Роль мошенничества в истории вероятности
Дэвид Беллхаус
The role of roguery in the history of probability
Bellhouse, D.R.
Перевод: Багян А.М.
****
Дэвид Беллхауз - профессор факультета статистических и актуарных наук Университета Западного Онтарио, Канада. Одной из областей его интересов является изучение истории теории вероятностей и статистики. Этой проблематике Дэвид Беллхауз посвятил довольно большое количество статей, в том числе и ту, перевод которой представлен в данном реферате.
Автор говорит, что существует общепринятая точка зрения, что азартные игры послужили толчком для возникновения и развития теории вероятностей. Он отмечает, что довольно часто при доказательстве этого утверждения ссылаются на тот факт, что многие из первых вероятностников занимались анализом азартных игр. Но, по мнению Дэвида Беллхауза, эта версия не верна. Именно развитие теории вероятностей оказало заметное влияние на азартные игры, в особенности в том, что касается разработки стратегии игры, а не наоборот.
Для подтверждения своей точки зрения Дэвид Беллхауз изучает английскую литературу по азартным играм начала шестнадцатого – середины восемнадцатого веков на предмет связи вероятности и азартных игр. В литературе того периода много внимания уделяется различным методам мошенничества и необходимости честной игры (то есть игры, в которой участники равны по всем параметрам).
Дэвид Беллхауз считает, что не игры способствовали развитию теории вероятностей, а наоборот, теория вероятностей повлияла на развитие азартных игр. Вероятностные вычисления, в основном довольно простые, в подобной литературе начинают появляться где-то к концу семнадцатого века. К тому времени литература, посвященная азартным играм, развивается в двух разных, но связанных направлениях: в одних работах описываются разнообразные методы мошенничества, в других – собираются советы и правила игр.
Появление работ Эдмона Хойля в середине восемнадцатого столетия оказалось чрезвычайно важным событием, поскольку он, возможно первый, осознал, что вероятность может использоваться в азартных играх, причем довольно эффективно. Эдмон Хойль разработал стратегии для некоторых игр, используя вероятностные результаты.
Стоит заметить, что автор изучает только английскую литературу по азартным играм. В конце статьи, он сам отмечает, что тем самым, делает только часть того, что стоило бы сделать для полного исследования данного вопроса.
Моя специализация в математике — теория вероятностей и математическая статистика, поэтому вопрос о возникновении и развитии вероятности мне кажется важным и интересным. К тому же, автор статьи, Дэвид Беллхауз, высказывает точку зрения, отличную от общепринятой, что не может не привлекать внимания человека, тесно связанного с затрагиваемой областью математического знания.
*************
РОЛЬ МОШЕННИЧЕСТВА В ИСТОРИИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Дэвид Бэллхауз
Краткий обзор. Английскую литературу по азартным играм начала шестнадцатого – середины восемнадцатого веков обычно изучают в попытке обнаружить связи между азартными играми и развитием теории вероятностей. На протяжении всего этого периода в литературе существовала чрезвычайная озабоченность по поводу мошенничества в азартных играх. Число случаев мошенничества не менялось с течением времени, однако, методы принимали различные формы. В качестве примера можно привести несимметричные игральные кости, фокусы с картами и костями, идеальное (полное) тасование и подсчёт карт. К концу семнадцатого века в связанной с этим литературе начали постепенно появляться некоторые вероятностные вычисления. В данной статье будет показано именно то, что, в противоположность всеми принятой версии, даже если и существуют какие-либо свидетельства, что игроки действительно имели некоторое представление о вероятности, азартные игры сами по себе дали очень небольшой толчок развитию теории вероятностей. В свою очередь, развитие теории вероятностей оказало глубокое влияние на азартные игры, а именно в том, что касается формулирования стратегии игры. Эти стратегии, впервые разработанные Эдмоном Хойлем в середине восемнадцатого столетия и поначалу применяемые при игре в вист, использовали очень простые вероятностные результаты. В результате этого исторического анализа необходимо переосмыслить события, окружающие появление вероятности в семнадцатом веке.
Ключевые слова и фразы статьи. Игра в карты, игра в кости, мошенничество, возникновение теории вероятностей, литература по азартным играм.
1. ВВЕДЕНИЕ
Часто говорят, что в основе рождения теории вероятностей лежат азартные игры; некоторые причины появления этой идеи можно посмотреть у Мейстрова. Обычное доказательство этого утверждения основывается на том факте, что многие из первых вероятностников, начиная с Паскаля, Ферма и Гюйгенса, анализировали азартные игры с помощью теории вероятностей. Факты, используемые в этом доказательстве действительно достоверны, но существует несколько смущающих несоответствий:
Хотя задачи, связанные с лотереями, были обычными для вероятностников, математики играли очень незначительную роль в разработке лотерей. (Дастон)
Подбрасывание костей так захватило Марка Аврелия, что его постоянно сопровождал персональный крупье. Также хорошо известны и менее уважаемые люди. Любой человек, обладающий довольно скромными познаниями в вероятностной математике, мог бы победить целую Галлию за неделю. (Хакинг)
…страсть к азартным играм едва ли была изобретением семнадцатого века, и потому она не могла быть катализатором процесса преобразования качественной теории вероятностей в количественную. (Джигерензер и др.)
Если предположить, что обычно и делается, что вероятность обязана своим происхождением азартным играм, то было бы необходимо объяснить, почему азартные игры, существовавшие уже шесть тысяч лет, не способствовали развитию теории вероятностей до семнадцатого века, тогда как именно в семнадцатом веке эта теория возникла на основе тех же азартных игр. (Мейстров)
Следует заметить, что были выдвинуты несколько доводов для объяснения, почему развитие теории вероятностей задерживалось до семнадцатого века, но никакие из этих объяснений не выглядят удовлетворительными. Подробности моно посмотреть у Мейстрова, Хакинга, Гарбера и Забелла и Джигерензера. Гораздо более продуктивно изучать, что способствовало развитию теории вероятностей, нежели что препятствовало ему. В этом смысле, рассматривается роль азартных игр как движущей силы этого развития.
Чтобы лучше понять, какую роль азартные игры сыграли в развитии теории вероятностей, изучалась литература по играм шестнадцатого – восемнадцатого веков. Временной отрезок, изучаемый в данной статье, покрывает то, что можно было бы назвать решающим временным периодом; он начинается задолго до и заканчивается много позже общепринятого времени появления вероятности, середины семнадцатого века.
