Бесконечность

Дж. Дж. О’Коннор,  Е.Ф. Робертсон

 

Infinity

J. J. O'Connor and E. F. Robertson

Перевод: Вяткина Татьяна Юрьевна

 

 

*****

Среди статей архива истории математики статья о бесконечности связана с  особенными трудностями.

Возникает вопрос: нужно ли концентрироваться только на математическом аспекте темы или следует рассматривать ее философские и даже религиозные аспекты?

В этой статье мы придерживаемся взгляда, что исторически нельзя отделить философские  и религиозные аспекты от математических, поскольку они играют важную роль в процессе формирования идей.

Вышесказанное особенно справедливо для Древней Греции и, как пишет Кнорр в [17]: Взаимосвязь философии и математики редко проявляется настолько явно, как при изучении бесконечности древними греками. Диалектические загадки элеатов пятого века, заостренные Платоном и Аристотелем в четвертом веке, дополняются введением точных методов взятия  пределов, таких как те, что применялись

Евдоксом в четвертом веке и Евклидом и Архимедом - в третьем.

Несомненно, вопросы о бесконечности возникли в те времена, когда люди начали задумываться о мире, в котором они живут. Часть вопросов касалась времени. Возник ли мир в некоторый определенный момент или же он существовал всегда?  Будет ли он существовать всегда или ему придет конец?

Также были вопросы, касающиеся пространства. Что произойдет, если все время идти в одном направлении? Достигнет ли человек конца света или возможно путешествовать вечно? Над землей видны звезды, планеты солнце и луна, однако ограничено ли это пространство или оно распространяется до бесконечности?

 

Все перечисленные вопросы очень глубоки и, должно быть, тревожили мыслителей задолго до появления письменной истории. Были также более тонкие вопросы о бесконечности, которые возникли на том этапе, когда люди начали глубоко задумываться о мире.

Что произойдет, если разрезать кусочек дерева на два, потом еще пополам и продолжать этот процесс?  Можно ли делать это до бесконечности? 

 

Мы должны начать наш рассказ о бесконечности с элеата пятого века Зенона. Древние греки столкнулись с проблемой бесконечности на начальном  этапе развития своей математики и науки.

При изучении материи  они столкнулись с фундаментальным вопросом: можно ли вечно продолжать деление материи на все более мелкие части или получится настолько маленький кусочек, делить далее который будет невозможно. Пифагор утверждал, что «все есть число»,  и его мир состоял из конечных натуральных чисел. Кроме того, были атомисты, которые полагали, что материя состоит из бесконечного числа неделимых частиц.

Парменид и элейская школа, к которой принадлежал Зенон, спорила с атомистами. Однако парадоксы Зенона показвают, что обе теории - и то, что материя бесконечно делима, и атомическая теория - приводят к явным противоречиям.

Конечно, эти парадоксы возникли из-за бесконечности. Аристотель, казалось, не оценил по достоинству значимость аргументов Зенона, тем не менее, бесконечность занимала его мысли.  Он предложил идею, которая определяла развитие мысли в течение двух тысяч лет и по сей день все еще является для некоторых убедительным аргументом. Аристотель отрицал действительную бесконечность и рассматривал вместо нее потенциальную бесконечность. Его идея состояла в том, что мы не можем осознать натуральные числа во всей их полноте. Однако они потенциально  бесконечны в том смысле, что для каждой фиксированной  конечной совокупности мы можем найти большую конечную совокупность.

Также к нашему рассказу непосредственное отношение имеет замечательное достижение вавилонян, которые ввели идею позиционной записи чисел, что впервые позволило представлять числа в виде, доступом пониманию, без ограничения их размера.

