Дж. Дональд Аллен

Вавилонская математика

 

G. Donald Allen

Lectures on the History of Mathematics

Babylonian Mathematics

 

Перевод: Воронина А.Н.

 

1. Введение

 

Наши первые знания об использовании человечеством математики восходят к египтянам и вавилонянам. Обе цивилизации развивали математику, одинаковую по охвату, подходы их, однако, различались в деталях. Нельзя отрицать тот факт, что вся их математика была сугубо элементарной[1], но поздняя астрономия в действительности достигала уровня, сопоставимого с греческим.

 

 

 

 

2. Основные сведения

 

Вавилонская цивилизация ведет свои корни от 4000 г. до н.э., от шумеров из Месопотамии. Известно о них, однако, не много. Шумер был впервые основан между 4500 и 4000 гг. до н.э. несемитским народом, который не говорил на шумерском языке. Эти люди теперь называются убейдиане в честь деревни Аль-Убейд, где были впервые обнаружены их останки. Об их математике известно еще меньше. Из того малого, что известно, шумеры Месопотамской долины строили дома и храмы и украшали их художественной керамикой и мозаиками в геометрических узорах. Убейдиане были первой цивилизирующей силой в регионе. Они осушали болота для сельского хозяйства, развивали торговлю и основали такие отрасли промышленности, как ткачество, обработку кож, обработку металлов, строительство с помощью каменной кладки и изготовление глиняной посуды. Народ, называвшийся шумерами, чей язык преобладал на  этой территории, вероятно, происходил из местности неподалеку от Анатолии и, вероятно, появился в Шумере около 3300 г. до н.э. Краткую хронологическую справку по Месопотамии можно посмотреть на сайте http://www.gatewaystobabylon.com/introduction/briefchonology.htm. Более подробную информацию можно найти на сайте http://www.wsu.edu:8080/.dee/MESO/TIMELINE.HTM.

Ранние шумеры имели знаки для чисел, как показано ниже. Вследствие дефицита ресурсов, шумеры использовали глину, которой было очень много. Их письмо подразумевало использование стилоса для вырезания на мягкой глиняной табличке. Это предшествовало

 

 

клинописи, которую шумеры развивали в течение четвертого тысячелетия. Она, вероятно, предшествует египетскому иероглифическому письму и, возможно, была самой ранней формой письменной коммуникации. Вавилоняне и другие культуры, включая ассирийцев и хеттов, унаследовали шумерские законы и литературу и, что важно, их стиль письма. Здесь мы сосредотачиваемся на более позднем периоде месопотамской цивилизации, который поглотил шумерскую цивилизацию. Месопотамские цивилизации часто называются вавилонянскими, хотя это и не совсем правильно. На самом деле, Вавилон[2] не был первым большим городом, хотя вавилонской называется вся цивилизация. Вавилон, даже во времена своего существования, не всегда был центром месопотамской культуры. Этот регион, по крайней мере, та его часть, которая находится между двумя реками, Тигром и Евфратом, также называется Халдеей.

Время существования Месопотамской цивилизации начинается с 2000-600 гг. до н. э. Несколько ранее мы видим объединение местных принципатов сильными лидерами – что-то похожее происходило и в Китае. Одним из самых сильных был Саргон Великий (приблизительно 2276-2221 гг. до н.э). Под его правлением регион был объединен в империю, названную династией Аккада, а аккадский язык начал замещать шумерский. Примерно в это время были проведены обширные общественные работы, такие как строительство оросительных каналов и укреплений в виде насыпей. Они были необходимы вследствие географического положения и необходимости кормить большое население. Для процветающей цивилизации такие сооружения были необходимы, так как Тигр и Евфрат разливались при сильных дождях, а глинистая почва могла поглотить не слишком много влаги.

Позже, приблизительно в 2218 г. до н.э., племена с восточных холмов, гуциане, свергли правителей-аккадов, что дало начало 3-й династии Ура. Они управляли большей частью Месопотамии. Однако эта династия вскоре погибла под напором эламитов с севера, которые в конечном счете и разрушили город Ур приблизительно в 2000 г. до н.э. Эти племена стали управлять всеми древними городами и смешались с местными жителями. Ни один город не мог получить полного контроля над регионом, пока Хаммурапи Вавилонский (правил приблизительно в 1792-1750 гг. до н.э.) не объединил страну на несколько до конца своего правления.