Для анализа этой литературы используется метод Броделя, который рассматривал три этапа истории. На первом этапе, история почти не меняется, являясь относительно постоянной на протяжении долгого периода времени. Бродель называет его longue durée (длительным). В контексте настоящего исследования, longue durée связан с феноменом азартных игр сквозь века. На протяжении всей истории многие желают получить преимущество в игре законными или иными средствами. Также существует желание защитить себя, нейтрализуя преимущество, которое другие могут попытаться получить. Последнее может быть достигнуто честной игрой, в которой шансы на выигрыш для всех, участвующих в игре, одинаковы. На следующем этапе истории происходят небольшие изменения истории групп и группирований. В нашем исследовании на этом этапе возникают различные методы мошенничества и другие, возможно легальные, методы получения преимущества, которые входили и выходили из моды, а также ответные методы сообщества игроков. Третий этап, который Бродель называет l’histoire événementielle (перечень исторических событий), является предметом традиционной истории; тут основные исторические события. В отношениях между теорией вероятности и азартными играми главными событиями являются возникновение вероятности в середине семнадцатого столетия, как видно по литературе, и применение вероятностной теории к стратегиям игр, событие, которое произошло только в середине восемнадцатого столетия с появлением публикаций Эдмона Хойля. В данной статье рассматриваются два вопроса. Первый, это влияние этапа longue durée, желание получить преимущество, на другие два этапа истории: изменяющиеся, хотя и повторяющиеся способы мошенничества и развитие теории вероятностей. Второй и самый главный вопрос – это отношение между этими двумя этапами.
Существует несколько путей, законных и нет, получить преимущество при игре в карты и кости. В карточных играх незаконные методы включают использование помеченных карт, трюков и уловок при раздаче, например, вытаскивание карты из-под стола. Другие трюки включают использование зеркал, размещенных на столе так, чтобы видеть карты. К законным методам получения преимущества относятся различные техники подсчета карт. Что касается игры в кости, обычным способом мошенничества является использование несимметричных костей и фокусов. Фокусы при игре в кости могут включать кидание костей так, что они скользят по столу, и тем самым вращаются не случайным образом. Также и в карточной игре, и в игре в кости в интересах игрока хорошо знать правила игры и иметь некоторые представления о теории вероятностей. Знание правил позволяет защитить себя от неблагоприятных ситуаций, возникающих при неправильном их использовании; знакомство с теорией вероятностей может улучшить стратегию игры. Каждый из этих методов получения преимущества рассматривался в литературе по азартным играм вплоть до второй половины восемнадцатого столетия.
Существует несколько библиографий по азартным играм. Интересными для нашего исследования являются библиографии Джессела (1905 г.) и Хорра (1892 г.), которые были перепечатаны в одной книге в 1972 г., библиография Харгрейва (1930 г.) и более современная библиография Поуэлла (1972 г.). К тому же, некоторый материал, относящийся к мошенничеству, обнаруживается в книгах по колдовству; библиография подобных книг на английском языке была дана Скоттом (1976 г.), и серьезный научный обзор ранних книг по колдовству был сделан Холлом (1973 г.).
2. КАРДАН
Интересно, что наиболее полный учебник по азартным играм, составленный до восемнадцатого века, был написан в рукописной форме к середине шестнадцатого столетия, что близко к началу изучаемого нами периода. Это была работа Кардана «Liber de ludo aleae», перевод которой можно посмотреть у Оре (1953 г.). Начатая в 1525 году и проверенная еще до 1565 года, рукопись была напечатана лишь в 1663 году, будучи включенной в собрание сочинений Кардана (Кардан, Оре).
Книга Кардана содержит описания несимметричных костей и помеченных карт. Там также есть краткое упоминание использования зеркал на кольцах, которые носили игроки в карты, приведены правила игры primero, а также даны описания использования фокусов при игре в карты и кости. Кардан упоминает методы карточного подсчета и описывает ситуации, в которых он не считает это мошенничеством. Он говорит: «Того, однако, кто за счет своей внимательности знает, какую карту надо ожидать, обычно не называют шулером, а скорее считают рассудительным человеком» (Оре). Далее он говорит: «…следовательно, запоминание тех карт, которые были отложены, побиты или уже ушли, очень важно, а в некоторых играх наиболее важно…» (Оре). И наконец, там приведены длинные обсуждения вероятностных вычислений, относящиеся к распределению частей ставки в карточной игре primero при кидании трех костей и при игре в бабки. Эти вычисления тщательно проанализированы в книге Оре. Что не присутствует в работе Кардана, так это использование вероятности для развития стратегии игры.
Главной темой книги Кардана является равенство. Эта тема полностью согласуется с longue durée, который отождествлялся с азартными играми. Кардан утверждает:
Самый важный принцип в азартных играх – равенство условий, т.е. равенство соперников, наблюдателей, денег, ситуации, стаканчиков, из которых бросают игральные кости, и самих игральных костей. В пределах, заданных этим равенством, если оно играет в пользу вашего соперника, то вы глупец, если в вашу пользу, это несправедливо.
Кардан даже перенес понятие равенства в вероятностные вычисления. Поскольку слишком долго будет объяснять трактование Карданом понятия равенства в вероятности, да и вклад его понимания в дальнейшее развитие теории вероятностей был небольшим, если был вообще, то не будем этого делать. Подробное описание можно посмотреть у Оре.
3. РАННЯЯ ЛИТЕРАТУРА ПО АЗАРТНЫМ ИГРАМ
В этом и следующем параграфах рассматривается второй этап истории по Броделю, небольшие изменения истории групп и группирований. Изучение этого этапа истории демонстрирует стойкий интерес литературы по азартным играм к различным способам мошенничества на протяжении нескольких веков.
Ранние примеры техник мошенничества в подобной литературе появляются в переводе Александра Баркле «Корабля дураков» Себастьяна Бранта, который был написан по-немецки в 1494 году и через год переведен на латынь (см. Помпен). Глава 77 оригинальной немецкой и латинской версий посвящена азартным играм; ее тон очень моралистический. При переводе Баркле добавил несколько своих стихов, содержащих намек на мошенничество в игре в кости с помощью фокусов. <…>
Конец шестнадцатого столетия был временем расцвета такого типа литературных упоминаний мошенничества. Со временем, подобные ссылки включали и излагали все методы шулерства при игре в карты и кости, перечисленные Карданом. Фактически вся литература, созданная в Англии, была посвящена взрыву мошенничества всех видов. Браун (1914) объяснять развитие подобной литературы подъемом Лондона во второй половине шестнадцатого века как одного из лидеров европейской торговли. Вместе с развитием Лондона произошел наплыв людей в город. Среди них были и иностранные купцы, и представители высшего и среднего классов Англии с сопутствующим приток имеющегося в наличии богатства. Это, в свою очередь, привлекло разного рода воров и мошенников, пытавшихся отхватить «кусок от этого пирога». Подробное обсуждение литературы о мошенничестве и жуликах в эпоху королевы Елизаветы можно найти у Айделотта (1913), Чендлера (1907), Кларка (1983), Джаджеса (1930) и Сальгадо (1977).
Далее в этом разделе следует описание содержания некоторых книг о мошенничестве. Многие из методов, перечисленных здесь, остаются в моде и сегодня. Например, Маскелайн (1894) описал в более современном контексте многие из тех методов мошенничества, которые применялись в шестнадцатом столетии. Заметим, что работа Маскелайна остается значимой и сегодня; она была перепечатана Книжным Клубом Игроков Лас-Вегаса в 1971 году.