Однако, несмотря на существование позиционной системы, аргументы Аристотеля вполне убедительны. Лишь конечное число натуральных чисел было когда-либо записано или осознано. Если L – наибольшее число, осознанное к настоящему моменту, то можно пойти дальше и написать число  L+1 или L+2, но лишь конечное количество чисел будет осмыслено. Аристотель обсуждает это в главах 4-8 книги третьей книги «Физики» , где он утверждает, что отрицание существования актуальной бесконечности, допущение лишь потенциальной бесконечности не усложнит жизнь математикам:

Наше рассуждение,  отрицающее  актуальность  бесконечного  в  отношении

увеличения,  как не проходимого  до  конца,  не  отнимает  у математиков  их

исследования,  ведь  они  теперь  не  нуждаются  в таком  бесконечном  и  не

пользуются им:  [математикам]  надо только,  чтобы ограниченная  линия  была

такой величины,  как им желательно…

Кантор, спустя более двух тысяч лет, утверждал, что Аристотель ввел различие, которое состояло лишь в использовании двух разных слов.

... На самом деле, потенциальная бесконечность обладает лишь заимствованной реальностью, поскольку концепция потенциальной бесконечности всегда указывает на логически предшествующую концепцию актуальной бесконечности, от существования которой она и зависит.

Мы вернемся к идеям Кантора в конце статьи, а сейчас обсудим влияние, которое оказал Аристотель на позднейших греческих математиков, и особенно на Евклида, разрешив существование лишь потенциальной бесконечности.  Как же тогда, можно спросить, Евклид за 300  лет до н.э. смог доказать, что множество простых чисел бесконечно? Ответ в том, что Евклид доказал в «Началах» не это. Это лишь современная формулировка того, что Евклид утверждал в своей теореме, которая в переводе Хеаса, гласит: “Простых чисел больше, чем любое указанное число их”. Т.е.  фактически Евклид доказал, что простые числа потенциально бесконечны, но фактически, конечно, это одно и то же. Его доказательство показывает, что для любой заданной конечной совокупности простых чисел существует число не из этой совокупности.

Следует обсудить другие аспекты бесконечности, которые играют важнейшую роль в «Началах».

Там Евклид излагает метод исчерпывания, придуманный Евдоксом из Книда. Сейчас этот метод часто представляют как рассмотрение круга как предела, к которому стремятся правильные многоугольники при бесконечном увеличении числа сторон. Однако мы должны подчеркнуть, что древние греки воспринимали этот метод иначе.  Это скорее было рассуждение с приведением к противоречию, которое избегало использования бесконечности. Например, чтобы доказать что площади фигур А и B равны, этот метод  предполагал, что площадь А меньше площади B, и выводил  противоречие за конечное число шагов. Опять же и предположение, что В меньше А, также приводило к противоречию за конечное число шагов.

Однако в последнее время появились факты, свидетельствующие о том, что не все древние греки ограничивались лишь рассмотрением потенциальной бесконечности. Авторы книги [32] отметили интересный способ, которым Архимед исследуeт бесконечное число объектов, найденный в палимпсесте “Метода” Архимеда :

Архимед рассматривает три пары множеств бесконечной размерности и утверждает, что их размерности попарно совпадают.

Мы подозреваем, что, возможно, нет другого примера в греческой математике, а, возможно и во всех древнегреческих текстах , где говорилось бы, что бесконечноые множества  «имеют одинаковую размерность.»

  Само предположение, что размер некоторого бесконечного множества совпадает с размером другого бесконечного множества,  подразумевает, что не все множества бесконечной размерности имеют одинаковую размерность.

Мы имеем здесь бесконечные множества объектов – имеющих определенные и различные размеры (т.е.  объекту как бы сопоставляется число);  с этим  величинами проводятся определенные действия, по всей видимости, что-то вроде взаимно-однозначного соответствия… в этом случае Архимед обсуждает актуальные бесконечности почти так, как если бы были сопоставлены числа в обычном понимании.

Даже если большинство математиков соглашалось с аргументами Аристотеля о потенциальной бесконечности, были и другие, которые  доказывали  существование случаев действительной бесконечности.  В первом веке до н.э. Лукреций написал поэму "О природе вещей", в которой он спорил с утвержденим, что вселенная ограничена в пространстве. Его доводы весьма просты.  Предположим, что  вселенная конечна, значит, она должна иметь границу. Теперь, если некто приблизится к этой границе и кинет некий объект, то ничто не воспрепятствует  движению этого объекта, так как если бы что-то остановило его, то это что-то лежало бы за границей вселенной, а ничто не находится вне вселенной по определению.  Мы, конечно, знаем, что доказательство Лукреция неверно, поскольку вселенная может быть ограниченной, не имея при этом границы. Однако на протяжении многих столетий этот довод о границе выигрывал спор о конечности вселенной.

