так сказать, с первого взгляда, на основе некоторых, как правило, четко не сформулированных вторичных признаков. Механизм такого интуитивного предвосхищения достаточно прост: с признаками А, 5, С мы постепенно, в значительной мере подсознательно, связываем некоторые другие признаки: а, Ъ, с,..., которые фиксируются непосредственно и служат с той или другой степенью вероятности основой для предварительного заключения о наличии искомых признаков А, В, С. Так, мы можем с какой-то степенью достоверности судить о характере человека по его внешнему виду и т, п. Интуиция такого рода играет важную роль в математике. Профессиональный математик «чувствует» задачу в плане возможностей ее решения, наи-

более вероятных методов и т. д. И дело здесь прежде всего в опыте. В основе такого рода предчувствий наряду с рациональными критериями лежит вся система представлений и образов, сложившихся в процессе решения аналогичных задач.

В логическом плане эмпирическая интуиция представляет собой скрытое заключение по аналогии, и она не обладает большей достоверностью, чем та, которую мы приписываем аналогии вообще. Рассматривая развитие оснований анализа в XVIII веке, мы видели, как постепенно интуиция такого рода дискредитировала себя в отношении достоверности. Современный математик в поисках решения задач, конечно, не меньше интуитивен, чем математик XVIII века, но, в отличие от последнего, он психологически готов к такому исходу дела, что самая убедительная интуиция может оказаться ошибочной.

2. Праксеологическая интуиция. Человеческое знание основано на очевидности в том смысле, что каждая сколь угодно сложная теория должна в конечном итоге опираться на некоторого рода простейшие констатации, в которых люди обычно не расходятся друг с другом. Физики могут по-разному интерпретировать некоторый опыт, но они не могут расходиться в описании его структуры и непосредственных результатов типа: «Температура увеличилась», «Стрелка амперметра отклонилась» и т. п. Отсутствие соглашения относительно таких констатации было бы, очевидно, смертью всякого объективного исследования. Как научное, так и обыденное мышление опирается на способность человека фиксировать и упорядочивать факты в пространстве и времени до теоретического их понимания и независимо от него.

Мысль о том, что все человеческое познание опирается на систему элементарных и, безусловно, достоверных суждений, лежала в основе гносеологии логического позитивизма. Современная философия науки отвергает идею абсолютной разграниченности общих (теоретических) и протокольных (фактологических) суждений на том основании, что протокольные суждения зависят от теоретических, «теоретически нагружены». Эту критику в определенной степени следует признать верной. Языка опыта, совершенно независимого от более абстрактного идеализирован-

ного языка, конечно, не существует. Но является необоснованной часто проявляющаяся в этой критике тенденция представить сами факты, само содержание элементарных суждений также чем-то релятивным, зависящим от характера теоретических абстракций. В действительности такой зависимости не существует. Фактологические суждения имеют свою независимую от теории основу достоверности и только по этой причине они могут противостоять теории в качестве «упрямых» фактов. Если в процессе опыта зафиксировано отклонение стрелки, то в каком бы языке мы ни выразили это, мы выражаем один и тот же факт, как нечто инвариантное и автономное от теории, как нечто неизмеримо более достоверное, чем любая теоретическая конструкция.

Действительная ошибка логических позитивистов состояла не в абсолютизации фактологических суждений (любая теория познания, не отказывающаяся от понятия истины, должна признать их особую достоверность), но в том неявном допущении, что каждое такое суждение непосредственно обосновано чувственностью человека как индивида, прирожденной способностью органов чувств отделять одно положение дел от другого. В действительности же выделение и фиксация такого рода фактов социальны по своей природе, сориентированы на практическое освоение мира и опосредованы системой категорий, связанных с деятельностью, таких, как пространство, время, причинность, необходимость и т. д. Только при таком понимании механизма конституирования фактологических суждений мы можем понять их устойчивость и первичность по отношению к теоретическим конструкциям.

Мир чувственности отдельного индивида специфичен и неустойчив, он зависит от состояния его психики и органов чувств. Но различные люди на основе различной индивидуальной чувственности конституируют в высшей степени тождественный предметный мир, мкр фактически данного. Результат этого конституирования мы воспринимаем как нечто непосредственно данное, как то, что мы непосредственно «видим». Это непосредственное видение предметного мира, способность человека различать и отождествлять предметы и их простые комбинации мы будем

называть праксеологической интуицией. Праксеоло-гическая интуиция выражается, в частности, в способности непосредственно фиксировать возможность или невозможность определенных предметных комбинаций.

Значительная часть математических утверждений производит впечатление абсолютно достоверных именно благодаря своей связи с праксеологической интуицией,, благодаря тому, что содержанием этих суждении являются элементарные констатации, касающиеся числа и порядка некоторых предметов. Система фактологических констатации, в общем, не является абсолютно точной и достоверной. Утверждение «этот предмет красный» не является однозначным, так как имеется много оттенков красного. Но такая неоднозначность практически исключена в констатациях, касающихся числа и порядка предметов. Утверждение некоторого человека «здесь находится 100 предметов» может оказаться ошибочным (он может ошибиться в счете), но маловероятно, что несколько человек допустят здесь ошибку. Такого рода истины мы будем считать достоверными с точностью до социально-практической констатации или предельно обоснованными. Теоретически ошибка остается здесь допустимой, но практически, по отношению к обществу в целом, она исключена ^м.

Когда говорят, что элементарные утверждения арифметики типа 2Х2*=4 даны с достоверностью в опыте, то это в принципе верно. Такого дюда финитные арифметические суждения предельно обоснованы независимо от всякой логики; они столько же достоверны, сколь достоверна (надежна) спосрбность общества (не отдельного человека!) различать вещи и фиксировать их порядок в конечном их множестве. Мы не нуждаемся в логическом доказательстве того, что 10 предметов нельзя разделить на равные части, содержащие по 3 предмета, хотя это и может быть доказано. Действительная, изначальная уверенность в истинности подобных утверждений идет не от доказательства, но от того обстоятельства, что эти утверждения являются социально-практическими констата-циямн, фактами, непосредственно данными праксео-логически.