Вавилонские «тексты» доходят до нас в виде глиняных табличек, обычно примерно размера ладони. Они написаны клинописью, клинообразным алфавитом, имевшим такую форму благодаря стилосу, который использовался для письма. Обычно находят два типа математических табличек: тексты-таблицы и тексты-задачи. Тексты-таблицы собственно являются таблицами величин для каких-то целей, например, таблицы умножения, таблицы весов и мер, таблицы обратных величин и подобные им. Многие из текстов-таблиц, очевидно, являются учебными табличками, написанными писцами-учениками. Второй класс табличек посвящен решениям или методам решения алгебраических или геометрических задач. Некоторые таблички содержат до двухсот задач постепенно увеличивающейся сложности. Без сомнения, роль преподавателя была весьма значительной.

Вавилон сдался Киру Персидскому в 538 г. до н.э, но город был сохранен.

 

 

Надпись Дария на скале неподалеку от Бизотуна

 

 

 

Время великой империи подошло к концу. Однако приблизительно в 300 г. до н.э. начался новый период вавилонской математической истории, когда к власти пришли Селевкиды, преемники Александра Великого. Этот 300-летнтй период принес большое количество астрономических записей, которые являются примечательно математическими – сопоставимыми с Альмагестом Птолемея. Однако математические тексты редки для этого периода. Это указывает на актуальность и долговечность математических текстов старовавилонского периода (приблизительно с 1800 до 1600 до н.э.), и мы сосредоточим свое внимание именно на этом периоде.

Использование клинописи сформировало крепкие связи. Законы, налоговые счета, истории, школьные уроки, личные письма выдавливались на мягких глиняных табличках и затем высушивались на горячем солнце или в духовках. В одном регионе, где располагался древний Ниппур, были восстановлены около 50 000 табличек. Многие университетские библиотеки имеют обширные коллекции клинописных табличек. Самые большие собрания из Ниппурских раскопок могут быть найдены, например, в Филадельфии, Йене и Стамбуле. Всего до сих пор было восстановлено как минимум 500 000 табличек. И даже несмотря на это, считается, что большая часть существующих табличек все еще погребена под руинами древних городов.

Расшифровка клинописи проходила аналогично тому, как это происходило с египетским иероглифическим письмом. Действительно, так же, как и в случае иероглифов, ключом к расшифровке стала трёхъязычная надпись, найденная членом Британского офиса, Генри Роулинсоном (1810-1895), бывшим советником Шаха. В 516 г. до н.э. Дарий Великий, правивший в 522-486 гг. до н.э., повелел выгравировать долговечный монумент[3] в честь своего правления в виде барельефа на 100х150-футовой поверхности на каменном утесе, «Горе Богов» в Бехистуне[4] у подножия  Загроса в области Керманшаха современного Ирана по дороге между современным Хамаданом (Иран) и Багдадом, около города Бизотун. В старину название деревни было Багастана, что означает «место, где живут боги».

Как и Розеттский камень, надпись была сделана на трех языках: старом персидском, эламитском и аккадском (вавилонском). Однако все три языка были тогда неизвестны. Расшифровка стала возможна только потому, что старый персидский язык имеет всего 43 символа и серьезно изучался с начала девятнадцатого века. Продвижение было очень медленным. Роулинсон смог правильно расшифровать 246 символов и, более того, он обнаружил, что один и тот же символ может означать различные согласные звуки в зависимости от гласного, который за ним следовал (полифония). Значительные публикации на эту тему появились только в 20-ом веке. Роулинсон опубликовал завершенный перевод и грамматику в 1846-1851 гг. Он был посвящен в рыцари и служил в парламенте (1858 г., 1865-68 гг.).

Дальнейшую информацию по этой надписи можно найти в статье Джона Лендеринга по адресу http://www.livius.org/be-bm/behistun/behistun01.html.

 

3. Вавилонские числа

В математике вавилоняне (шумеры) продвинулись немного далее, нежели египтяне.

