История числа π

Дж. Дж. О’Коннор,  Е.Ф. Робертсон

A history of Pi

J. J. O'Connor and E. F. Robertson

Перевод: Суханова Екатерина

 

******

Мало известная строфа Библии гласит:

И сделал литое [из меди] море, - от края его до края его десять локтей, - совсем круглое, вышиною в пять локтей, и снурок в тридцать локтей обнимал его кругом. (3 Цар. 7: 23)

Аналогичный стих можно найти во второй книге Паралипоменон 4: 2. Он относится к описанию деталей великого дома Соломона, построенного около 950 года до нашей эры, и, что здесь самое интересное, в нем дается . Конечно, значение не очень точное, не очень точное даже для того времени ­– в Египте и Месопотамии значения и  были выведены много ранее. Впрочем, в защиту строителей дома Соломона следует отметить, что описанная деталь, по-видимому, имеет достаточно большую форму для литья, где высокая степень геометрической точности не только невозможна, но и в ней нет необходимости. Существуют некоторые интерпретации, приводящие и к лучшему результату.

 

Сам факт того, что отношение длины окружности к ее диаметру постоянно, известен настолько давно, что проследить его происхождение немыслимо. Самое первое значение числа π, включая «Библейское», ­­– это 3; практически наверняка, оно было получено путем прямых измерений. В египетском папирусе Райнда, датированном около 1650 годом до нашей эры, вполне ясно использование в качестве π числа .

 

Первое теоретическое вычисление, по-видимому, выполнено Архимедом из Сиракузы (287-212 до н.э.). Он получил приближение

.

Прежде чем привести его доказательство, отметим, что использование неравенств уже свидетельствует о весьма изощренном опыте. Архимед знал, в отличие от многих других людей того времени, что  не является точным значением числа π, и даже не пытался найти это точное значение. Если мы определим его наилучшую оценку как среднее арифметическое границ найденного им интервала, то получим 3,1418; погрешность составляет всего около 0,0002.

 

 

 

 

 

Египетский папирус Райнда

(Egyptian Rhind Papyrus).

 

Теперь сами рассуждения Архимеда.

 

Рассмотрим круг радиуса 1, в который вписан правильный многоугольник с  сторонами и полупериметром , и около которого описан правильный многоугольник с  сторонами и полупериметром .

Диаграмма для случая n=2 дана справа.

 

Смысл этой процедуры в том, чтобы определить возрастающую последовательность

и убывающую последовательность

так, чтобы они обе имели своим пределом π. Используя тригонометрические понятия, можно вычислить значения полупериметров

a_n = K tan(π/K), b_n = K sin(π/K),

где K=. Таким же образом, имеем

a_n+1 = 2K tan(π/2K), b_n+1 = 2K sin(π/2K),

и не будет сложным упражнением по тригонометрии показать, что

(1/a_n + 1/b_n) = 2/a_n+1   . . . (1)

a_n+1b_n = (b_n+1)²       . . . (2)

Архимед, начав с  a₁ = 3 tan(π/3) = 3√3  и  b₁ = 3 sin(π/3) = 3√3/2, вычислил a₂, используя (1), затем b₂ используя (2), a₃ используя (1), b₃ используя (2) и так далее, пока не получил a₆ и b₆ . Он сделал вывод, что

b₆ < π < a₆ .

Важно осознать, что использование здесь тригонометрии «не исторично»: Архимед не обладал знаниями из алгебры и тригонометрии, и описывал (1) и (2) чисто геометрически. Более того, он даже не имел представления о десятичных числах, поэтому вычисление a₆ и b₆ с помощью (1) и (2) являлось далеко не тривиальной задачей. Так, полученный результат был поистине изумительным достижением как силы воображения, так и рассуждения; и удивительно не то, что он остановился на многоугольнике с 96 сторонами, а то, что он зашел так далеко.

 

Конечно, вообще говоря, нет причин, чтобы не продолжить вычислений. Многие пошли дальше:

 

Птолемей                (около 150 н.э.)    3.1416

Зу Чонгжи              (430-501 н.э.)                  ³⁵⁵/₁₁₃

Аль-Хваризми        (около 800)           3.1416

Аль-Каши               (около 1430)                   14 знаков

Виет                        (1540-1603)           9 знаков

Румен                     (1561-1615)           17 знаков

Ван Цейлен             (около 1600)                   35 знаков

 

За исключением Зу Чонгжи, о котором ничего более неизвестно, и  который, очень вероятно, не знал о трудах Архимеда, не было никакого теоретического прогресса при увеличении точности, только более трудоемкие вычисления. Обратим внимание, как лидерство в этой и других научных областях переходит от Европы к Востоку в период от 400 до 1400 годов.

 

Аль-Хваризми жил в Багдаде и, кстати, благодаря ему появилось слово «алгоритм», и в то же время слова al jabr в названии одной из его книг породили слово «алгебра». Аль-Каши жил еще восточнее, в Самарканде, а Зу Чонгжи, едва ли следует говорить, в Китае.