Важно подчеркнуть, что факты математики, обо-

скованные на уровне социально-практической констатации (праксеологически очевидные), не могут быть отвергнуты логикой. Праксеологическая интуиция абсолютно преобладает над логическим анализом. Арифметическая теория в целом в своем развитии может скорректировать некоторые допущения, может отказаться от некоторых определений как неконструктивных и т. п., но она не может отказаться от элементарных фактов типа 2X2=4 по той причине, что они образуют интуитивный центр этой теории, сферу предельно обоснованных истин. Эти истины имеют статус, независимый от теории и от системы ее внутренних доказательств в том смысле, что любая такая система может быть принята как законная только при условии признания- ею такого рода элементарных •истин.

Сказанное не означает, что математическое утверждение 2X2=4 является эмпирическим в том же смысле, как и утверждение о том, что существует 9 планет солнечной системы. Математические утверждения относятся не к опыту непосредственно, но к идеализированной, логически замкнутой модели, вследствие чего они в принципе, в отличие от эмпирических суждений, не могут быть изменены или усовершенствованы опытом. Но остается верным то, что основой для этих идеализации послужили определенные прак-сеологические констатации, и именно вследствие этого всякое логическое обоснование математики должно счлтаться с такими истинами как с непреложными фактами.

3. Категориальная интуиция. Наряду с непосредственным видением предметов и их простейших отношений человек обладает видением некоторых универсальных свойств бытия или категорий. Эта идея была развита Кантом в его учении о непосредственном внеэмпирическом созерцании пространства и времени. Э. Гуссерль говорит о ясности родов бытия — эйдосов, к которым он относит не только универсальные категории, но и более частные подразделения вещей, такие, как живое — неживое, покой — движение и т. п. Рассматривая этот вопрос, мы не можем ограничиться критикой указанных систем как апри-ористских. Практика показывает, что здесь мы имеем дело с вполне реальным феноменом, который требует

анализа и адекватного обоснования. Мы должны признать, в частности, верным то положение Канта, что само выделение индивидуальных предметов в сознании возможно лишь на основе категориальных представлений, а именно представлений о пространстве, времени, части, целом и т. д., которые, следовательно, должны быть признаны функционально первичными в процессе конституирования реальности. Мир фактологических истин предполагает наличие категорий или, иначе говоря, праксеологическая интуиция предполагает наличие интуиции категориальной. Видение индивидуальных вещей и видение родов бытия (категорий) оказываются, таким образом, двумя сторонами одного и того же процесса непосредственного, практически ориентированного восприятия мира. Мы должны признать также, что некоторая часть математических утверждений имеет онтологическое основание именно в категориальных представлениях, и прежде всего в представлениях о пространстве. Евклид пропустил аксиомы непрерывности и аксиомы положения, очевидно, потому, что их содержание было для него чем-то самоочевидным. Элементарная геометрия в своих исходных истинах, несомненно, базируется на общечеловеческой интуиции пространства ¹⁵.

Категориальная интуиция, как и интуиция праксеологическая, является авторитарной по отношению к логике и не подлежит логической корректировке. Если бы некто строго доказал, что прямая пересекает окружность в трех точках, то сомнению была бы подвергнута не пространственная интуиция, но логика доказательства. Система надлогических истин в математике, таким образом, не ограничивается праксео-логическими констатациями, но включает в себя также и систему утверждений, базирующихся на категориальной интуиции (пространства, времени, части и целого).

Отличие категориальной интуиции от праксеоло-гической довольно очевидно. Если праксеологическая очевидность относится к предметам и их комбинациям, то категориальная — к некоторым свойствам бытия вообще (бесконечность, непрерывность и т. п.), которые не сводятся к отношениям в конечном множестве предметов. Это различие в неявной форме

было зафиксировано Кантом в его рассуждении об алгебраическом доказательстве. Общая установка Канта на математическое доказательство состояла в том, что «математик может исследовать общее in соп-creto (в единичном созерцании) и тем не менее с помощью чистого представления a priori, причем всякая ошибка становится очевидной» ^1в. Говоря об алгебре, Кант утверждает, однако, нечто другое, а именно он говорит, что математик действует здесь с помощью «символической конструкции», опираясь на правила оперирования с символами¹⁷.

Совершенно ясно, что алгебраическое рассуждение уже не имеет дела с конструированием в чистом созерцании, но имеет дело только с предметами определенного рода, 'правила действия с которыми являются конечной опорой рассуждения. Хотя Кант здесь также говорит о созерцании, но наглядность символов и их возможных комбинаций, очевидно, не тождественна чистому созерцанию пространства и времени¹⁸. Не выделив в понятиях, Кант указал здесь в действительности другой источник самоочевидных утверждений в математике, а именно очевидность, основанную на непосредственной фиксации числа и порядка в конечном множестве предметов. Как мы понимаем теперь, самоочевидность этого типа гораздо более важна для понимания интуитивных основ математики, чем наглядность, связанная с пространством и временем.

Исходя из сути категориальной интуиции мы можем поиять рациональное зерно так называемого реалистического истолкования математики. Сторонники реализма настаивают на том, что внутренняя необходимость (непреложность) математических истин обусловлена не только логически, их доказанностью в системе, но и онтологически, т. е. прямым соответствием некоторой реальности. Это воззрение будет неприемлемым, если эту реальность понимать буквально, в смысле идей Платона, как некий особый мир, располагающийся над миром наблюдаемых событий и фактов. Но оно становится достаточно ясным и приемлемым, если понять его как выражение того факта, что часть математических понятий, будучи элементами формального математического языка, т. е. имея внутреннее логическое определение, имеет вме-

сте с тем и онтологическое основание, соответствие с содержанием фундаментальных категорий. В таком случае мы должны признать, что фундаментальные математические понятия действительно отражают реальность, но не предметную или концептуальную реальность физики, а фундаментальные роды (классы отношений), которые лежат в основе определения всякой предметности. В своем фундаменте математика смыкается с философией. Можно сказать, что она фиксирует в своих понятиях аспекты категориальных представлений, которые поддаются дедуктивной систематизации. Непреложность математических истин, таким образом, генетически связана ,с непреложностью (аподиктичностью) основных категориальных подразделений, проистекает из них/