Их математическая  система была позиционной, но шестидесятеричной

Они не использовали нуль

Допускались более общие, хотя и не все, дроби

Они умели извлекать квадратные корни

Они умели решать линейные системы

Они умели работать с пифагоровыми тройками

Они решали кубические уравнения с помощью таблиц

Они изучали измерения, связанные с окружностями

Их геометрия была не всегда правильной

Для счета вавилоняне использовали символы такие же, как и в более раннем периоде, для 1, 10, 60, 600, 3 600,  36 000, и 216 000. Ниже приведены четыре из них. Их арифметика имела основание 60, то есть была шестидесятеричной.

 

 

Шестидесятеричные цифры

 

В наших целях мы будем использовать только первые два символа

Все числа будут составляться из этих цифр.

Пример:

Заметьте, что записи чисел были позиционными и шестидесятеричными:

 

 

Метод, однако, немного сложнее. Допускались некоторые сокращения, или аббревиатуры, многие из которых использовались еще во времена Селевкидов. Использовались и другие способы для представления чисел. Ниже показано, как представлялось число 19.

 

3 способа для представления числа 19

Старый вавилонский. Символ  обозначает вычитание.

Формальный

Курсивная форма. Период Селевкидов (приблизительно с 320 г. до н.э. до 620 г. н. э.)

 

Горизонтальный символ над «1» обозначает вычитание.

Нет ясной причины, почему вавилоняне выбрали шестидесятеричную систему[5]. Согласно Феону Александрийскому, комментатору четвертого века нашей эры, выбор, возможно, был сделан в интересах метрологии: число 60 делится на числа 2,3,5,10,12,15,20, и 30. «Наследство» этой системы все еще существует сегодня в единицах измерении времени и углов. Тем не менее, был предложен целый ряд теории для объяснения выбора вавилонянами основы 60. Например[6],

Число дней в году – 360 – было причиной разделения круга на 360  градусов, а то, что длина хорды, составляющей одну шестую длину окружности, равна радиусу, было причиной естественному разделению круга на шесть равных частей. Это, в свою очередь, сделало 60 естественной единицей счета (Мориц Кантор, 1880).

Вавилоняне делили день на 12 часов, а час – на 60 минут. Таким образом, две наши минуты равны одной минуте вавилонян (Леман-Хопт, 1889). Более того, (месопотамский) Зодиак был разделен на двенадцать равных секторов по 30 градусов каждый.

Основа 60 обеспечила удобный способ выражения дробей из различных систем, которые могут быть необходимы для преобразования весов и мер. В египетской системе были значения 1/1, 1/2, 2/3, 1, 2..., 10. Объединяя их, мы видим, что для знаменателей этих дробей необходим множитель 6. Он, вместе с основой 10, дает 60 как основу для новой системы (Нейбауэр, 1927).

Число 60 есть произведение числа планет (в то время было известно 5 планет) на число месяцев в году, 12 (Д. Дж. Бурстин, 1986).

Комбинация двенадцатеричной системы (с основой 12) и системы с основой 10 естественным образом приводит к системе с основой 60. Более того, мы используем «наследство» двенадцатеричной системы и сегодня, когда считаем некоторые предметы потребления, например яйца, дюжинами. В английской системе мер жидкостей встречаются многочисленные примеры двенадцатеричных величин. Как видно из таблицы ниже, градации с основой 12 (основой 3 или 6?) и основой 2 смешаны. Аналогичные величины существуют и в древних римской, шумерской и ассирийской системе измерений.

 

 

 

Заметьте, что в первой колонке таблицы жидких/сухих мер отсутствует важная кулинарная мера – 1/4 чашки, которая равна 12 чайным ложкам.

Все объяснения, приводимые выше, имеют ту общую черту, что пытаются представить правдоподобные аргументы, основанные на каком-либо специфическом аспекте их общества. Видя, как развиваются различные системы сегодня, мы неизбежно приходим к догадке, что здесь может работать чья-то сильная воля. Создание или навязывание системы счисления и применение ее во всей цивилизации должно было быть деянием политической системы огромной мощи и централизованности (Стоит только вспомнить неудачную попытку Америки перейти на метрическую систему начиная с 1971. См. http://lamar.colostate.edu/ hillger/dates.htm). Решение об адаптации основы системы счисления должно было быть принято правителем по причинам более серьезным, чем советы купцов или генералов, по какой-либо насущной необходимости. Или, возможно, в связи с консолидацией власти в Шумерии, где могли конкурировать несколько систем счисления. Возможно, основа 60 была выбрана как компромиссный вариант.

