Третий подход к истории математики в Китае

Цюй Аньцзин

 

The Third Approach to the History of Mathematics in China

Anjing Qu

Перевод: Агапов Андрей

 

 

 

 

Аннотация.

 

Первый подход к истории математики в Китае, заложенный Ли Янем (1892-1963) и Цянь Баокуном (1892-1974) характеризовался изучением того, какая математика возникла в прошлом Китая. Начиная с 1970 года, У Вэньцунь и другие сместили парадигму исследования к выяснению того, как возникала математика в Древнем Китае. Однако оба подхода сконцентрировались на одном и том же вопросе, а именно, математике в истории. Лейтмотивом  третьего подхода могла бы стать проблема, почему возникла математика. Путем комбинации этого подхода с двумя предыдущими,  исследовательскую парадигму удастся сместить от изучения математики в истории к парадигме истории математики.

 

2000. Математическая классификация темы: 01A25.

Ключевые слова и фразы: китайская математика, исследовательская парадигма, интерполяция, численные методы, научная традиция.

 

 

1.      Введение.

 

С начала прошлого века тысячи ученых посвящали свои усилия вопросу истории математики в Китае. Их исследования не только пролили свет на различные особенности традиционной китайской математики, но также привели к лучшему пониманию разнообразия математических наук.

            Однако в процессе  этих исследований возникли проблемы. Так, некоторые математики выражали сожаления, что китайские историки ограничивались только изучением Древнего Китая. По мнению других ученых, новые подходы в истории традиционной китайской математики могли, до некоторой степени, истощиться. Эта область привлекает все меньше и меньше молодых исследователей, и даже некоторые опытные историки математики подчас затрудняются с поиском свежих, интересных тем для исследований.

            Подобная атмосфера уже возникла однажды, в 1970-х, когда многие китайские историки высказывали разочарование по поводу перспектив. Однако неожиданно, вскоре после того, как многие ученые забросили поиск новых тем, благодаря исследованиям У Вэньцуня, появилась свежая струя, вызывавшая интерес до последнего времени.

            Цель этой статьи двояка. В начале мы выделим исследовательские парадигмы, выдвинутые китайскими историками математики; затем мы обсудим новые методы в изучении истории математики в Китае.

 

2.      Открытие – первый подход.

 

         Вопрос, какая математическая наука существовала в Древнем Китае (и существовала ли), впервые был поднят учеными в начале 20-го века и стал побуждающим мотивом  для тех последователей, которые обратили свое внимание к истории «пред-современной» китайской математики. В этом вопросе Ли Янь (1892-1963) и Цянь Баокун (1892-1974), основатели истории математики в Китае, заслужили право быть упомянутыми как яркие представители волны исследователей, изучавших, какой математикой занимались в Древнем Китае. Можно привести два примера, в той или иной степени относящиеся к их исследованиям, которые иллюстрируют смысл слова «открытие» в работах по истории математики в Китае.

 

2.1.           Интерполяция.

 

В "Да янь ли" (календарная система, созданная в 724 г. н.э.) функция Исина f(x), предназначенная для выведения уравнения центра солнца, вычислена как

где 0≤x<n₁. При этом тропический год разбит на 24 части (ки), а n₁ и n₂ – продолжительности в днях двух последовательных ки. Через Δ₁ и  Δ₂ обозначены  отклонения на интервалах  n₁ и n₂ соответственно среднего солнечного движения от реального, выраженные в ду (1 ду = 360⁰/365.25) . Положим

 

 

При  n=n₁=n₂ это соотношение превращается в  Для этого частного случая формула (1) была выведена Лю Жо в «Хуангжди ли» (календарная система 600 г. н.э.).

            Ябуути Киёси (1906-2000) был первым, кто отметил, что формула Лю Жо  -это квадратичная интерполяция для случая равных интервалов, а формула Исина – для неравных. При этом обе формулы равносильны гауссовской интерполяции [1].

            Десятилетием позже Ли Янь, проведя более подробное изучение этого вопроса, показал, что квадратичная интерполяция Лю Жо занимала важнейшее место среди численных методов, применяемых в древнекитайской математической астрономии.

            Предположим, что значения функции f(x) заданы в каждой из n+1 различной действительной точки x_k  :  f_k(k=0,…n). Метод нахождения f(x) в точке x по значениям f_k=f(x_k) называется интерполяцией. Формулы интерполяции могут быть определены по-разному, например, формулами Лагранжа, Айткена, Ньютона, Стирлинга, Бесселя и Эверетта, в зависимости от метода построения. Если точки интерполяции выбираются одними и теми же, интерполяционные функции можно преобразовать одна в другую, вне зависимости от того, по какому методу интерполяции они были построены. Что касается формулы (1), то легко проверить, что

 

Ясно, что x=0, n₁ и n₁+n₂ – это три точки интерполяции функции f(x). Этот результат доказывает, что формула (1) определяет функцию квадратичной интерполяции.

            Ябуути утверждал, что формула (1) эквивалентна гауссовской интерполяции, тогда  как Ли Янь утверждал, что она эквивалентна  ньютоновской. На самом деле, она и не гауссовская, и не ньютоновская.

            Но в чем действительно заключается заслуга Ябуути и Ли Яня, так это в  обнаружении того факта, что формула (1) является формулой квадратичной интерполяции. Вместе с тем, вопрос о типе интерполяции, примененном китайскими математиками для построения формулы (1), был оставлен открытым.

 

 

 

2.2.           Удаленные измерения.

 

В своем труде "Хайдао суаньцзин" («Канон вычислений морского острова», 263 г. н.э.) Лю Хуи сформулировал девять задач, связанных с проблемами удаленных измерений. Первая из них посвящена тому, как измерить высоту острова над уровнем моря с помощью двух гномонов.