4. Концептуальная интуиция. Математические теории, возникая на некоторой* интуитивной основе или ёез нее, обладают способностью продуцировать внутренний интуитивный фон, вторичную интуицию, уже подчиненную сложившейся формальной системе. Каждый математик знает, что в процессе работы в самой малоинтуитивной сфере постепенно вырабатываются некоторые способы чувствования возможного положения дел, система вспомогательных аналогий, метафор и т. п., которая играет ту же роль, что и естественная наглядность в элементарной геометрии. На это явление обратил внимание Г. Рейхенбах в своей книге «Пространство и время». Основная идея Рейхенбаха состоит в том, что нормативная сила представлений проистекает не из опыта, не из непосредственных эмпирических ассоциаций, на базе которых создается теория, но имеет вторичное, логическое происхождение. «Прямая — кратчайшее расстояние между двумя точками в нашем представлении только потому, — писал Рейхенбах, — что сами эти представления выработаны так, чтобы соответствовать всей структуре выводов евклидовой геометрии»¹⁹. Наглядность, по Рейхенбаху, не предшествует геометрии, но вырабатывается внутри нее в соответствии с ее логической структурой. Естественное перцептивное пространство не содержит параллельных прямых, точных кругов и т. д., но геометрия, возникнув как логическая структура, создает правильную, «очищенную» систему представлений, которая подогнана под логи-

ку математической структуры, хотя и воспринимается нами в качестве естественной и необходимой. Именно такого рода вторичная логическая визуальность была, по мнению Рейхенбаха, абсолютизирована Кантом в его идее чистого созерцания пространства.

В целом концепция Рейхенбаха не является убедительной. Уже то обстоятельство, что греческие математики опускали многие аксиомы, фактически используя их, говорит о том, что они существенно опирались именно на первичную, внелогическую интуицию. Мы имеем основание утверждать, что представление о непрерывности в геометрии отражает первичную, категориальную интуицию, а не является результатом чувственного освоения аксиом геометрии. Но, с другой стороны, несомненно верно, что какая-то часть нашей геометрической наглядности вторична, произведена уже самой логикой геометрии. Концептуальная интуиция, очевидно, неавторитарна. Она, как и эмпирическая, выполняет лишь эвристическую функцию и является всецело подчиненной результатам логического (дискурсивного) рассуждения.

Так как вторичные внутритеоретические представления строятся главным образом на основе пространственных представлений, то в теоретическом мышлении мы можем подозревать слияние аподиктической (категориальной) и ассерторической (теоретической) интуиции. В общем случае поэтому праксеологическая интуиция более надежна, чем интуиция, связанная с пространственными представлениями.

Нужно выделить еще один вид интуитивной достоверности, а именно достоверность норм логики. Безусловная убедительность (аподиктичность) норм логики, в соответствии с которыми мы строим доказательство, отчасти связана с категориальной интуицией части я целого. Анализ, однако, показывает, что логические нормы определены не только категориями как таковыми, но в первую очередь общей целью знания, необходимой тенденцией его к единству. Необходимость логики имеет, таким образом, целевой, или нормативный характер. Придерживаясь традиционной терминологии, можно охарактеризовать логику как структуру, данную в интеллектуальной интуиции, т. е. как структуру, порожденную стремлением разума к единству и системе.

Из сказанного следует, что интуитивное не может абсолютно противопоставляться логическому в плане своей достоверности. Во-первых, потому, что многие интуитивные истины математики не менее достоверны, чем логически выведенные, а во-вторых, потому, что сама логика базируется только на некоторого рода интуициях, фиксирует их содержание. Проблема состоит, таким образом, не в сравнении интуитивного и логического (дискурсивного) в математическом рассуждении по их надежности, но в соподчинении типов интуиции и интуитивной достоверности. Основное деление в этом плане должно состоять в ^различении аподиктических и ассерторических типов интуиции. Основная характеристика содержания, данного в аподиктической интуиции, состоит в том, что оно не может быть отвергнуто на основе логического анализа.

Современное философское мышление в математике основано, в общем, на отрицании достоверности (надежности) интуитивного компонента доказательства. Предполагается, что интуитивное доказательство в любом случае менее строго, чем дискурсивное, и для установления его полной надежности оно должно быть максимально концептуализировано, сведено к системе явных посылок и правил вывода. С этой точки зрения полная строгость недостижима даже в формализованном доказательстве, ибо оно обязательно сохраняет содержательный контекст, а значит, и источник неконтролируемых интуитивных допущений.

Такая установка, однако, не является адекватной. Главный ее недостаток состоит в том, что она не разделяет типов интуиции и направлена против интуиции вообще как против элемента доказательства, безусловно, снижающего его строгость. На основе проведенного анализа типов интуиции мы'можем утверждать, что в действительности только эмпирическая и концептуальная интуиции не совместимы с представлением о строгости математического рассуждения. Доводы, интуитивно ясные в категориальном или праксеологическом смысле, имеют полную достоверность и не могут быть отвергнуты на основе последующего логического анализа. Отсюда, в частности, вытекает, что формализованное доказательство является полностью обоснованным в плане герметичности, несмотря на то что оно сохраняет определенный ин-

туитивный момент в своей внутренней структуре.

Гносеологический смысл формализации доказательства состоит в возможно более полном очищении его от интуитивных компонентов, прежде всего от эмпирической и теоретической интуиции.

Формализованное доказательство состоит из конечного числа правильно построенных формул и правил вывода, которые указывают, какие операции считаются допустимыми по отношению к формулам в данном исчислении. Часть формул принята за аксиомы, и утверждение считается доказанным в данном исчислении, если оно является аксиомой или получается из аксиом посредством их преобразований по правилам вывода. Рассмотрим для примера доказательство утверждения р-*р в исчислении высказываний с аксиомами:

3. (р-и правилами вывода:

1. Из А-**В и А следует В (модус поненс);

2. Каждый символ в формуле может быть заменен любой формулой на всех местах его вхождения (правило подстановки).

Доказательством утверждения р-»-р будет следующая последовательность формул:

1. (s-*-(p-»-<7))-»-((s-»-p)->- (s-*<7))~ аксиома 2

2. (s-+-(r-*-q))-+((s-*-r)-*-(s-+q)) —из формулы 1

по правилу 2

3. (s-*-(r-*~p))-*-((s-*~r)-*-(s-*-p)) —из формулы 2

по правилу 2

4. (р-*-(г~>-р))-*-((р-*-г)-*-(р-*~р)) —из формулы 3

по правилу 2

5. p~*-(q->p)-*-((p->-q)-*-(p-*-p)) —из формулы 4

по правилу 2

6. p-*- (q-*-p) — аксиома 1

7. (р-»-0)-»-(р-*-р) —из формул 5

и 6

по правилу 1

8. (p-*-(q-*-p))-*-(p-+-p) —из формулы 7

по правилу 2

9. р-»-р — из формул 6

и 8

по правилу 1

Для того чтобы удостовериться в правильности доказательства, нам совершенно не обязательно знать, что означают знаки p, g, r, s или знак «->». Все содержательные ассоциации остаются здесь в стороне. Нам важно лишь убедиться, действительно ли комбинация из двух символов р-+р получается из комбинаций, названных аксиомами в соответствии с допустимыми (зафиксированными в правилах вывода) операциями.