Из-за большой основы умножение выполнялось при помощи таблиц. Однако таблиц с таким охватом – до 60 – нет. Вместо этого, есть таблицы до 20 и далее для выборочных величин больше 20 (то есть для 30, 40, и 50). Желающий произвести умножение на большое число должен был разложить его в сумму меньших величин и воспользоваться дистрибутивностью умножения.

Позиционная ошибка

Нет указателя «пробела».

Здесь действительно плавающая точка: ее положение нельзя понять никаким другим образом, кроме как из контекста.

 

♦ Проблема «пробела» была преодолена в период Селевкидов с изобретением «нуля» как пробела-разделителя.

Мы используем обозначение:

Все величины  – целые.

Пример:

 

Это число было найдено на Старой Вавилонской Табличке (Йельское Собрание, #7289) и является очень точным приближением числа . Далее мы вкратце продолжим обсуждение, начатое здесь, и обсудим предположения, как могла быть получена такая точность оценки.

 

 

Точное значение , до восьмого знака,  = 1.41421356.

 

 

Дроби. В целом, единственными допустимыми были дроби вида:

 

 

потому что были известны шестидесятеричные выражения. Например,

Нерегулярные дроби, такие как  ,  и т.д обычно не использовались. Есть некоторые таблички с замечаниями «7 не делит» или «11 не делит» и т.д.

 

Была найдена таблица со всеми множителями, дающими произведение 60:

Можно видеть, например, что

Заметьте, что мы не использовали здесь отделитель дробной части «;». Это сделано потому, что эта таблица также использовалась для получения обратных величин. Так, например,

Решающую роль играла интерпретация по контексту.

Замечание. Соответствующая таблица для нашей десятичной системы приведена ниже. В ней включены также колонки с 1 и основой 10. Отношение произведения и отношения разложения на десятичные дроби справедливы и в основе 10.

 

В 1854 г. в Сенкерахе на Евфрате были найдены две таблички, датируемые  2000 г. до н.э. В них даются квадраты чисел до 59 и кубы числе до 32. Вавилоняне использовали формулу

для упрощения умножения. Деление основывалось на умножения, а именно:

 

Вероятно, вавилоняне не использовали деление на бумаге «в столбик».

 

 

Вавилоняне знали некоторые приближения нерегулярных дробей:

Однако они, видимо, не заметили, что эти дроби имеют бесконечные периодические продолжения[7].

Вероятно, они также имели элементарное преставление о логарифмах. Точнее говоря, известны тексты, где рассматривается вопрос нахождения экспоненты для заданных чисел.

 

 

4. Вавилонская алгебра

 

В греческой математике существует четкая граница между алгеброй и геометрией. Везде, где это возможно, греки использовали геометрический подход. Только в более поздних работах Диофанта большое значение придается алгебраическим методам. С другой стороны, вавилоняне столь же определенно придерживались «алгебраической» точки зрения. Они допускали операции, которые были запрещены в греческой математике и даже позднее, вплоть до 16-ого века уже нашей эры. Например, они свободно могли умножать площади и длины, что показывает, что единицы измерения не имели такого большого значения. С другой стороны их методы обозначения неизвестных подразумевали использование единиц измерения.

Во-первых, математические выражения были сугубо риторическими; до прихода символизма в работах Диофанта было еще два тысячелетия, а после него символизм приобрел важное значение лишь в 16-ом веке в работах Виета. Например, обозначением неизвестного была длина. Обозначением квадрата неизвестного была площадь. При решении двумерных линейных систем неизвестные обозначались длина и ширина, а при решении трехмерных систем – длина, ширина и глубина.

 

Квадратные корни. Вспомните приближение для . Как они его получили? Есть две возможности: (1) Применение метода среднего. (2) Применение приближения

 

 

Йельская Вавилонская коллекция

 

Квадрат со стороной 30

 

Произведение 30 на 1; 24,51,10 – в точности 42; 25,35.