  В пользу актуальной бесконечности выступали в основном теологи. Например, Св. Августин - христианский философ, который привнес значительную часть философии Платона в христианство в начале 5-го века, выступал в защиту бесконечного Бога и его способности иметь бесконечность мыслей. В своей знаменитой работе “О Граде Божием” он писал:

Что же касается другого их мнения, согласно которому бесконечное не может быть объято даже божественным видением, то им остается дерзнуть утверждать, что Бог не знает всех чисел, и погрузиться, таким образом, и в эту бездну глубокого нечестия …Кто даже из самых безрассудных людей скажет это?... кто такие мы, людишки, дерзающие положить предел Его ведению

Индийские математики работали над введением нуля в свою систему исчисления на протяжении 500 лет, начиная с Брахмагупты в VII веке. Проблема, с которой они боролись, состояла в подчинении нуля основным арифметическим операциям. Бхаскара II писал в “Биджаганите”:

Число, деленное на ноль, становится дробью с нулем в знаменателе. Такая дробь является бесконечной величиной.  Эта величина, состоящая из чего-то, имеющего ноль в знаменателе, не претерпевает никаких изменений, хотя к ней многое может быть добавлено, и от нее отнято; как никакие изменения не происходят в бесконечном и неизменном Боге, когда создаются и разрушаются миры, хотя бесчисленные множества существ поглощается и рождается вновь.

Это была попытка  ввести бесконечность, наряду с нулем, в систему исчисления. Конечно, этот подход не приводит к успеху, поскольку он, как это было введено  Бхаскарой II,  предполагает, что ноль, умноженный на бесконечность, равен любому числу, поэтому все числа равны.

Фома Аквинский, христианский теолог и философ, использовал факт, что не существует числа, которое представляло бы бесконечность, как аргумент против существования актуальной бесконечности. В “Сумме теологии”, созданной в 13 веке, Фома Аквинский пишет:

Существование действительной бесконечности невозможно. Поскольку любое множество, которое мы рассматриваем, должно быть неким определенным множеством. А множества вещей определяются  количеством вещей, входящих в них. А нет бесконечного числа, так как числа получаются считанием единиц. Так что ни одно множество предметов  не может быть в действительности неограниченно, по неотъемлемому своему свойству или же случайно.

Это возражение действительно разумно, и во времена Фомы Аквинского на него не существовало удовлетворительного ответа. В действительности неограниченное множество требует меры, и никакая мера не казалась возможной Фоме Аквинскому. Нам придется дойти до Кантора (ближе к концу XIX века), прежде чем удовлетворительная мера для бесконечных  величин будет построена.

 В статье [15] говорится:

.. Математические доводы, использованные двумя теологами XIII века, Александром Неквамом и Ричардом Фишакре, для защиты состоятельности божественной бесконечности. В связи с их аргументами возникает следующий вопрос: почему теологи посчитали уместным обратиться к математическим примерам при рассмотрении чисто теологического вопроса?

Математическая индукция стала применяться за сотни лет до того, как метод был четко сформулирован. Она давала способ доказательства верности утверждений для бесконечного числа целых чисел. Например, Аль-Караджи примерно в 1000 году нашей эры использовал нестрогую форму математической индукции в своих доказательствах. Основное, что делал Аль-Караи, заключалось в проведении доказательства для n=1, затем он проделывал его для случая n=2, основываясь на результате для n=1,  затем для n=3, основываясь на результате для n=2 и так до n=5, пока не замечал, процесс может быть продолжен до бесконечности.

Применяя этот метод, он  предложил красивое описание получения биномиальных коэффициентов  при помощи треугольника Паскаля.