Можем ли мы сказать, что такого рода доказательство гарантировано в плане достаточности посылок и отсутствия неявных допущений. Безусловно, да.

Здесь также возможны ошибки типа просмотра, неверного применения правила и т. п. Такого рода ошибки тождественны ошибкам при пересчете предметов или при сложении достаточно больших чисел. Но индивидуальные ошибки такого рода не могут закрепиться в качестве постоянных. Социально признанное доказательство (просмотренное достаточно большой группой математиков) является гарантированным от ошибок этого класса.

Мы можем далее допустить ошибку в подведении объекта под правило. Линде прав в том, что при каждом применении правила вывода мы опираемся на допущение, что данная формула — из множества тех, к которым данное правило применимо. Но он допускает ошибку, утверждая, что здесь допускается некая категориальная интуиция части и целого. В полностью формализованном доказательстве отождествление формулы со схемой, заключенной е правиле вывода, происходит по чисто структурным соображениям, т. е. на уровне праксеологической достоверности. Так, если формулу p-*-(q-+-p) мы обозначаем буквой Л, то формула 5-я нашего доказательства может быть записана в виде А-+-В, где ßlE (p-*-q)-*--*(р-*-р). Возможность такой записи формулы 5-ой определена, очевидно, тем обстоятельством, что 3-й слева содержащийся в ней знак импликации является главным знаком, что следует из построения формулы (из расстановки скобок)²⁰. Но это значит, что формулы 5-я и 6-я вместе образуют необходимое условие для использования правила modus ponens.

На уровне метаязыка, таким- образом, нет не только эмпирической, но и категориальной интуиции. Со-

держательный метаязык в формализованном доказательстве представляет собой в сущности подбор инструкций относительно того, какие преобразования знаковых конфигураций допустимы, а какие нет. Эта система инструкций является предельно однозначной, ибо она относится к конечным преобразованиям с ко-, печными (обозримыми) конфигурациями. Но в таком случае любое доказательство будет абсолютно детерминированным только этими правилами и полностью независимым от предметных интуиции, которые могли присутствовать в голове математика.

Процедура формализованного доказательства гносеологически полностью тождественна процедуре арифметического вычисления. Мы имеем в арифметическом вычислении содержательные представления об операциях с отдельными числами и о процедуре выполнения действий вообще (об алгоритмах действия и их порядке), но ответ определяется только исходными числами и последовательностью операций, и этот ответ в социальном плане совершенно однозначен.

Доказательство, проведенное на формальном уровне и социально подтвержденное, не может быть подвергнуто сомнению. Интенсивно развивающаяся в последние годы область прикладной логики, связанная с машинным доказательством теорем, на практике подтверждает полную однозначность и надежность метаязыковых инструкций (правил вывода), присутствующих в формализованных доказательствах.

Формализованное доказательство, таким образом, очищено от всякого рода содержательных интуиции, оно опирается исключительно на способность человека (сообщества) различать конечное количество знаков и их комбинаций и выполнять преобразования этих комбинаций, зафиксированные в предельно однозначных инструкциях. На этом уровне остается лишь праксеологическая интуиция, заключающаяся в устойчивости предметных различений, а также в способности различать и сравнивать конечные комбинаций,* знаков по их структуре. Индивид, как уже говорилось, не гарантирован от ошибок и на этом уровне, но в плане социально-практическом ошибки здесь исключены. Мы достигаем здесь предельного уровня строгости доказательства, такой его обоснованности,

при которой сам вопрос о более глубоком обосновании гносеологически абсурден: никакая достоверность не может быть выше достоверности праксеологической констатации.

3. Достоверность содержательного доказательства

В сфере содержательного математического рассуждения мы не обладаем однозначным критерием герметичности. Значит ли это, что мы не имеем здесь и твердых гарантий достоверности, т. е. гарантий окончательности доказательств, неопровержимости их через контрпример или на основе более'тонкого логического анализа? Многие склонны" отвечать на этот вопрос утвердительно. Методологическое мышление в современной математике, сформировавшееся под впечатлением краха интуитивно ясных построений в теории множеств, возлагает все надежды на аксиоматизацию и формализацию и скептически относится к надежности обычных содержательных доказательств, оправдывая их существование лишь в педагогических целях. Не только для логиков-специалистов по формализации, но и для самих математиков стало сегодня обычным выражать сомнение в надежности и однозначности обычных (содержательных) рассуждений. Содержательное доказательство чаще всего определяется теперь как система аргументов, достаточная для убеждения коллег, и этим подчеркивается его скорее психологический, чем логический авторитет. В одной из своих популярных, статей Дж. Харди назвал обычное доказательство «системой завитушек, призванных психологически воздействовать на слушателя». Можно привести множество аналогичных высказываний других известных математиков, из которых следует, что содержательное доказательство нестрого, ненадежно, психологично и не заслуживает большого доверия²¹.

Вместе с тем остается фактом, что, несмотря на столь суровую публичную критику, которой подвергается обычное доказательство, на практике оно продолжает пользоваться тем же доверием, что и раньше. Доказательство, убедительное для одной группы математиков, признается в качестве такового и другой группой, и эта убедительность никогда не ставится

под сомнение из-за отсутствия полной формализации соответствующей теории. Инженеры и физики без колебаний используют теоремы, полученные таким «нестрогим» путем, и уверены в полной их надежности. Теоретическая критика доказательства, таким образом, не приводит к каким-то существенным изменениям в практической методологии: одобрение или неодобрение новых математических результатов по-прежнему проводится на содержательном уровне, чем, очевидно, утверждается уверенность в достаточной его надежности.

Это значит, что рассматриваемая ситуация более сложна, чем это кажется с первого взгляда. Теория познания говорит о том, что там, где теория и практика исходят из различных принципов, практический принцип заслуживает большего доверия. Применительно к нашему случаю это означает, что современная логическая и методологическая критика строгости обычного (неформализованного) доказательства не учитывает каких-то существенных его особенностей, обеспечивающих ему доверие на практике.