 

Метод среднего. Метод среднего легко использовать для нахождения квадратного корня любого числа. Идея проста: для нахождения квадратного корня 2, выбирается, скажем, x для первого приближения, для второго – 2/x. Очевидно, произведение этих двух приближений равно 2 и, более того, одно из них меньше, а другое больше 2. Возьмите арифметическое среднее – и получите значение, более близкое к . Формально говоря, мы имеем следующий алгоритм:

1. Возьмем  как начальное приближение.

2. Идея: Если  , то .

3. Поэтому возьмем

4. Повторим процесс.

Пример. Возьмем . Тогда мы имеем

 

Если теперь выполнить этот процесс в шестидесятеричной системе, начиная с , используя вавилонскую арифметику без округлений, то получится значение 1; 24,51,10.

Замечание:  обычно использовалось как краткое, грубое, зато готовое приближение. При использовании шестидесятеричной системы счисления одним символом можно записать достаточно много информации.

 

Решение квадратных уравнений. Вавилонский метод решения квадратных уравнений был основан, в первую очередь, на дополнении до полного квадрата. Метод(ы) не так «чисты» как современная квадратичная формула, потому что вавилоняне допускали только положительные решения. Поэтому уравнения всегда писались в такой форме, для которой было положительное решение. Отрицательные решения (на самом деле, отрицательные числа), не допускались вплоть 16-ого века нашей эры.

Для риторического метода записи задачи не нужны переменные, так как такие задачи имеют достаточно «интуитивную» природу. Любой мог бы понять смысл задачи, но, без должных инструментов, решение было бы невозможно трудным. Вне сомнения, этот подход придавал математикам ауру мистики. Рассмотрим следующий пример:

Я добавил дважды сторону к квадрату; результат - 2,51,60.

Какова сторона?

В современных терминах, мы имеем простое квадратное уравнение . Для его решения ученик воспользовался бы «шаблоном» для квадратных уравнений. Этот шаблон был решением специальной задачи правильного математического вида, записанной риторически. Вот типичный пример, записанный с помощью современных переменных. Задача. Решите .

Решение. Пусть  

Тогда мы имеем систему

 

 

 

 

Это дает

Все три формы уравнения

решаются одинаково. Третье решается приравниванием его к нелинейной системе . Ученик должен был рассмотреть задачу, определить, какую форму уравнения можно было применить, и решить задачу предписанным методом. Чего мы не знаем, так это объяснялись ли ученику принципы решения, в данном случае метод дополнения до полного квадрата. Или, возможно, обучение математике было сугубо статичным, а методы решения объяснялись для каждой отдельной задачи, с которой можно было столкнуться на практике.

Поразительно, что этим методам уже 4 000 лет!

 

Решение кубических уравнений. Вавилоняне даже умели решать кубические уравнения, хотя, опять же, только те, которые имеют положительные решения. Однако форма уравнения была строго ограничена. Например, уравнения вида  решалось с помощью таблиц и интерполирования. Смешанные кубические уравнения вида

также решались с помощью таблиц и интерполирования. Кубическое уравнение в общем виде

можно свести к нормальной форме

Чтобы сделать это, надо решить квадратное уравнение, что вавилоняне делать умели. Но знали ли вавилоняне об этом преобразовании?

Вавилоняне должны были иметь экстраординарные навыки манипуляций с числами, также им были свойственны зрелость и гибкость алгебраических навыков.

 

Решение линейных систем. Для решения линейных систем применялся поразительно искусный метод, при котором задача с двумя переменными сводилась к задаче с одной с помощью процесса «устранения», немного  напоминающего гауссово устранение. Задача: решите

Решение. Выберем   такие, что

Таким образом, . Теперь применим модель

Мы получим

Таким образом,  и, следовательно,

 

 

5. Пифагоровы тройки

 