3.1 МОШЕННИЧЕСТВО ПРИ ИГРЕ В КОСТИ
В эпоху Кардана в Англии появилось несколько книг и брошюр, в которых упоминалось мошенничество при игре в кости. Одно из самых ранних упоминаний того времени появляется в книге по стрельбе из лука Роджера Аскема (1545). В ней проводится сравнение относительных добродетелей как приятное времяпрепровождение за стрельбой из лука и азартными играми, в том числе в карты и кости. Осуждая игру в кости, Аскем упоминает жульнические игральные кости, которые он описывает как «кости, останавливаемые ртутью и ворсинками». Кости с ртутью внутри перевешивают в пользу одной из граней. Короткие ворсинки, прикрепленные к одной или нескольким граням или ребрам, могут помешать нормальному катанию игральной кости по столу. Аскем также упоминает другие виды жульнических игральных костей, обычно называемых «игральными костями с преимуществом». Они относятся к типу, известному как «флатт»; кости этого типа не являются правильными кубами. Далее, Аскем перечисляет различные приемы с нормальными костями, связанные с ловкостью рук. <…>
Более подробный перечень жульнических игральных костей появился в 1552 году в брошюре под названием «A manifest detection of the moste vyle and detestable use of Diceplay, and other practices of the same», авторство приписывается Гильберту Уокеру. Написанная в форме диалога двух героев, брошюра содержит описания игр, в которых применяются жульнические кости, и упоминания о том, что их могут класть и убирать из игры ловкостью рук. <…>
Брошюра Уокера (1552) давала некоторый намек на то, что игроки в шестнадцатом веке имели приблизительное представление о вероятности. Один из участников диалога после того, как ему объяснили приемы мошенничества, сделал вывод: «Мне становится легче оттого, что если случится, что кто-то ставит деньги случайным образом, то шансы, что он проиграет, велики» (Джаджес, 1930). Другое свидетельство, являющееся довольно спорным, происходит из интерпретации одного непонятного слова: в списке жульнических костей Уокера один из видов называется «demi» или «demi-bar». Оксфордский словарь английского языка говорит, что происхождение слова demi-bar довольно темное и определяет его лишь как вид неправильных игральных костей. Однако, Джаджес (1930) интерпретирует это слово как «неправильную игральную кость, имеющую только половину обычного наклона».
Брошюра Уокера оказала огромное влияние на литературу о мошенничестве полвека спустя. Например, использование запрещенного катер-трей упоминается в «A Notable Discovery of Coosenage» Грина (1591). Интересно также отметить, что Грин рассматривал неправильные кости как «кости преимущества» (Джаджес, 1930). Брошюра Уокера была списана с незначительными изменениями и затем напечатана под названием «Mihil Mumchance». Томас Деккер (1608) также позаимствовал список неправильных костей у Уокера.
Жульнические кости и фокусы упоминаются в брошюре середины семнадцатого века, напечатанной под псевдонимом Леземор (Леземор 1668, 1669). Подобно более ранней литературе по мошенничеству, эта брошюра была специально написана, чтобы предупредить людей о денежных опасностях, связанных с азартными играми. В ней также содержались следующие вероятностные утверждения, которые были повторены в издании 1660 года:
Если то, что было сказано, не заставило вас презирать этот омерзительный стиль жизни, может потеря некоторой суммы денег заставит? Беру на себя ответственность продемонстрировать, что при ситуации десять к одному вы проиграете в конце года постоянной игры в игру square. Предположим, 20 человек принесут по 200 фунтов каждый, что даст 4000 фунтов, и решат играть, например, по три-четыре часа в день в течение года. Я уверен, что в сундуке будет 1500 фунтов из всех денег, и 18 из 20 игроков останутся в проигрыше. <…>
Упоминание сундука, в который складываются деньги, наводит на мысль, что речь идет об игровом доме, берущем процент с игры. В контексте вышеприведенной цитаты, игрок, чья очередь пришла кидать кости, может: (а) выиграть с вероятностью 2/27; (б) добавить 12 пенсов в совокупность ставок с вероятностью 35/54; (в) проиграть все с вероятностью 5/18. Цитата показывает общую осведомленность о понятии вероятности, но видно, что автор не специалист в вычислении вероятностей.
Хотя методы могли бы измениться, мошенничество ради преимущества в игре в кости присутствовало всегда. В середине семнадцатого столетия Маркус де Ворсестер заявил, что изобрел стаканчик для игры в кости, который может скрыть мошеннические кости. Постукивая стаканчиком по столу, можно спрятать правильные кости и заменить на мошеннические.
3.2 МОШЕННИЧЕСТВО ПРИ ИГРЕ В КАРТЫ
Брошюра Уокера (1552) в основном посвящена демонстрации методов мошенничества при игре в кости. В ней также содержится краткое описание способов жульничества в картах с помощью их крапления и подтасовки (см. Джаджес, 1930). В противоположность, Грин (1591) занимается в основном мошенническими приемами в картах и очень мало внимания уделяет мошенничеству при игре в кости. Основной метод, выявленный Грином, предполагает участие нескольких сообщников и использование фокусов, чтобы добить соперника. Существует подробное описание того, как жертва обмана (называемая «кроликом» в эпоху королевы Елизаветы) освобождается от всех своих денег (Джаджес, 1930). Интересно в этом описании то, что в нем снова содержится подтверждение того факта, что игроки имеют некоторое смутное представление о вероятности. Грин замечает некоторую странность в том, что жертва обмана думает, что он должен выиграть (Джаджес, 1930):
«Кролик», зная, что его карта третья или четвертая и что шансы его сорок к одному, закладывает свои кольца, если они у него есть, свою шпагу, плащ и все остальное, что у него есть при себе, чтобы поддержать ставку. Он радоваться втихомолку, полагая, что обманул противника во всем, и когда появляется карта жулика, его настолько охватывает ледяной ужас, что он сидит как в трансе.
Описание игры слишком невразумительно, чтобы делать конкретные вероятностные предположения. Анализ Джаджеса, который является, как оказалось, вполне разумным, рассматривает шансы «кролика» на победу без жульничества как где-то10 к 1.
Другие описания жульничества в картах можно посмотреть у Скота (1584) и Рида (1612).
3.3 ПОДСЧЕТ КАРТ
При неполной информации, подсчет карт вместе с простыми вычислениями, использующими вероятность, могут быть полезными в разработке стратегий игры. Торп (1966) дает очень современный пример этого в игре в очко.