Паскаль не знал о работе Аль-Караи о треугольнике Паскаля, но он знал, что Мавролико использовал нечто похожее на метод математической индукции в середине XVII века. Паскаль, предлагая свою версию треугольника Паскаля, пишет:

Хотя это утверждение имеет бесконечное число случаев, я представлю очень короткое доказательство, предполагая выполнение двух лемм. Первая, самоочевидная, о том, что утверждение верно для второго ряда. Вторая состоит в том, что, если утверждение верно для некоторого ряда, то  оно должно непременно выполняться и для следующего ряда. Отсюда можно видеть, что утверждение верно для всех рядов:оно верно для второго ряда по первой лемме; далее по второй лемме оно выполняется для третьего ряда, а отсюда и для четвертого и так до бесконечности.

 

Мы ушли далеко вперед во времени следя за прогрессом математической  индукции, т.ч. давайте вернемся немного назад, чтобы посмотреть на доказательства бесконечности вселенной.  Долгое время общепринятой была  аристотелева модель конечной вселенной, состоящей из девяти сфер, с центром Землей. Однако она оспаривалась, и мы уже видели доводы Лукретиуса в пользу бесконечности вселенной. В середине 15 века гениальный ученый Николай Кузанский утверждал, что вселенная бесконечна, а звезды – удаленные солнца. В XVI веке католическая Церковь стала  предпринимать попытки искоренить ересь подобного рода в Европе. Джордано Бруно, не будучи математиком или ученым, активно выступал в пользу бесконечности вселенной в  работе "О бесконечности вселенной и мирах" (1584). Инквизиция, осудив его, пытала его 9 лет – это было сделано, чтобы заставить его признать конечность вселенной. Он отказался изменить свою точку зрения, и был сожжен на костре в 1600 году.

Галилей, напуганный участью Бруно в лапах инквизиции, стал очень осторожным в высказывании своих взглядов. Он касается темы бесконечности в «Беседах и математических доказательствах, касающиеся двух новых отраслей науки»

 (1638) где изучает задачу о двух концентрических окружностях с центром в точке О, где диаметр большей окружности А превышает диаметр меньшей  B в два раза. По известной формуле, длина окружности А в два раза больше длины окружности B. Но если рассмотреть произвольную точку Р на круге А , тогда РО пересекает окружность В в одной точке. Аналогично, если Q – точка на В, то продолжение ОQ также пересекает окружность А ровно в одной точке. Хотя длина окружности А в два раза больше длины окружности В, они имеют одинаковое количество точек. Галилей предложил добавить к меньшей окружности бесконечное число бесконечно малых промежутков, чтобы сделать ее равной большей, но при этом они должны иметь одинаковое число точек. Он писал:

Это действительные трудности; и они не единственные. Но следует помнить, что мы имеем дело с бесконечностями и неделимыми,  которые находятся за пределами нашего ограниченного понимания, первые из-за их величины, вторые из-за их малости. Несмотря на это, люди не могут воздержаться от обсуждения этой проблемы, хотя и приходится делать это обходными путями.

Однако Галилей утверждал, что трудности возникают из-за того, что”… Мы пытаемся с нашим ограниченным пониманием обсуждать бесконечное, приписывая ему свойства, которые мы приписываем конечному и ограниченному; но я считаю это неверным, поскольку мы не можем говорить о бесконечных величинах, что они больше, меньше или равны одна другой».

Затем он приводит другой парадокс, схожий с парадоксом окружностей, но на этот раз с числами, так что никакие бесконечно малые не могут быть введены для исправления  ситуации.

Галилей представил стандартное взаимнооднозначное соответствие между положительными целыми числами и их квадратами. С одной стороны отсюда следует, что число полных квадратов совпадает с количеством всех чисел. Однако большинство чисел не являются полными квадратами. Галилей  утверждает, что это может означать только одно:

 множество всех чисел бесконечно, и количество полных квадратов, соответственно, также бесконечно; при этом  число полных квадратов не превосходит и не меньше количества всех чисел; и, наконец, понятия «равно», «больше» и «меньше» не применимы к бесконечности, а только к конечным величинам.