Некоторые свидетельства обоснованности такого предположения дает нам история математики. Если бы доказательства Фалеса, Гиппократа, Евдокса. и Евклида были просто психологически убедительными для их окружения, то от греческой математики сегодня не осталось бы ничего. Факты истории, следовательно, говорят о том, что убедительность математических доказательств, даже если они содержательны, покоится не на простых механизмах психологического убеждения, но на каком-то более твердом основании.

Анализ структуры доказательства позволяет привести другие и более определенные доводы за справедливость этого мнения.

Рассмотрим рассуждение Коши, посредством которого он доказал гипотезу Эйлера о том, что для всех многогранников V+F—£*=2, где V — число вершин многогранника, F — число.граней и E — число erojpeöep²⁸.

Пусть гипотеза верна. Вообразим, что многогранник будет полым с поверхностью из резины. Если мы вырежем одну из его граней, то для оставшейся поверхности (поскольку исчезла одна грань, а все ребра

И ВерШИПШ

шение V+/⁷—£=1. Растянем эту поверхность на плоской доске. Если растягивание производится без складок, то соотношение остается неизменным, хотя грани изменятся по величине, а ребра могут стать криволинейными. Разобьем каждую грань посредством диагоналей на треугольники. Каждая диагональ представляет собой новое ребро, но она порождает и одну (и только одну) новую грань, так что полная триангуляция поверхности не нарушает последнего соотношения. Будем теперь вынимать из триангулированной сети треугольники один за другим, следя за тем, чтобы вынимаемый треугольник находился на краю поверхности. В зависимости от положения треугольника здесь возможны два. случая: либо мы вынимаем два ребра, одну грань и одну 'вершину, либо — одну грань и одно ребро. Легко видеть, что в обоих случаях наше общее соотношение не изменяется. В конце этой процедуры мы получаем один треугольник, для которого верно V+F—£=1. Это значит, что наша первоначальная гипотеза верна, так как при любом другом соотношении для количества вершин, граней и ребер в многограннике мы получили бы для треугольника другое соотношение его вершин, ребер и граней, что противоречило бы факту.

Итак, мы доказали следующее утверждение: если поверхность многогранника без одной грани позволяет растягивание на плоскости без складок и разрывов, то соотношение его вершин (V), граней (F) и ребер (Е) выражается равенством V+F—£=2.

Проведенное доказательство, очевидно, не является формализованным. Вместе с тем вряд, ли кто усомнится в его надежности и окончательности.

Причину этого обстоятельства (психологической убедительности рассуждения) легко понять, если рассмотреть основные шаги доказательства с точки зрения оснований их достоверности.

1. То утверждение, что если из поверхности будет вынута одна грань, то соотношение V+F—E='2 превратится в соотношение V+F—Е=1, следует из законов арифметики конечных чисел. Это значит, что другие ситуации неприемлемы.

2. Допущение о возможности растянуть поверхность многогранника на плоскости без складок и

разрывов входит в условия теоремы и не нуждается в обосновании.

3. Тот факт, что каждая диагональ многоугольника, не пересекающая другие диагонали, а также стороны многоугольника, прибавляет одну и только одну дополнительную грань, является очевидностью того же порядка, что и утверждение, что прямая линия, пересекающая окружность, делит ее на две части. Это положение может быть доказано, но важно отметить, что пространственное представление, заключенное в нем, имеет надлогический (аподиктический) характер, а это значит, что это положение не может быть поколеблено какой-либо логической критикой и, следовательно, предельно достоверно.

4. То обстоятельство, что существуют только два указанных случая при изъятии треугольников, находящихся на периферии многоугольника, достоверно на основании праксеологических соображений. Мы имеем здесь дело с рассмотрением конечного числа комбинаций, и социальная практика в таких случаях дает предельно обоснованное знание. Другие возможности здесь заведомо исключены.

Мы видим, что рассматриваемое доказательство, будучи содержательным, тем не менее не дает поводов для сомнения. Оно движется либо на уровне пространственной интуиции, которая имеет аподиктический характер и не может подлежать пересмотру, либо на уровне праксеологических соображений, т. е. соображений о возможных комбинациях в конечном множестве предметов. Оба этих типа достоверности имеют надлогический характер и, следовательно, обеспечивают предельную надежность доказательства ²³.

Но не упустили ли мы чего-нибудь в проведении доказательства? Оказывается, что это сомнение не лишено оснований. Более внимательный анализ рассуждения показывает, что мы опирались здесь на допущение, которое явно не было сформулировано, а именно на предположение о том, что для рассматриваемого типа многогранников всегда существует такой способ изъятия треугольников из триангуляционной сети, который не нарушает ее связности, т. е. не разрывает ее на несколько кусков. В противном случае соотношение V+F—Е—1 было бы нарушено.

Но будет ли доказательство окончательным (вполне герметичным), если мы устраним эту неточность, доказав соответствующую предпосылку? Хотя все побуждает нас теперь уже твердо заявить об окончательности доказательства, мы должны признать, что твердых гарантий у нас все-таки нет. Но в таком случае мы должны признать, что содержательная ма-Tt-матика в принципе не дает гарантии полной достоверности своих результатов, и тем самым поддержать общую идею математического скептицизма.

Однако скептики здесь не правы. Отсутствие критериев полной герметичности доказательства на содержательном уровне не означает отсутствия надежных признаков его достоверности, т. е. критериев его качественного состояния, при котором мы можем определенно утверждать невозможность контрпримеров. Таким критерием является аподиктичность.

Зададим себе вопрос: если доказательство апо-диктично во всех своих частях, то может ли оно быть отвергнутым в будущем на основании какого-либо тщательного логического анализа? Проведенный анализ интуиции позволяет нам определенно сказать, что этого не произойдет, ибо аподиктичность имеет надлогический характер.

Здесь и в дальнейшем мы будем исходить из принципа первичности доказательства перед обоснованием. Мы будем предполагать, что:

1) достоверность доказательства устанавливается в самом доказательстве через рассмотрение его шагов, но не через построение полной системы аксиом или некоторой метатеории. Доказательство есть данный, однозначно фиксируемый в аподиктической интуиции факт;

2) достоверное доказательство в принципе герметично: его наличие как такового определяет наличие непротиворечивой системы аксиом, в которой это доказательство может быть санкционировано как предельно герметичное.