В 1583 году философ и бывший монах нищенствующего ордена Джордано Бруно приехал в Англию. За год-два до своего приезда, Бруно опубликовал работу, посвященную способностям памяти (см. Йетс, 1966). Вскоре после приезда он опубликовал в Англии огромную книгу, посвященную памяти. Методику Бруно вскоре позаимствовал шотландец по имени Александр Диксон. Десять лет спустя Хью Платт (1594), который брал уроки у Диксона, сообщил, что игроки используют методику Диксона для запоминания расположения карт на столе. Интересно заметить, что как только члены сообщества игроков обнаружили технику, способную, как они думали, помочь в получении преимущества в игре, то они сразу же ухватились за эту возможность.
Другие техники подсчета карт можно рассматривать как менее честные. Маркиз Вустер в 1663 году (Диркс, 1865) описал перчатки с узелками (бант, аксельбант; бабочка) на пальцах такими, что во время игры в primero игрок мог следить за шестерками, семерками и тузами, которые он сбросил. С другой стороны, Эдмон Хойль (1794) предложил для игры в вист схему размещения карт в руке, которая могла помочь запомнить, какие карты уже были сыграны.
3.4 ЛИТЕРАТУРА ПО ПРАВИЛАМ ИГРЫ
В середине семнадцатого столетия начали появляться книги, посвященные правилам различных игр. Причина подобных публикаций лучше всего объясняется в предисловии одной из таких книг: «Следовательно, если вы будите следовать Правилам и Принципам, здесь изложенным, то избежите всех споров, обычно возникающих среди Игроков, желающих полностью понимать Игру…». К тому же Кардан заметил, что раздоры в течение игры ставит игрока в невыгодное положение, либо делая его менее сосредоточенным, либо делая восприимчивым к применению фокусов в отношении него.
Самой первой книгой по правилам игры на английском языке из тех, что были обнаружены до сих пор, была книга по игре для двух игроков под названием пикет. В игре участвовали 36 карт, стандартная колода, из которой убрали двойки, тройки, четверки и пятерки. Игра начиналась с раздачи: каждому игроку выдавалось по двенадцать карт, а оставшиеся двенадцать складывались в стопку. Тот игрок, который не раздавал, назначает старшего и имеет возможность сбросить от одной до восьми карт и затем заменить их картами из стопки. Если старший предпочел сбросить меньше восьми карт, он может посмотреть остаток восьми невыбранных карт и поменять на стопку. Сделав это, раздающий может сбросить карты и выбрать из стопки. И опять, здесь присутствует некоторый намек на понятие вероятности. Ранее в книге было замечено, что «очень невыгодно быть раздающим». В виду этого неудобства право раздачи переходит от игрока к игроку в конце каждой игры.
В тот период была еще одна книга, посвященная карточной игре под названием ломбер. Эта книга содержит правила игры и некоторые советы по вытягиванию козырей, как в современном бридже.
4. УЧЕБНИКИ ПО АЗАРТНЫМ ИГРАМ В КОНЦЕ СЕМНАДЦАТОГО И ВОСЕМНАДЦАТОМ СТОЛЕТИЯХ
К концу семнадцатого века литература по азартным играм развивалась в двух разных, но связанных направлениях. Следуя одному и тому же пути, авторы начали собирать различные советы и правила игры для того, чтобы написать общие учебники по азартным играм. В немного отличающемся направлении другие авторы писали биографические очерки о различных видах мошенничества и мошенников. Целью этого второго направления было предупреждение публики о них в занимательной форме. Ниже мы преимущественно будем рассматривать первое направление.
Первым из этих общих учебников по азартным играм является «Опытный игрок» Коттона. В ней приводятся правила некоторых карточных игр и игр в кости, а также упоминаются несимметричные кости и жульничество. Возможно, часть материалов этой книги является оригинальной, но большая часть позаимствована из различных источников. Например, в первой главе Коттон (1674) в большой степени полагается на работу Леземора (1668), шестая глава об игре пикет взята прямо из книги 1651 года неизвестного автора, а восьмая глава об игре ломбер из краткой работы другого неизвестного автора (1665). В книге приводится одно вероятностное вычисление, причем довольно простое. В главе 34 доказывается, что вероятность получить семерку при бросании двух костей больше, чем вероятность получить восемь или шесть. Это доказательство вместе с забавной историей было приведено в качестве совета ставить на семь, и не ставить на шесть или восемь. Хотя в ранних работах были всего лишь намеки на довольно скромное знание вероятности, это первый, помимо Кардана, пример знания вероятностного исчисления в литературе по азартным играм. В виду склонности Коттона заимствовать материалы из других источников, вероятностные вычисления могли на самом деле появиться до 1674 года. Та же история, только с немного другими деталями и героями, дается в работах Лукаса (1714) и Сеймура (1734).
Где-то в конце семнадцатого столетия вероятностное исчисление начинает вторгаться в литературу по азартным играм. Это происходит в духе использования вероятности Карданом: игра оценивается с точки зрения, честная она или нет. Первым значительным использованием вероятности в английской литературе по азартным играм был перевод Арбетнота (1692) книги Гюйгенса (1657) «De Rationciniis in Lido Aleae». В книге Арбетнота присутствуют некоторые элементы учебника по азартным играм. В предисловии Арбетнот заявляет:
Мой замысел при публикации этой книги заключался в том, чтобы сделать ее широко используемой, и, возможно, убедить неопытных держать свои деньги при себе. И если за счет этого я вызываю возмущение мошенников, то мне до этого нет никакого дела, поскольку подобный тип людей не стоит того, чтобы считаться с ними.
Далее в том же предисловии Арбетнот говорит:
Единственное, что мне остается, так это ставить на то, что имеет большее число удачных исходов, и, следовательно, большую вероятность выиграть. Все искусство азартных игр, в которых все случайно, будет, наконец, сведено к этому, а именно в неоднозначных случаях к определению того из них, который имеет больше шансов. Это не может быть сделано в середине игры, хотя человек, знакомый с правилами, может сделать подобное предположение, что будет достаточным руководством для него. Возможно также, что если есть некоторые обстоятельства, играющие против него, он может проиграть. Однако, в этом случае, выбрав самый осторожный вариант, он может расстаться с деньгами более приятным образом, если такой вообще может быть.
Во второй цитате Арбетнот упоминает, возможно впервые, что вероятность может бать использована для выработки стратегии игры. Он также отмечает связанное с этим препятствие: трудно мысленно производить необходимые вычисления, сидя за игровым столом.
Перевод Арбетнота работы Гюйгенса был довольно популярен, так как было три или четыре его издания [см. Арбетнот (1692, 1714, 1438); автор данной статьи не смог найти каких-либо ссылок на третье издание]. Кроме того, было еще два перевода книги Гюйгенса, осуществленных Харрисом (1710) и Брауном (1714). Первый из этих переводов послужил созданию статьи в ранней английской энциклопедии искусства и науки; Джон Харрис был секретарем Королевского Общества. Следует заметить, что во времена выполнения книг вручную, новое издание могло не означать исправление и/или дополнение предыдущего издания. Печатник набирал шрифт и затем печатал определенное количество копий. Поскольку было дорого хранить печатные формы с набранным шрифтом, шрифт разбирали с тем, чтобы использовать для другой книги. Если книга была настолько популярной, что спрос превышал предложение, шрифт восстанавливали и новое издание могло быть перепечатано без каких-либо изменений в содержании книги. Так же было и в случае с первыми двумя изданиями работы Арбетнота; они практически идентичны.