 

Европейское Возрождение принесло должным образом целый новый математический мир. Среди первых последствий этого пробуждения было появление математической формулы для π. Одним из первых представлений было Джона Валлиса (1616-1703)

и одним из наиболее известных является

π/₄ = 1 - ¹/₃ + ¹/₅ - ¹/₇ + ....

Последнюю формулу иногда приписывают Вильгельму Лейбницу (1646-1716), но, по-видимому, она была ранее открыта Джеймсом Грегори (1638- 1675).

 

Потрясающе и изумительно, что выражение справа по своему характеру арифметическое, в то время как число π восходит в первую очередь из геометрии. Подобные представления демонстрируют удивительный результат, что бесконечный процесс может быть завершен, и они указывают способ прекрасного обогащения современной математики.

 

С точки зрения вычисления π ни одна из формул, тем не менее, не годится. В ряде Грегори, например, чтобы получить четвертую значащую цифру, необходимо, чтобы ошибка была менее чем 0,00005 = ¹/₂₀₀₀₀, и таким образом, нам потребуется около 10 000 членов этого ряда. Однако Грегори показал более общий результат:

tan^-1 x = x - x³/3 + x⁵/5 - ... (-1 x 1)   . . . (3) ,

из которого мы получим предыдущий ряд подстановкой x=1. Также используя факт

tan^-1(¹/_√3) = π/₆  

мы получим

π/₆ = (¹/_√3)(1 - 1/(3.3) + 1/(5.3.3) - 1/(7.3.3.3) + ... ,

и здесь сходимость более быстрая. Десятый член есть 1/(19 3⁹√3), что меньше 0,00005, и таким образом имеем точный четвертый знак уже после девятого члена.

 

Еще лучшая идея взять формулу

π/₄ = tan^-1(¹/₂) + tan^-1(¹/₃)   . . . (4)

и вычислить два ряда, полученные подстановкой сначала ¹/₂ и затем ¹/₃ в (3).

 

В самом деле, ясно, что мы получим очень быструю сходимость, если найдем формулу вида

π/₄ = tan^-1(¹/_a) + tan^-1(¹/_b) ,

где a и b большие. В 1706 году Джон Мэчин нашел такую формулу:

π/₄ = 4 tan^-1(¹/₅) - tan^-1(¹/₂₃₉)   . . . (5)

В действительности, ее не очень сложно доказать; если знать доказательство (4), то не будет больших сложностей с проверкой (5), не считая громоздкости арифметических вычислений. Но придумать ее, не используя других результатов, конечно, совсем другое дело.

 

Подобные формулы полезны только для более точного вычисления значения π, и продолжение в этом направлении лишено смысла. Надо сказать, что некоторые люди были довольно неблагоразумны и потратили большое количество времени и усилий на это скучное и бесполезное занятие. Один из них, англичанин по имени Шенкс, использовал формулу Мэчина для вычисления π до 707 знака, и опубликовал результат многолетнего труда в 1873 году. Шенкс достиг бессмертия благодаря очень любопытным причинам, которые мы вскоре  скажем.

 

А сейчас вкратце изложим, как происходило улучшение точности расчетов:

 

  1699:  Шарп использовал результат Грегори и получил 71 точный знак

  1701:  Мэчин придумал улучшение и вычислил 100 знаков после запятой;    остальные воспользовались его методом:

  1719:  де Лани нашел 112 правильных цифр

  1789:  Вега получил 126 разрядов и в 1794 году – 136

  1841:  Ратерфорд вычислил 152 цифры и в 1853 получил 440 знаков

  1873:  Шенкс вычислил 707 разрядов, из которых правильных 527

 

Шенкс знал, что π иррационально, поскольку это было доказано Ламбертом в 1761 году. Вскоре после его вычислений Линдман доказал трансцендентность π, то есть, что π не является решением никакого полиномиального уравнения с целыми коэффициентами. В действительности, результат Линдемана показывает не реализуемость «квадратуры круга». Трансцендентность π влечет невозможность построения циркулем и линейкой квадрата, по площади равного заданному кругу.

 

Очень скоро после расчетов Шенкса любопытную статистическую несуразность заметил де Морган, обнаруживший в последних из 707 разрядах подозрительную нехватку семерок. Он упоминает это в своей книге «Основания парадоксов»[1] 1872 года и эта странность оставалась необъяснимой вплоть до 1945 года, когда Фергюсон обнаружил ошибку Шенкса в 528 знаке, после которого все цифры были неверны. В 1949 году использование компьютера позволило вычислить π до 2000 разряда. В этом и последующих компьютерных расчетах количество семерок незначительно отличается от ожидаемого результата; и в действительности, последовательность цифр до сих пор прошла все статистические тесты проверки случайности.

 

Следует немного рассказать о появлении обозначения π. Вильям Отред в 1647 году использовал символ d/π для обозначения отношения диаметра окружности к ее длине. Дэвид Грегори (1697) употреблял π/r для отношения длины окружности к ее радиусу. Впервые использование символа π в его настоящем значении было сделано британским математиком Вильямом Джоунсом в 1706 году, когда он сформулировал «3.14159 andc. = π». Эйлер перенял этот символ в 1737 году, после чего это обозначение быстро стало общепринятым.