В [25] Кноблох приводит новый взгляд на эту работу Галилея. В этой же статье изучаются аккуратные определения Лейбница бесконечно малых и бесконечности в терминах пределов.  Лейбницево развитие дифференциального исчисления было основано на идеях бесконечно малых, которые изучались долгое время.

Кавальери в своей работе «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых частей непрерывных величин» (1635)  описывает линии как состоящие из бесконечного числа точек, а площади как состоящие из бесконечного числа линий. Он предлагает достаточно строгие методы сравнения площадей, известные как «Принцип Квальери». Если при перемещении линии параллельно самой себе, так чтобы она пересекала две фигуры, длины отрезков линии внутри фигур находятся в соотношении а:b, то и площади фигур находятся в том же соотношении.

Роберваль пошел еще дальше в представлении линий в виде сумм бесконечного числа неделимо малых частей. Он предложил метод сравнения размеров неделимо малых, так что хотя сами по себе они и лишены величины, отношение их величин стало определимым. Это был настоящий шаг вперед на пути обращения с бесконечными процессами, поскольку впервые стало возможным не принимать во внимание величины малые по сравнению с остальными.  Однако оказалось, что есть разница между возможностью корректного применения метода и строгого определения условий, при которых он будет работать. Это послужило причиной возникновения парадоксов, из-за которых некоторые предлагали даже отказаться от метода неделимо малых.

Римский колледж отверг неделимо малые и запретил преподавание этого метода в иезуитском колледжах в 1649 году.  Церкви не удалось заставить молчать Бруно даже приговорив его к смерти, заставить молчать Галилея, посадив его под домашний арест, и такой же бессильной оказалась она  в остановке прогресса дифференциального и интегрального исчисления, запрещая преподавание бесконечно малых. Скорее напротив, Церковь лишь побудила математиков к большей точности перед лицом критики.

Символ , который мы используем сегодня для обозначения бесконечности, был впервые введен Джоном Валлисом, который использовал его в "Трактате о конических сечениях" в 1655 году и в Арифметика бесконечного в 1656. Он выбрал его, чтобы отразить тот факт, что такую кривую можно пройти бесконечное число раз.

Тремя годами позже Ферма обнаружил важное свойство положительных целых чисел, а именно, что они не содержат бесконечно убывающую последовательность.  Он показал это путем введения метода бесконечного спуска в 1659 году: 

…В этих случаях обычные методы, предложенные в книгах оказались недостаточными, чтобы доказать столь сложные утверждения, и мне, наконец, удалось найти единственно верный способ для решения этой проблемы. Я назвал этот метод доказательства методом бесконечного спуска…

Метод основывается на доказательстве того факта, что если утверждение верно для некоторого положительного целого n, то оно верно и для некоторого меньшего положительного числа.

А поскольку не существует бесконечно убывающей последовательности для положительных целых чисел, такое доказательство приводит к противоречию. Используя этот метод, Ферма доказал, что уравнение  не имеет целых положительных решений.

Ньютон предпочитал неделимо малым свои «флюксии», которые служили ему мерой мгновенного изменения величины. Конечно, бесконечность, таким образом, не избегалась, поскольку приходилось рассматривать бесконечно малые приращения. Это был, по сути, ответ Ньютона на задачу  Зенона о стреле:

«Если, - говорит Зенон, - в каждый момент времени стрела летящая ничем не отличается от такой же стрелы, если б та покоилась, значит, движения нет.»

Ньютоновские флюксии приводят к замечательным математическим результатам, но многих беспокоило использование бесконечно малых изменений. Знаменитая фраза Джорджа Беркли кратко суммирует эти возражения: - «Что такое эти флюксии? Скорости бесконечно малых изменений. А что такое эти бесконечно малые изменения? Они и не конечные величины, не бесконечно малые величины, не еще что-либо. Нельзя ли их назвать призраками ушедших величин?»