По крайней мере, один из переводов книги Гюйгенса по вероятности на английский язык рассматривался как конкурирующий одним из автором литературы по азартным играм. Лукас (1714) в форме анекдота указывает на один из недостатков книг для игроков. Он состоит в том, что гораздо выгоднее научиться методам мошенничества, чем научиться выполнению сложных вероятностных вычислений. Более того, Лукас возможно не верил в правильность вычислений Гюйгенса. Лукас рассказывает в своем анекдоте:
Он решил попытать удачу в игре в кости. Но не понял искусство того, сколько раз можно выбросить шестерку при бросании одной кости, или сколько раз можно выбросить двенадцать при бросании двух костей, или со сколькими костями можно выбросить две шестерки в первом случае, согласно 10-ому, 11-ому и 12-ому утверждениям трактата Гюйгенса «De Rationciniis in Lido Aleae». Он нашел, что его правила вычисления шансов содержат множество ошибок. Он проклинал автора за то, что был таким болваном, последовав его самоуверенным причудам и потеряв деньги. Таким образом, научившись более выгодному и надежному способу обмана в картах и в игре в кости, при котором противник не может вычислять шансы, он стал таким экспертом в ловкости переворачивания карт и предотвращения вращения кости, что через 4 года заработал 6000 фунтов. Но, однажды, в 1702 году он играл наудачу с неким сером Эдвардом Пейном, у которого он выиграл 560 гиней. Проигрывающий джентльмен заметил некоторые зловещие уловки в его игре, и это вызвало перепалку. На следующее утро они устроили дуэль в Гайд-парке, в которой был убит. Такой была заслуженная смерть игрока.
Вероятностные вычисления и утверждения в литературе по азартным играм начали регулярно появляться в первой четверти восемнадцатого столетия. Некоторые из них возможно были вызваны работами Арбетнота, Брауна и Харриса, другие, несомненно, публикацией на английском языке «Doctrine of Chances» де Муавра. Брошюра 1719 года неизвестного автора, посвященная заключению пари на лотереях, частично основывалась на результаты де Муавра. Где-то в ее начале автор утверждает:
<…>
Суть этой цитаты связана с проблемой продолжительности игры, которая была решена как Задача XLIII у де Муавра (1718); общие рассуждения и решения этой задачи можно посмотреть у Тодхантера (1865) и Холда (1990). В этой цитате также дается понять, что по-видимому существовало разделение: математики и вероятностники в одном углу, игроки в совершенно другом. Большая часть брошюры посвящена анализу страховой схемы, которую игрок мог купить с билетом государственной лотереи. Неизвестный автор использовал вероятность, чтобы показать, насколько невыгодно было участвовать в этой страховой схеме.
В публикация другого неизвестного автора, появившейся в 1726 году, вероятностные вычисления используются как часть его аргументации необходимости справедливости в азартных играх. Уже в контексте того времени в этой книге появляются многие элементы более ранней литературы, посвященной азартным играм. Как и раньше в ней описываются крапленые карты, мошеннические кости, способы спрятать в руке настоящую кость и как обращаться со стаканчиком, из которого бросают игральные кости, чтобы это было выгодно тому, кто бросает. Новым является описание идеального (полного) тасования в игре бассетт и описание того, как подтасовывать карты в игре фаро. Диаконис, Грэхем и Кантор упоминают, что это самое раннее упоминание идеального тасования, которое можно найти; они также дают несколько ссылок по этой теме в литературе девятнадцатого-двадцатого веков, посвященной азартным играм и колдовству. В дальнейшем в 1926 году неизвестный автор использовал вероятность для анализа рисков при игре в кости и карточной игре фаро. В ней участвуют два игрока, бросающий кости и его оппонент. Следуя правилам игры и используя простые вероятностные вычисления, неизвестный автор книги вычисляет ожидаемый доход, если оба ставят по ₤100, и показывает, что тот игрок, который не бросает кости, оказывается в более благоприятных условиях. Что касается игры фаро, автор замечает, что существует три причины, по которым игра так популярна: в нее легко научиться играть, она кажется честной и она очень тихая. Далее он продолжает демонстрировать, как шансы выиграть меняются в течение игры, и в конце утверждает, что банк имеет преимущество, если игра происходит в Англии, в то время как в некоторых других странах банк не имеет преимущества.
Один из самых известных плагиаторов литературы по азартным играм был Ричард Сеймур. Его книга, в итоге названная «Опытный игрок», выдержала восемь изданий между 1720 и 1754 годами с многочисленными проверками и дополнениями. Автор данной статьи видел только три из них. Второе издание (Сеймур, 1720) в основном содержало правила игры в шахматы, а также правила игры в ломбер и пикет, позаимствованные из книг неизвестных авторов, написанных в 1665 году и 1651 году соответственно. Здесь присутствует небольшое обсуждение простых методов мошенничества, таких как разглядывание внутренней стороны карты на столе, когда карты раздаются. Пятое издание (Сеймур, 1734) значительно дополнено куда большим материалом, касающимся мошенничества в различных азартных играх. Часть из этого нового материала позаимствована у других авторов. Как ранее упоминалось, совет и объяснение ситуации с выбрасыванием семерки и с выбрасыванием шестерки или восьмерки были взяты из книги Коттона (1674). Восьмое издание (Сеймур, 1754) является дополнением предыдущих за счет материалов, взятых в большой степени из работы Эдмона Хойля.
Революция в литературе по азартным играм случилась в 1740-ых годах в связи с публикацией нескольких книг Эдмона Хойля. Библиография его работ приведена в книге Разера и Голдуотера (1983). Первая книга Хойля (1743) была посвящена висту, предшественнику бриджа. Книга начинается с некоторых основных вопросов по игре, решение которых требует вероятностных доказательств. Например, нахождение вероятности того, что для какого-то конкретного игрока у его партнера находится одна из двух или трех выложенных на стол карт. Затем на протяжении всей книги простые ситуации и вычисления, приведенные в начале книги, используются для объяснения наилучшей стратегии игры в вист. Таким же образом строятся и остальные его книги, посвященные другим карточным играм, например, игре кадриль (Хойль, 1745) и пикет (Хойль, 1746). В книгах Хойля описываются решение задачи нахождения стратегии игры, на возможность описания которой Арбетнот только намекал. У Хойля общая стратегия игры вырабатывается до начала самой игры.