У Одно из самых устойчивых заблуждений совре-

/ менной философии математики состоит в том, что ,.!i она рассматривает аксиомы как изначально данные, \г г как некоторые истины, которые определены и суще-$;;, ствуют где-то до конкретных теорем и к которым |Ь эти теоремы либо сводятся, либо не сводятся. Исто-

рическое и логическое отношение, однако, обратное. Математическое мышление исходит из некоторой сетки аподиктически достоверных связей (теорем). Эта сетка, если она найдена, является абсолютным завоеванием; она не может быть устранена несогласием с Какими-то аксиомами. Приемлемость такой системы содержательных логических переходов не оправдывается априори принятыми аксиомами, но аксиомы подбираются таким образом, чтобы дать ей полную санкцию. Логическое обоснование вторично по отношению к аподиктичности рассуждения. Это значит, что если доказательство аподиктично, то оно потенциально герметично, т. е. оно всегда может быть восполнено до окончательной герметичности. Это значит, что оно совершенно надежно вне зависимости от степени аксиоматизации или формализации соответствующей теории.

Содержательное доказательство, таким образом,, отнюдь не ступень к полной достоверности, которая достигается на уровне формализации. Оно имеет полную достоверность и совершенно автономное значение. Оно не может рассматриваться как вероятное потому, что для него не существует формального аналога. .Аподиктическое содержательное доказательство принципиально герметично в том смысле, что возможность построения формализованной теории, санкционирующей это доказательство, гарантирована самим фактом его существования: если на уровне содержательных рассуждений некоторая связь зафиксирована как аподиктически необходимая, то это одновременно означает и наличие непротиворечивой и формализованной теории, в которой это доказательство реализуется.

Содержательное доказательство в общем случае включает в себя также в фрагменты чисто дискурсивных переходов от формулы к формуле по правиламг логики и правилам преобразований, принятых для объектов данной теории. Доказательство в этих фрагментах, разумеется, совершенно строго, если все переходы совершаются по допустимым .правилам. Герметичность дискурсивного рассуждения обеспечивается его механическим характером, полной изоляцией от интуитивного контекста. Правильность доказательства здесь, как и в случае полной формализа-

дни, зависит только от соображений праксеологиче-ского характера, т. е. сводится к правильности различения знаков, их конечных комбинаций и к процедуре подведения конкретных формул под схемы вывода. Доказательство на этом уровне также является предельно обоснованным и гарантированным от возможной ревизии в будущем.

Изложенные соображения показывают, что так называемая психологическая убедительность содержательного доказательства имеет вполне объективные основания. Доказательство принимается как убедительное тогда и только тогда, когда оно аподик-тично, т. е. если каждый его шаг либо строго дискур-сивен (происходит в соответствии с принятым логическим или теоретическим правилом преобразования), либо опирается на интуитивные представления пра-ксеологического и категориального порядка. Математическое сообщество утверждает некоторое рассуждение как доказательство безотносительно к тому, является оно формализованным или содержательным; объективным критерием является лишь аподиктический характер всех его шагов, их чистота по отношению к индукции и ассерторическим типам интуиции ²⁴.

Таким образом, отсутствие однозначного критерия герметичности доказательства на содержательном уровне не означает отсутствия оснований для нашей веры в его полную достоверность в смысле непреложности его результата.

Математическое доказательство имеет два уровня: уровень интуитивный, на котором фиксируется в конечном итоге сам факт наличия доказательства, и уровень лингвистический, на котором только может быть указана процедура, фиксирующая его полную герметичность. На вопрос о том, является ли математическое доказательство строгим, математики отвечают по-разному, в зависимости от того, на какой из этих уровней они сориентированы в своем понимании математики. Л. Шварц одно время утверждал, что до Гильберта вообще не было строгой математики. Г. Штейнгауз возражал ему, заявляя, что Евклид был математиком ничуть не в меньшей степени, чем Гильберт²⁵. Этот спор неразрешим, ибо здесь совершенно разные точки отсчета. Обе стороны

в известной степени правы. Реальное математическое рассуждение, даже самое убедительное, не обладает критериями герметичности. Это хорошо иллюстрируется историей аксиомы выбора: только тогда, когда возникла дискуссия о ее законности, математики с удивлением обнаружили, что они собственно всегда опирались на эту аксиому²⁶. Но, с другой стороны, отсутствие однозначного критерия герметичности не мешает содержательному математическому мышлению достигать полной непреложности результата, полной его устойчивости перед лицом логической критики.

Можно говорить, что математика имеет внутренний и внелогический критерий истинности. Ю. И. Ма-нин пишет о теории множеств, что она представляет собой особый мир, «который обладает некоторой реальностью и внутренней жизнью, мало зависящей от формализмов, призванных его описывать»²⁷. То же самое, очевидно, можно сказать о любой математической теории. Но содержательное развитие математики неизбежно породило бы множество противоречий и неувязок, если бы оно не руководствовалось независимыми от формализации, но вместе с тем совершенно объективными критериями достоверности доказательства.

Это показывает, что интуиция занимает совершенно уникальное место в математике. В любой науке интуиция в некотором смысле первична перед, логикой: логика лишь обосновывает и проверяет гипотезы, выдвигаемые на основе интуиции. Говоря о математике, мы, однако, утверждаем нечто другое. Интуиция в математике не просто основание гипотез, но она вместе с тем и окончательный критерий истины. Логика в математике, как это ни странно, обладает меньшими правами, чем в других науках. Она не обладает правом пересмотра признанных доказательств. Сомнения относительно аксиом не уничтожают результатов, и в этом смысле теоремы, санкционированные интуицией, выступают в качестве непреложных фактов для всякого логического обоснования.

Эта ситуация, по-видимому, была уже в определенной степени осознана Декартом, который считал, что достоверность математического доказательства.

устанавливается не логикой, а «строгой и внимательной проверкой каждого шага в цепи доводов»²⁸. Органическая связь математического мышления с интуицией, отмеченная Декартом и Кантом, в XIX веке была отвергнута философской критикой, поставившей под подозрение всякую интуицию. В настоящее время мы начинаем постепенно осознавать ограниченность этой критики. Она несостоятельна уже потому, что не разделяет видов интуиции. Математика представляет собой интуитивное и вместе с тем предельно достоверное мышление по той простой причине, что это мышление протекает в сфере аподиктической интуиции, которая не имеет ничего общего с концептуальной интуицией или интуицией, основанной на аналогии. ' »

Аподиктическая достоверность в математике объединяет не только всю систему математических утверждений в данное время, но и сами эпохи математического мышления. Убедительность пространственной и праксеологической интуиции, а также норм логики является в высшей степени устойчивой и мало меняется со временем. Доказательство, убедительное для математиков прошлых эпох, является вполне убедительным и для нас, ибо оно стоит на том же фундаменте аподиктически достоверного, что и доказательство современного математика.