Как считается, есть твердые основания полагать, что древние китайцы знали о теореме Пифагора, хотя, возможно, они не имели ни малейшего представления о ее доказательстве. Вавилоняне также знали о ней. На самом деле, в данном случае уверенность даже гораздо больше, так как была найдена целая табличка с пифагоровыми тройками. Рассказ о событиях, с ними связанных, читается как современная детективная история, в которой сыщиком является археолог Отто Нейбауер. Мы начинаем приблизительно в 1945  г. с таблички Плимптон 322, которая сейчас является частью Вавилонского собрания в Йельском Университете и датируется приблизительно 1700 г. до н.э. Видимо, у нее отломилась левая часть. Действительно, наличия клея на сломанном краю указывает, что она была сломана после раскопок. Содержание таблички – это 15 рядов чисел, пронумерованные от 1 до 15. Ниже мы перечисляем некоторые из них в десятичной форме. Первая колонка численно убывает. Заслуга расшифровки их значения принадлежит, главным образом, Отто Нейбауэру, это было сделано приблизительно в 1945 г.

 

 

Табличка Плимптон 322

Йельская Вавилонская коллекция

 

Интерпретация таблички Плимптон 322. Чтобы увидеть, что это означает, нам нужна модель прямоугольного треугольника. Напишем пифагоровы тройки, считая, что колонка  была отделена от таблички. Отметьте, что они перечислены в порядке уменьшения косеканса.

 

 

Прямоугольный треугольник

Любопытно, что табличка содержит несколько ошибок, очевидно, являющихся ошибками перевода, сделанного столько веков назад. Как вавилонские математики вычисляли эти тройки? Почему они перечислены именно в этом порядке? Предположим, что они знали пифагорейское соотношение . Разделим его на  и получим

Выберем  и найдем  в таблице обратных величин.

Пример. Возьмем . Тогда . Решим для  и  и получим

Умножим на соответствующее целое число, чтобы избавиться от дробей. Мы получим . Теперь . Это строка 5 из таблицы.

Все изложенное выше заставляет нас думать, что, должно быть, вавилонянам  были известны некие общие принципы, но все, что было обнаружено до сих пор, – это таблицы специальных чисел и решенные задачи.

Бюст Александра Македонского (356-323 гг. до н.э.), найденный в Тасосе

Аристотель (384-322 гг. до н.э.), учитель Александра Македонского

 

 

6. Вавилонская геометрия

 

Измерения, связанные с окружностью. Мы знаем, что для практический вычислений вавилоняне использовали значение . Однако в 1936 г. в Сузах (захваченных Александром Македонским в 331 г. до н.э.), в результате раскопок было найдено множество табличек со значительными математическими результатами. На одной из табличек сравниваются площади и квадраты сторон правильных многоугольников  с количеством сторон от трех до семи. Например, она содержит следующее приближение

Это дает эффективную оценку   (неплохо).

 

Объемы. В табличке приведены 2 формулы для объема усеченной пирамиды

Усеченная пирамида

 

Вторая формула правильная, а первая – нет.

 

 

В клинописных текстах встречается много геометрических задач. Например, вавилоняне знали, что

Высота равнобедренного треугольника делит основание пополам.

Угол, вписанный в полуокружность, является прямым (Фалес).

 

 

7. Краткое резюме

 

То, что вавилонская математика кажется куда более продвинутой, нежели египетская, может быть связано с большим количеством доступных документов. Поэтому, даже учитывая, что мы видим развитие вавилонской математики более общим и несколько более широким по охвату, между ними остается много общего. Например, задачи содержат только отдельные случаи. Видимо, общих формулировок не было. Очевидно, решению алгебраических задач вредило неумение правильно их формулировать и записывать.

Вавилонской математике свойственно отсутствие четкого разделения между точными и приближенными решениями.

Геометрические рассуждения играли в вавилонской алгебре вторичную роль, даже в тех случаях, когда использовалась геометрическая терминология. Площади и длины свободно складывались, иногда таким образом, который не допускался в греческой математике. В целом, роль геометрии была незначительной по сравнению с алгебраическими и числовыми методами. Отсутствовал вопрос о разрешимости или неразрешимости той или иной задачи. Понятие «доказательство» было неточным и неоднозначным. В целом, в математике не было абстракции. Суммируя все вышесказанное, вавилонская математика, как и египетская, была преимущественно утилитарной – но, очевидно, более развитой, нежели последняя.

 

------

Оригинал находится здесь:

http://www.math.tamu.edu/~dallen/masters/egypt_babylon/babylon.pdf