Книги Хойля были так популярны, что за короткий период времени выдержали несколько изданий — пятнадцать к 1770 году. К тому же, многие авторы заимствовали материалы из его книг сразу после их опубликования, в том числе и Сеймур. Копия объединенных в одну книгу изданий 1743, 1745, 1746 и 1747 годов, которая попалась на глаза автору данной статьи, содержит различные заметки с угрозами судебных процессов, связанных с обманным копированием книги. Одно из изданий, посвященных висту, было перевелено на французский язык.
Эдмон Хойль также написал книгу, которая, как отмечается в предисловии, описывает на простом и понятном языке, как выполнять элементарные вероятностные вычисления, которые можно было бы использовать в азартных играх. Книга выдержала по крайней мере три издания (Хойль, 1754, 1761, 1764). Обеспокоенный плагиатом, Хойль поместил замечание в издании 1754 года, предупреждающее, что копия книги является законной, только если каждый ее лист подписан издателем. За исключением восьмой главы, в книге содержатся очень простые объяснения вероятностных вычислений, относящихся к играм в карты и кости, таким как пикет и вист. Из главы 8 видно, что Хойль изучал вероятность по работе де Муавра (возможно 1738 года). В этой главе Хойль приводит различные численные примеры решения следующей задачи, связанной с лотереей: «Выяснить номера лотерейных билетов, которые необходимы, чтобы вы стали победителем, при условии равенства возможностей». Для нахождения ответа в любой конкретной ситуации Хойль пользуется решением Задачи V из работы де Муавра (1718, 1738). Хойль не приводит рассуждений, стоящих за этими решениями, возможно, потому, что они требуют использование логарифмов.
Использование вероятности и других математических методов для разработки стратегии игры продолжаются в литературе, посвященной азартным играм, до сих пор. В последнее время вышли несколько книг по стратегии различных игр; частичную библиографию можно посмотреть у Гарднера (1980). Одним из современных пристрастий является лото, или числовая лотерея. В настоящее время в «Книги в печати» (см. Bowker Company, 1991) приводится список из более чем 70 книг, посвященных данному вопросу, в названии которых присутствует слово «лотерея». Из упомянутых книг как минимум 25 посвящены математически обоснованным стратегиям игры.
5. ОКОНЧАТЕЛЬНОЕ ОБСУЖДЕНИЕ ВОПРОСА
Из проведенного изучения литературы по азартным играм можно вынести некоторые наблюдения и выводы. Первое замечание состоит в том, что раннее описание этапа longue durée в азартных играх подтверждено. Литература по азартным играм, начиная как минимум с шестнадцатого века, в основном посвящена различным вариациям на тему равенства и неравенства в игре. Некоторые игроки очень быстро ухватились за новые схемы и методы, которые могли бы обеспечить им преимущество в игре. Самый очевидно, выгодный и практичный способ получить преимущество это мошенничество той или иной формы. Рассмотренная литература показывает,что методы мошенничества оставались одними и теми же, только описываемые игры и используемые техники менялись время от времени. История изменения природы методов получения преимущества описывает второй этап истории по Броделю.
С математической точки зрения, основным событием третьего этапа истории по Броделю, l’histoire événementielle, является публикация книги Гюйгенса (1657) «De Rationciniis in Lido Aleae». Хотя есть свидетельства, что игроки имели некоторое представление о понятии вероятности, вероятностное исчисление оказывало очень небольшое влияние на их деятельность до восемнадцатого столетия. Публикации 1692, 1714 и 1738 годов книги Арбетнота «О законах удачи», которая частично является переводом работы Гюйгенса (1657), содержат замечания об интересе сообщества игроков к теории вероятностей. В первой четверти восемнадцатого столетия произошла вспышка активности в области теории вероятностей со стороны математического сообщества. Многие из этих работ касались азартных игр или использовали карты и кости при формулировке задач. Холд назвал это время «огромным скачком вперед». Именно в конце этого периода простые вероятностные вычисления начали постепенно появляться в английской литературе по азартным играм. Хотя вероятностная литература сама по себе развивалась и становилась все сложнее, вычисления в литературе по азартным играм оставались очень простыми. К расцвету использования вероятностной теории в играх привело открытие Хойля, сделанное в середине восемнадцатого столетия, что вероятностное исчисление может использоваться для разработки стратегии игры в течении самой игры. В контексте данного анализа, это было вторым основным событием броделевского этапа l’histoire événementielle.
Что же в дальнейшем связывало азартные игры и развитие теории вероятностей? Мы не можем выдвинуть никакого предположения без дальнейшего анализа ранней литературы по азартным играм. Основой для предположения, высказанного в данной статье, послужило понимание того, что развитие математики может происходить двумя способами. В первом случае, человек сталкивается с практической задачей, и за этим следует математическое открытие. Решение задачи требует развития или открытия новых математических методов или результатов. В этом случае задача приводит к математическому открытию. Во втором случае, сначала происходит открытие, и только затем появляются применения. В нашей ситуации математическое открытие было сделано только потому, что кто-то нашел частную задачу, которая является сложной и интересной. В данном случае мотивация этого скорее является вопросом философского убеждения, чем практического рассмотрения. В любом случае, математическое открытие является наиболее важным, если оно открывает новую область исследований и решает какие-то давнишние проблемы.
Главным открытием в 1654 году, сделанным Паскалем и Ферма, а тремя годами позже Гюйгенсом, было решение задачи о ставках. Эта задача была кратко описана Холдом (1990):
Два игрока А и В, принимающие участие в серии честных игр до тех пор, пока один из них не выиграет в определенном числе игр, скажем, s. По некоторым дополнительным причинам игра останавливается, когда А выиграет в s1 играх, а В — в s2 играх, где s1 и s2 меньше, чем s. Как разделятся ставки?
Решения Паскаля-Ферма и Гюйгенса, по-видимому, имеют большее отношение ко второму способу развития математики, чем к первому. Одним из обстоятельств, подтверждающих это утверждение, является то, что работа Гюйгенса была изначально опубликована в математическом задачнике (ван Шутен, 1657). Более основательным свидетельством является рассмотрение задачи о ставках в контексте азартных игр. Как оказалось, задача о ставках не является обычной, или даже практической, задачей в азартных играх, поскольку почти все серьезные игроки считают, что игра заканчивается, когда совокупность ставок выиграна. Тем не менее, эта задача, возможно, происходит из азартных игр. К примеру, Кардан (см. Оре, 1953) описывает ситуацию в карточной игре primero, которая имеет отношение к задаче о ставках. В определенный момент в игре игроки имеют возможность выбора, делить совокупность ставок или нет. Интересно заметить, что, согласно принятому соглашению, раздел совершается без особой связи с вероятностью выигрыша. Кардан проанализировал эти правила и обнаружил, что фактически они благоприятствуют игроку, имеющему наименьшую вероятность успеха. Каким бы ни было происхождение задачи о ставках, по-видимому, она была скорее математической.