Этот факт позволяет понять и то удивительное обстоятельство, что подавляющее большинство математических доказательств, которые когда-либо приняты в качестве таковых, принимаются в 'качестве корректных и в настоящее время. В «Началах» Евклида нет ни одной теоремы, которую мы могли бы отвергнуть с современной точки зрения, хотя Евклид и не подозревал о современных требованиях к строгости доказательства. Евклидовы доказательства негерметичны, но они совершенно достоверны в том смысле, что восполнимы посредством экспликации представлений, данных в аподиктической интуиции. То же самое можно сказать и о всех позднейших достижениях математической мысли. Математический результат, принимаемый современниками, принимается навсегда. Теорема может быть модифицирована, обобщена, упрощена, переложена на другой язык и переведена в другую систему поня-

тий, восполнена в смысле посылок, но она не отвергается как ложная; связь, зафиксированная в ней, не может (5ыть упразднена каким-то новым результатом, отменена, как основанная на ложных представлениях. В смысле достоверности результата математическому доказательству уже современники придают статус вечности, хотя, конечно, только время дает ему оценку с точки зрения важности. Логический анализ аподиктического доказательства на любом уровне глубины лишь подводит основания под него, но не опровергает и не корректирует его в плане его вывода (результата).

Математика, таким образом, всегда была фактически строгой наукой вне зависимости от идеалов строгости и ее критериев. Если брать строгость в смысле аподиктичности, то она всегда остается на одном и том же уровне: современный математик доказывает теорему Пифагора не с большей достоверностью, чем это делал Евклид или даже сам Пифагор. Историческое возрастание строгости некоторого конкретного доказательства относится исключительно к лингвистическому моменту: к выявлению скрытых посылок и к формализации содержательных переходов, Формализация доказательства повышает его строгость лишь в том смысле, что она сводит все виды аподиктической достоверности только к достоверности праксеологической, т. е. к надежности оперирования с конечным множеством предметов (знаков) .

Сказанное не следует понимать так, что математики вообще не ошибаются, а сразу приходят к доказательствам, которые либо закончены, либо требуют лишь некоторого восполнения. Как показывает история, даже самые выдающиеся из них верили в совершенно ошибочные доказательства. Лейбниц «с полной надежностью» доказывал, что сумма ряда 1—1-Н—1 + ... равна 1/2. Эйлер в «Интегральном исчислении» выдвигал в виде теоремы заведомо неверное утверждение, что каждое дифференциальное уравнение, если оно имеет решение, имеет бесконечно много решений, различающихся на постоянную величину. Коши не сомневался в том, что он доказал, что сумма сходящегося ряда непрерывных функций представляет собой непрерывную функцию, но эта тео-

рема была отвергнута через контрпример. Куммер некоторое время был убежден, что ему удалось дать окончательное доказательство теоремы Ферма. Такие примеры можно приводить сколь угодно долго. Современные математики не составляют здесь исключения ²⁹.

Высочайшая однозначность посылок и аподиктическая интуиция, таким образом, не предохраняют математика от ошибок. В оперировании с рядами в XVIII веке математики опирались на ошибочную аналогию между конечными и бесконечными суммами. В своем доказательстве теоремы Ферма Куммер неявно допускал, что для комплексных- чисел остается справедливой однозначность разложения на множители. Эти примеры уже показывают, что к утверждениям аподиктическим в реальном доказательстве постоянно примешиваются некоторые достаточно очевидные, но лишь ассерторические утверждения. Математик поэтому может ошибаться в своих утверждениях, как и всякий другой ученый.

И тем не менее утверждение об особой строгости математики имеет смысл. Каждый ученый может ошибаться. Но это сходство между математикой и опытными науками немедленно исчезает на уровне сообщества ученых и в исторической перспективе. Мы должны признать как исторический факт, что математическое сообщество обладает абсолютной способностью отделять правильные доказательства от ошибочных и устанавлив'ать окончательность доказательства в исторически ограниченный срок. ,

Опыт показывает, что доказательство средней важности переживает три периода: в течение первых 10—12 лет (инкубационный период) о нем мало кто знает. В течение последующих 5—10 лет начинается интерес к нему, уточняются детали, даются новые доказательства того же результата с других точек зрения. После этого наступает последний и бесконечный период его жизни: время полного признания³⁰. Таким образом, если математическая теорема не ошибочна, то срок признания этого факта конечен, и она признается в своей истинности навсегда. Будущее развитие математики не может устранить эту теорему в качестве доказанной или ограничить сферу ее действия.

История математики показывает, что ошибочное доказательство обычно «разоблачается», как правило, при жизни автора. И, напротив, если известное доказательство остается неопровергнутым достаточно долго, то это означает, что, оно абсолютно надежно. Мы не имеем примеров того, чтобы математическое доказательство, принятое всеми математиками скажем, на протяжении 50 лет, оказалось затем неверным (невосполнимым). Математики XVIII века дали много ошибочных доказательств, но замечательный факт состоит в том, что ни одно из таких доказательств и не получило общего признания современников. Таким образом, хотя разделение типов интуиции само только интуитивно, история математики показывает, что математическое сообщество действует здесь безошибочно. Социальное одобрение является в математике и абсолютной гносеологической санкцией.

Идея окончательности математического результата входит, как кажется, в некоторое противоречие с теорией познания, которая акцентирует внимание на относительности всех результатов человеческого мышления. Это, однако, ошибочное мнение, проистекающее из неверных гносеологических сопоставлений. Говоря о математике как о науке, чаще всего сравнивают ее с физикой и другими науками о природе; считается возможным употреблять понятие истины как применительно к физическим законам, так и к математическим теоремам. В плане такого сопоставления утверждение окончательности математических истин представляется просто данью давно умершим рационалистическим и априористским взглядам на математику.