Ньютон полагал, что пространство, на самом деле, бесконечно, а не просто неопределенно велико. Он утверждал, что такую бесконечность можно понять, особенно из геометрических соображений, но осознать ее невозможно. Это интересно, так как мы увидим, что многие возражали против актуальной бесконечности, обосновывая это невозможностью ее представить.

Вопрос о бесконечной делимости продолжал волновать людей.  Философ Дэвид  Юм  в “Трактате о человеческой природе” (1739) утверждал, что существует минимальный постижимый размер :

Капните чернилами на бумагу, зафиксируйте свой взгляд на пятне и отойдите на такое расстояние, чтобы потерять пятно из виду; ясно, что в момент, когда пятно исчезает, его образ или ощущение неделимы.

Иммануил Кант в «Критике чистого разума» (1781) утверждал, что действительная бесконечность не может существовать, потому что она не может быть постигнута:

«… Чтобы целиком постичь мир, который занимает все пространство, как целое, нужно завершить последовательный синтез всех частей этого бесконечного мира; т.е.  бесконечное время окажется прошедшим в процессе  перечисления всех существующих вещей».

Это рассуждение приводит  к вопросу, задаваемому многими философами: существовал бы мир, если бы не было разума, способного постичь его существование? Кант отвечает «нет»; так мы возвращаемся к вопросу, возникшему в начале статьи, а именно, что совокупность целых чисел не бесконечна, так как мы никогда не сможем перечислить больше, чем конечное количество чисел.

Практически не было прогресса в вопросе о действительной бесконечности. Продолжали появляться одни и те же аргументы без какого-либо явного прогресса в сторону лучшего понимания вопроса.  Гаусс в своем письме к Шумахеру в 1831 году оспаривает существование актуальной бесконечности:

«Я возражаю против использования бесконечных величин как чего-то завершенного, это не допустимо в математике. Бесконечность – это всего лишь речевой оборот, реальное значение которого -  предел, к которому неограниченно приближаются определенные отношения, в то время как другим позволено бесконечно увеличиваться».

Наверно, одним из наиболее значительных событий в развитии концепции бесконечности можно считать ” Парадоксы бесконечного” Бернардо Больцано, опубликованный в 1840 году. Он утверждает, что бесконечность существует, и для доказательства привлекает идею множества,  впервые определенного им:

«Я называю множеством такую совокупность, где порядок ее элементов не имеет значения, и где ничто существенно не изменяется при изменении этого порядка».

Почему из определения множества следует существование актуальной бесконечности? Ответ прост.  Если думать о целых числах как о множестве, то должна существовать некая сущность, являющийся актуальной бесконечностью. Аристотель рассматривал целые числа с той точки зрения, что среди них можно найти конечные подмножества произвольной величины. Но если воспользоваться концепцией множества, то они становятся подмножествами множества целых чисел, которое должно быть актуально бесконечным. Может показаться удивительным, но Больцано не воспользовался этим примером бесконечного множества, а вместо этого рассматривает класс всех верных утверждений:

«Легко видеть, что класс всех верных утверждений бесконечен. Так, если мы произвольным образом выберем некоторое верное утверждение и назовем его А, мы обнаружим, что утверждение, состоящее из слов «А верно» отлично от самого утверждения А…»

На этом этапе математическое изучение бесконечности переходит в теорию множеств, и мы отсылаем читателя к статье «Начала теории множеств» в поисках большей информации о научном вкладе Больцано и о  трактовке бесконечности Кантом, который построил теорию о бесконечностях разных размеров с помощью определения ординальных и кардинальных чисел.

Проблема бесконечно малых получила строгое  математическое обоснование в знаменитом тексте Робинсона о нестандартном анализе в 1966 году. Крайзель писал:

  Эта книга, появившаяся лишь спустя 250 лет после смерти Лейбница, представляет строгую и действенную теорию бесконечно малых, котоые подчиняется, как того и хотел Лейбниц, тем же законам, что и обычные числа.

Фенстад в книге [17], рассматривает бесконечность и нестандартный анализ. Он так же изучает его применение к моделированию  природных явлений.

 

 

*****

Источник

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Infinity.html