Что в действительности азартные игры дали математикам, так это не побуждение к работе, а модели, в которых можно поставить различные довольно сложные и интересные задачи. Другие области, музыка, например (Эдвардс, 1987), предоставляет альтернативные, но, возможно, менее интересные модели для комбинаторных задач.
Основным крупным достижением в решении задачи о ставках было открытие понятия ожидаемого значения. Холгейт (1984) утверждал, открытие Гюйгенсом понятия ожидаемого значения было сделано под влиянием его собственных работ по физике, касающихся движения твердых тел после столкновения. Принимая во внимание заявление Холгейта, кто-то мог бы бездумно сказать, что теория вероятностей происходит из физики. Но если забыть про подобный легкомысленный подход, можно считать, что Холгейт действительно указал нам правильное направление. Было бы полезно рассмотреть возникновение вероятности в контексте природы открытий в чистой математике и последующих применений.
В данной статье была сделана только часть того, что должно было быть сделано. Чтобы изучить вопрос развития теории вероятностей как чисто математического открытия с последующими применениями, необходимо снова рассмотреть раннюю литературу, посвященную вероятности. Натолкнувшись в этой ранней литературе на анализ азартных игр, можем ответить на следующие вопросы: Затрагиваются ли вычисления, имеющие отношение к играм или к игрокам? Если да, то каким образом? Что касается литературы, посвященной азартным играм, были рассмотрены только работы на английском языке, что, возможно, является лишь частью доступной литературы. Более того, некоторые вопросы остаются нерешенными в литературе на английском языке. Например: Верны ли вероятностные вычисления в книгах по азартным играм? И важны ли они?
5. БЛАГОДАРНОСТЬ
Данная работа была сделана при финансовой поддержке Канадского Совета по Социальным Наукам и Гуманитарным Исследованиям и Канадского Совета по Естественным Наукам и Прикладным Исследованиям. Автор выражает благодарность Стивену Стинглеру и Сенди Зэбелл за полезные комментарии при подготовке этой статьи и рецензенту за комментарии по поводу первого варианта статьи.
ССЫЛКИ
anonymous (1597). Mihil Mumchance, His Discouerie of the Art of Cheating in False Dyse Play. Danter, London.
anonymous (1651). The Royall and Delightful Game of Picquet. Written in French and Now Rendered into English out of the Last French Edition. Martin and Ridley, London.
anonymous (1665). The Royal Game of the Hombre: Written at the Request of Divers Honourable Persons. Thomas Palmer, London.
anonymous (1719). The Gamester. A Benefit-Ticket for All That Are Concern'd in the Lotteries; or the Best Way How to Get the 20000 l. Prize. Roberts, London.
anonymous (1726). The Whole Art and Mystery of Modem Gaming Fully Expos'd and Detected; Containing an Historical Account of All the Secret Abuses Practis'd in Games of Chance. Roberts, London.
anonymous (1765). Académie Universelle des Jeux, Contenant Les Regles de Tous Les Jeux Avec des Instructions Faciles pour Apprendre à les Bien Jouer, Augmentée de Jeu de Whisk. Seconde Partie. A Paris, Rue S. Jacques Chez La Veuve Savoye, à l'Espérance.
arbuthnot, j. (1692). Of the Laws of Chance, or, a Method of Calculation of the Hazards of Game. Benjamin Motte, London.
arbuthnot, j. (1714). Of the Laws of Chance, or, a Method of Calculation of the Hazards of Game, The Second Edition. Benjamin Motte, London.
arbuthnot, j. (1738). Of the Laws of Chance, or, a Method of Calculation of the Hazards of Game, The Fourth Edition. Motte and Bathurst, London.
ascham, r. (1545). Toxophilus, the Schole of Shootinge Conteyned in Two Bookes. Whytchurch, London. [Reprinted in English Works of Roger Ascham (W.A. Wright, ed.) Cambridge Univ. Press, 1970.]
aydelotte, f. (1913). Elizabethan Rogues and. Vagabonds. Clarendon, Oxford.
bowker company, r. r. (1991). Subject Guide to Books in Print. Bowker, Providence.
brant, s. (1509). This present boke name the shyp of folys of the worlds was tr. out of Laten, Frenche, and Doche i the college of saynt mary Otery by A. Barclay. Pynson, London. [Reprinted in The Ship of Fools Translated by Alexander Barclay, Edinburgh, Paterson, 1874.j
bkaudel, f. (1980). On History. [Translated by S. Matthews.] Univ. Chicago Press.
brown, g. a. (1914). The conny-catching pamphlets of Robert Greene. The Academy 87 190-191.
browne, w. (1714). Christiani Hugenii Libellus de Rationciniis Ludo Ateae. Or, the Value оf all Chances in Games of Fortune;Cards, Dice, Wagers, Lotteries etc. Mathematically Demonstrated. London.
cardan, j. (1930). The Book of My Life (De Vita Propria Liber). [Translated by Jean Stoner.] Dutton, New York.
chandler, f.w. (1907). The Literature of Roguery, Vol. I. Houghton Mifflin, Boston.
clark, s. (1983). The Elizabethan Pamphleteers: Popular Moralistic Pamphlets 1580-1640. Athlone Press, London.
cotton, c. (1674). The Compleat Gamester or Instructions How to Play at Billiards, Trucks, Bowls, ... Cutler, London. [Reprinted in Games and Gamesters of the Restoration ... with an Introduction by C.H. Hartmann Routledge, London, 1930.]
daston, l. (1988). Classical Probability in the Enlightenment. Princeton Univ. Press.
dekker, t. (1608). The Belman of London: Bringing to Light the Most Notorious Villanies Now Practised in the Kingdome, Nathaniel Butter, London. [Reprinted in The English Experience, Number 584, Theatrum Orbis Terrarum, Amsterdam, 1973.]
demoivre, a. (1718). The Doctrine of Chances: or A Method of Calculating the Probability of Events in Play. Pearson, London.
demoivre, a. (1738). The Doctrine of Chances, 2nd ed. Woodfall, London.
diaconis, p., graham, r. l. and kantor, w. m. (1983). The mathematics of perfect shuffles. Adv. in Appi Math. 4 175-196.
dircks, h. (1865). The Life, Time and Scientific Labours of the Second Marquis of Worcester. To Which Is Added, a Reprint of His Century of Inventions, 1663, with a Commentary Thereon by Henry Dircks. Quaritch, London.
edwards, a.w.f. (1987). Pascal's Arithmetical Triangle. Griffen, London.
garber, d. and zabell, s. (1979). On the emergence of probability. Arch. Hist. Exact Sci. 21 33-53.
gardner, j. (1980). Gambling: A Guide to Information Sources. Gale Research, Detroit.
gigerenzer, g., swijtink, z., porter, t., daston, l., beatty, j. and kruger, l. (1989). The Empire of Chance: How Probability Changed Science and Everyday Life. Cambridge Univ. Press.
greene, r. (1591). A Notable Discouerie of Coosenage. Wolfe, London.