 

В заключение приведем любопытный статистический факт, связанный с вычислением числа π, именуемый «иглой Бюффона». Если имеется равномерная решетка из параллельных линий с единичным расстоянием между ними, и мы бросаем в нее иглу длины k < 1, то вероятность пересечения линии иглой равна 2k/π. Многие пытались вычислить значение π путем бросания иглы. Наиболее замечательный результат принадлежит Лазерини (1901), сделавшему 34080 бросаний и получившему

π = ³⁵⁵/₁₁₃ = 3.1415929,

что в точности совпадает со значением Зу Чонгжи. Такой исход подозрительно хорош, и игра заканчивается странным числом 34080 бросаний. Кендал и Моран объясняют такое хорошее значение тем, что оно могло быть получено путем остановки эксперимента в наилучший момент. Если наперед устанавливается количество бросаний, то вычисление π таким путем очень неточно. Кендал и Моран утверждают, что тогда лучше вырезать из дерева круг и вычислить его диаметр и длину окружности при помощи мерной рулетки.

 

Продолжая говорить о фальшивых экспериментах, Гриджмен, относясь в своей работе с презрением к Лазерини и ему подобным, придумал некий забавный опыт, выбрав иглу специальной длины k = 0.7857, бросая ее дважды, при этом линия пересекается один раз. Тогда оценка для π определяется уравнением

2 0.7857 / π = ½ ,

из которого получается очень приличное значение π = 3,1428. Сделано это было ради шутки!

 

Практически невероятно, что определение π было использовано, по крайней мере в качестве оправдания, для расистских нападок на выдающегося математика Эдмонда Ландау в 1934. Ландау в своем учебнике, опубликованном в Геттингене в том году, определил π с помощью метода, теперь достаточно распространенного, положив π/2 таким числом x между 0 и 1, для которого cos x обнуляется. Это породило университетский диспут, закончившийся для Ландау увольнением с кафедры в Геттингене. Бибербах, знаменитый ученый из области теории чисел, скомпрометировавший себя расистскими взглядами, объяснил причину увольнения Ландау:

Таким образом, героический отказ студенческим сообществом Геттингена, в котором фигурирует  великий математик Эдмонд Ландау, обусловлен в конечном счете тем фактом, что чуждое немецкой культуре поведение этого человека в области исследований и преподавания, недопустимо для немецкого понимания. Люди, осознающие количество других наций, работающих, чтобы навязать свои собственные иностранные стереотипы, должны им отказывать в преподавании немецкой культуры.

Годфри Харолд Харди немедленно ответил Бибербаху в опубликованной заметке по поводу последствий такого не немецкого определения π:

Нас много, англичан и немцев, говоривших в ходе войны вещи, едва ли подразумевавшиеся, мы сожалеем об этом напоминании. Беспокойство за собственную позицию, страх падения вслед за возрастанием потока глупых речей, стремление во что бы то ни стало не быть побежденным, возможно, естественны, если бы не отдельные героические оправдания. Репутация профессора Бибербаха исключает подобные объяснения его высказываний, и я склоняюсь к более жестокому выводу, что он действительно верит в свою правоту.

Не только в Германии π породило подобные проблемы. В США значение π вызвало горячие политические дебаты. В штате Индиана в 1897 году Палата Представителей единогласно приняла законопроект, вносящий новую математическую истину:

 

Да будет установлено генеральной ассамблеей штата Индиана: Было обосновано, что площадь круга есть квадрат величины, равной четверти дуги окружности, также как площадь равностороннего прямоугольника равна квадрату его стороны.  (Section I, House Bill No. 246, 1897)

 

Сенат штата Индиана оказался более благоразумным и отсрочил на неопределенное время принятие акта!

Открытые вопросы, связанные с числом π:

 

Каждая ли из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 встречается бесконечное число раз в π?

Вопрос Брауэра: случается ли, что в десятичном разложении π тысяча последовательных разрядов – нули?

Является ли число π просто нормальным по основанию 10? То есть каждая цифра встречается в десятичном разложении одинаково часто в асимптотическом смысле?

Является ли число π нормально по основанию 10? То есть каждый блок цифр заданной длины встречается в десятичном разложении одинаково часто в асимптотическом смысле?

Является ли число π нормальным? То есть каждый блок цифр заданной длины встречается одинаково часто в разложении по любому основанию в асимптотическом смысле? Понятие было введено Борелем в 1909 году.

Другой вопрос, связанный с нормальностью! Мы знаем, что π не является рациональным, и таким образом, не существует разряда, начиная с которого порядок цифр повторяется. Тем не менее, если π нормально, то первый миллион цифр 314159265358979... встретится, начиная с некоторого момента. Даже если π не нормально, это должно выполняться! Не правда ли? И тогда, начиная с какого разряда? Заметим: вплоть до 200 миллионов цифр наибольшее, что встречается – это 31415926, причем дважды.

В завершение, приведем мнемоническое правило для разложения числа π. Каждая последующая цифра есть число букв в соответствующем слове:

 

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard...: [2]

 

3.14159265358979323846264...

 

---------

Оригинал:

http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Pi_through_the_ages.html