Дело, однако, в том, что само это сопоставление эмпирического и математического знания является неверным. Математика — не теория о природе или какой-то ее части, но деятельность по конструированию моделей, которые служат для исследования природы в качестве одного из методов. При конструировании такого рода моделей мы создаем особый, искусственный мир со строго определенными элементами, с конечным числом свойств и допустимых правил взаимодействия. В этом идеализированном мире мы можем устанавливать окончательные связи, под-

дающиеся проверке с помощью конечных процедур.

Математическое доказательство представляет собой некоторую деятельность по правилам с конечным числом элементов, и в этом плане оно может быть уподоблено задаче на построение комбинации из конечного числа предметов, удовлетворяющей некоторому свойству. В таких задачах окончательные результаты вполне достижимы. Если некто продемонстрировал, что в ситуации на шахматной доске белые начинают и выигрывают в 4 хода и если внимательный просмотр знатоков не обнаружил выхода, то результат является окончательным. Совершенно невероятно, что при тех же правилах игры .-некто обнаружит в дальнейшем ход, спасающий черного короля. Секрет этой окончательности, очевидно, в конечности элементов и в- полной определенности правил игры<

Размышления над подобными примерами позволяют нам понять суть математического доказательства и основания его незыблемости. Эта особенность доказательства проистекает из того простого факта, что оно представляет собой конечную последовательность действий с объектами по строго заданным (однозначным) правилам. Достижимость результата является здесь эффективно проверяемой и сводится к выяснению осуществимости (или неосуществимости) конечных комбинаций, т. е. к тому типу процедур, где социальная практика дает непосредственный и окончательный приговор.

Особую роль в этом приговоре играет • аподиктическая интуиция. Современное методологическое мышление в математике формалистично по существу: оно склонно связывать строгость доказательства не с интуицией, но скорее с лингвистическим его компонентом, со степенью его формализации. Такой подход, однако, не раскрывает истоков достоверности математики и не объясняет исторической устойчивости математических теорем. Он в какой-то мере сказывается и на нашем понимании истории математики, в частности, на решении вопроса о том, когда появилось доказательство в математике.

Общепринятое решение состоит в том, что доказательство в математике возникло только в греческий период ее развития, т. е. на рубеже VII—VI веков

до нашей эры. Основной и вполне разумный аргумент состоит- в том, что до нас не дошло никаких текстуальных свидетельств этих доказательств. Другой, чаще всего ярно не высказанный довод, состоит в следующем: несомненно, что древние китайцы и вавилоняне, для того, чтобы утвердиться, к примеру, в-истинности теоремы Пифагора, должны были проделать определенные рассуждения, но эти рассуждения были на уровне интуитивных представлений, а следовательно, имели скорее эвристическое, чем доказательное значение.

Это последнее соображение представляется некорректным, ибо оно отождествляет интуитивность с нестрогостью. Рассуждения древних можно представить, по-видимому, как некоторый мысленный эксперимент без записи промежуточных результатов. Но поскольку он опирался на аподиктические представления, то он был совершенно строгим (достоверным)', и только этим обстоятельством можно объяснить, что математики того времени смогли прийти к точным и нетривиальным утверждениям. Результаты, с которыми имели дело математики Древнего Египта, Вавилона, Китая и Индии, слишком сложны для того, чтобы считать их продуктом непосредственного видения. Здесь несомненно имело место рассуждение, опирающееся на наглядность, аподиктическую по своему характеру. Такое рассуждение должно быть признано доказательством.

Математическое доказательство, по-видимому, вообще может быть понято как мышление в сфере аподиктически достоверного. В этом плане оно-остается достоверным независимо от степени своего лингвистического оформления. Эволюция строгости, с этой точки зрения, — не эволюция достоверности, но лишь эволюция внешних (лингвистических) гарантий этой достоверности. Греки с этой точки зрения не изобрели доказательство в математике, хотя они несомненно вывели его на новую ступень через выявление его механизма и расширение сферы приложения.

4. Эмпирицистская критика доказательства

Мысль о том, что математика возможно не является идеально строгой, как было принято думать, появилась в начале XX века в связи с обнаруже-

нием парадоксов в теории множеств. Она была существенно подкреплена крушением программ обоснования математики в 30-х годах. В настоящее время утверждение о том, что математическое доказательство нестрого, как кажется, уже никем не подвергается сомнению.

Надо однако сказать, что это утверждение чаще всего не сопровождается сколько-нибудь ясной аргументацией. Определенным исключением являются рассуждения И. Лакатоса, который попытался обосновать нестрогость математики, исходя из анализа структуры доказательства и основываясь на некоторых фактах истории математики.

Основной и собственно эмпирический аргумент Лакатоса состоит в том, что математическое доказательство никогда не освобождается от содержательного контекста и, следовательно, от неявных допущений. Но наличие неявных допущений в доказательстве может привести к его опровержению посредством контрпримеров. Исторически математические работы становятся все более строгими, но это совершенствование не может быть закончено. «Коши, например,— пишет Лакатос,— даже не заметил, что его прославленное сочинение (1821) предполагало «знакомство» с теорией действительных чисел. Не так поступили Вейерштрасс и его школа; учебники по неформальной математике теперь содержат новую главу по теории действительных чисел, в которой собраны все эти леммы. Но в их «введениях» обычно предполагается знакомство с теорией рациональных чисел. Более строгие учебники еще уменьшают предполагаемое знание. Ландау во введении к своей знаменитой книге (1930) предполагает знакомство только с логический рассуждением и немецким языком. Иронией судьбы А. Тарский в это же время показал, что опускаемые, таким образом, абсолютно тривиальные леммы могут быть не только неверными, но и несовместимыми, поскольку немецкий язык является семантически замкнутым языком»³¹. Это значит, что всякое доказательство, до какого бы уровня строгости оно не было доведено, покоится на некоторых допущениях, принятых в качестве самоочевидных, а потому, оно не может быть абсолютно надежным и строгим.

Неявные положения в доказательстве могут быть двух типов: либо это положения в языке доказательства, т. е. такие положения, которые после их выявления помещаются в число условий теоремы, либа это положения метаязыка, т. е. содержательные допущения о самой процедуре доказательства, о правилах обращения с формулами и т. д. Допущения о действительных числах, на которые опирался Коши,. относятся, очевидно, к первому типу неявных допущений. Законы логики, которые используются математиками, являются неявными допущениями второго типа. Сюда же относятся все «тривиальные леммы»,, связанные с обычным языком, о которых говорит Ла-катос. Оба этих типа неявных допущений требую