hacking, i. (1975). The Emergence of Probability: A Philosophical Study of Early Ideas about Probability, Induction, and Statistical Inference. Cambridge Univ. Press, London.
hald, a. (1990). A History of Probability and Statistics and Their Applications before 1750. Wiley, New York.
hall, t.h. (1973). Old Conjuring Books: A Bibliographical and Historical Study with a Supplementary Checklist. St. Martin's Press, New York.
hargrave, c.p. (1930). A History of Playing Cards and a Bibliography of Cards and Gaming by Catherine Perry Hargrave; Compiled and Illustrated from the Old Cards and Books in the Collection of the United States Playing Card Company in Cincinnati. Houghton Mifflin, Boston.
harris, j. (1710). Play. In Lexicon Technicum; or, An Universal English Dictionary of Arts and Sciences, Vol. 2. Brown, London. [Reprinted in Sources of Science, No. 28, 1966. Johnson Reprint, New York.]
holgate, p. (1984). The influence of Huygens' work in dynamics on his contribution to probability. Internal Statist. Rev. 52 137-140.
horr, n.t. (1892). A Bibliography of Card-Games and of the History of Playing-Cards. Orr, Cleveland. [Reprinted in Bibliographies of Works on Playing Cards and Gaming, 1972, Patterson Smith, Montclair.]
hoyle, e. (1743a). A Short Treatise on the Game of Whist. Webster, London.
hoyle, e. (1743b). A Short Treatise on the Gaте of Whist. Cogan, London.
hoyle, e. (1744). An Artificial Memory; or, An Easy Method of Assisting the Memory of Those that Play at the Game of Whist. To Which Are Added Several Cases Not hitherto Published. George and Alexander Ewing, Dublin.
hoyle, e. (1745). A Short Treatise on the Game of Quadrille Showing the Odds of Winning or Losing Most Games that Are Commonly Played. Osborne, London.
hoyle, e. (1746). A Short Treatise on the Game of Piquet. Osborne, London.
hoyle, e. (1747). A Short Treatise on the Game of Whist. Seventh Edition. Osborne, London.
hoyle, e. (1754). An Essay towards Making the Doctrine of Chances Easy to Those who Understand Vulgar Arithmetic Only. Jolliff, London.
hoyle, e. (1761). An Essay towards Making the Doctrine of Chances Easy to Those who Understand Vulgar Arithmetic Only. Ewing, Dublin.
hoyle, e. (1764). An Essay towards Making the Doctrine of Chances Easy to Those who Understand Vulgar Arithmetic Only. Osborne and Baldwin, London.
hoyle, e. (1770). Mr. Hoyle's games of whist, quadrille, piquet, chess and backgammon, complete. In which are contained, the method of playing and betting at these games, upon equal or advantageous terms. Including the laws of several games. 15th Edition. Osborne, London.
huygens, c. (1657). De Ratiociniis in Ludo Aleae. In Exercitatioпит Mathematicarum (F. van Schooten, ed.). Elsevir, Leiden.
jessel. f. (1905). A Bibliography of Works in English on Playing Cards and Gaming. Longmans, Green, London. (Reprinted in Bibliographies of Works on Playing Cards and Gaming, 1972. Patterson Smith, Montclair.]
judges, a.v. (1930). The Elizabethan Underworld. Routledge, London.
leathermore (pseud.) (1668). Leathermore: or Advice Concerning Gaming: The Second Edition. London.
leathehmore (pseud.) (1669). Leathermore. The Nicker Nicked: or, The Cheats of Gaming Discovered. London. [Reprinted in The Harleian Miscellany, Vol. VII, 1810. Dutton, London, pp.361-365.]
lucas, t. (1714). The Memoirs of the Lives, Intrigues, and Comical Adventures of the More Famous Gamesters and Celebrated Sharpers in the Reigns of Charles II, James II, William III, and Queen Anne. Second Edition. London. [Reprinted in Games and Gamesters of the Restoration ...with an Introduction by C.H. Hartmann, 1930. Routledge, London.]
maistrov, l.e. (1974). Probability Theory: A Historical Sketch. [Translated by S. Kotz.] Academic, New York.
maskelyne, j.n. (1894). Sharps and Flats: A Complete Revelation of The Secrets of Cheating at Games of Chance and Skill. Longmans, Green, New York. [Reprinted by GBC Press, Las Vegas, NV, 1971.]
ore, o. (1953). Cardano: The Gambling Scholar. Princeton Univ. Press. [Reprinted by Dover, New York, 1965.]
platt, h. (1594). The Jewel House of Art and Nature. London. [Reprinted in The English Experience, Number 950, 1979. Theatrurn Orbis Terrarum, Amsterdam.]
pompen, a. (1925). The English Versions of The Ship of Fools: A Contribution to the History of the Early French Renaissance in England. Longmans, Green, New York.
powell, s. (1972). A Gambling Bibliography Based on the Collection, University of Nevada, Las Vegas. Univ. Nevada, Las Vegas.
rather, j.c. and goldwateb, w. (1983). According to Hoyle, 1742-1850: A Bibliography of Editions by or Based on the Writings of Edmond Hoyle. University Place Bookshop, New York.
rid, s. (1612). The Art of Jugling or Legerdemaine. Samuel Rand, London. [Reprinted in The English Experience, Number 688, 1974. Theatrum Orbis Terrarum, Amsterdam.]
salgado, g. (1977). The Elizabethan Underworld. Dent, London.
scot, r. (1584). Discouerie of Witchcraft. London. [Reprinted in The English Experience, Number 299, 1971. Theatrum Orbis Terrarum, Amsterdam.]
seymour, r. (1720). The Court-Gamester. Second Edition. Curll, London.
seymour, r. (1734). The Compleat Gamester: In Three Parts. Fifth Edition. Curll,London.
seymour, r. (1754). The Compleat Gamester: In Three Parts. Eighth Edition. Hodges, London.
simpson, j.a. and weiner, e.s.c. (1989). Oxford English Dictionary, 2nd Edition. Clarendon, Oxford.
stott, r.t. (1976). A Bibliography of English Conjuring 1581-1876. Harpur & Sons, Derby.
thorpe, e.o. (1966). Beat the Dealer. Random House, New York.
todhunter, i. (1865). History of the Mathematical Theory of Probability from the Time of Pascal to That of Laplace. MacMillan,Cambridge.[Reprinted by Chelsea, 1949,1965.]
van schooten, f. (1657). Francisci à Schooten Exercitationem Mathematicarum libri quinque. Elsevir, Leiden.
walker, g. (1552). A Manifest Detection of the Moste Vyle and Detestable Use of Diceplay, and Other Practices of the Same. London.
yates, f.a. (1966). The Art of Memory. Routledge and Kegan Paul, London.
Оригинал:
Bellhouse, D.R. (1993). The role of roguery in the history of probability. Statistical Science 8: 410 – 420.