Обозначим через HI (см. рис.1) высоту над уровнем моря. Пусть AB и CD – два гномона равной высоты, AE и CF – длины теней AB и CD соответственно. Предполагая, что расстояние между гномонами (AC) известно, Ли Хуи вывел следующую формулу для определения высоты острова:

 

 

 

 

Формула (2) является неотъемлемой частью удаленных измерений. Остальные задачи в "Хайдао суаньцзин" являются намного более сложными, чем эта. В некоторых их них необходимо использовать целых четыре гномона. В труде сказано, что некоторые из задач были снабжены чертежами Ли Хуи, но они не сохранились до наших дней.

Рис.1.

 

Задача  о высоте острова также известна как  задача о высоте Солнца на горизонтом. Формула (2) использовалась для определения высоты Солнца в "Чжоуби суаньцзин" («Канон вычислений с гномоном династии Чоу», 1 в. до н.э.). Чертеж для доказательства формулы (2) также был взят из этой книги. К сожалению, текст процессе воспроизведения с ходом веков был непоправимо искажен.

            Чтобы вывести формулу (2) или доказать ее истинность, Цянь Баокун построил дополнительную линию DG параллельно HE на рис.1  [3]. Такое построение не показалось неожиданным историкам математики в то время.

            Однако в 1970-е в этой области исследований возникло новое движение, когда был обнаружен математик, применивший методику, отличную от подхода Киана.

 

3.                 Восстановление: второй подход.

Именно У Вэньцунь перевел изучение истории математики в Китае во вторую фазу, то есть восстановление того, как занимались математикой в Древнем Китае.

У объяснял свой подход,  критикуя  исследования Киана относительно формулы (2).  В связи с тем, что параллельная линия DG на рис.1, проведенная Кианом, необоснованна с позиций традиционной Китайской математики, его доказательство формулы (2), как отмечает У, должно быть оценено как «ошибочное доказательство» с точки зрения истории математики.

У подчеркивал, что доказательство истинности математики древности с помощью современных математических методов вовсе не является единственной целью истории математики и что историки математики должны обращать больше внимания на то, как на самом деле занимались математикой в истории. Он писал:

«Мы подробно рассмотрим два основополагающих принципа таких исследований, а именно:

П1.  Все полученные выводы должны основываться на оригинальных текстах, счастливо сохранившихся до нашего времени.

П2.  Все полученные выводы должны основываться на рассуждениях в стиле наших предков и  использовании только тех знаний, вспомогательных инструментов и методов, которые были доступны в ту эпоху древности.»  [4]

По этой причине, У называл свой подход восстановлением математических процедур в рамках оригинального мышления.

Вернемся к примеру интерполяции, чтобы показать, как восстановить историю математики в Китае. Метод, которым была получена формула (1), послужил проблемой, на которой сконцентрировался подход У.  Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо восстановить историческую обстановку, из которой возникла проблема интерполяции.

Хорошо известно, что формула (1) была выведена для решения проблемы нерегулярности солнечного движения. В «Главе создания календарей» «Истории Династии Тан» эволюция солнечной теории до того времени была так описана буддийским монахом Исином (683-727):

Рис. 2. Модель скорости Солнца в "Хуан жи ли" (600 г. н.э.)

 

Рис. 3. Модель скорости Солнца в "Да янь ли" (724 г. н.э.)

 

Примерно в 560 г. н.э. Чжан Цзысин обнаружил, что скорость Солнца непостоянна. Из отчета Исина мы понимаем, что скорость движения Солнца в понимании Лю Жо (600 г. н.э.) и Исина (724 г. н.э.)  может быть представлена моделями, изображенными на рис. 2 и 3 соответственно, где пунктирная линия v₀ изображает среднюю скорость Солнца.

Интерполяционные функции Лю  и Исина различаются по делению года. Лю разделил тропический год на 24 части равной длины, тогда как Исин разделил эклиптику на 24 части по 15⁰ каждая. Малый интервал был назван средним ки (пинг ки) в делении Лю и вращательным ки (динг ки) в делении Исина. В связи с неравномерностью солнечного движения, деление Исина является неравным по времени. Чтобы определять отклонение реального движения Солнца от среднего движения, Лю Жо и Исин построили интерполяционную формулу (1) для каждого ки.

Период между зимним солнцестоянием (ws на рис. 2-4) и началом весны (bs на рис. 2-4) состоят из 3 ки. Воспользуемся этим периодом в качестве примера, чтобы продемонстрировать, как была построена формула (1) Лю Жо и Исином.

На рис. 4 обозначим OM=n₁, MN=n₂, площадь OBCM = Δ₁, а площадь MEFN= Δ₂. Δ₁ и Δ₂, полученные из наблюдений,  - это отклонения реального движения Солнца от среднего на интервалах OM и MN соответственно. Пунктирная линия OMN обозначает скорость Солнца в среднем, тогда как похожие на ступени отрезки BC, EF и т.д. обозначают средние скорости Солнца на каждом ки в реальности.

Вопрос, которым задавались Лю Жо и Исин, состоит в том, как изменить модель солнечного движения от ступенчатой линии к непрерывной. Δ₁ и Δ₂, полученные из наблюдений для двух последовательных ки, были использованы для построения интерполяционной функции для предыдущих ки так, чтобы наклонные линии как целое были сколь возможно долго непрерывными. Это стало шагом от линейной к параболической интерполяции.

                    Рис. 4. Линейная интерполяция             Рис. 5. Квадратичная интерполяция.

Как изображено на рис. 5, проведем наклонную линию AG, которая проходит через середины отрезков BC и EF и пересекает отрезок CM в D. Тогда AB=DC, DE=FG. Обозначим x=OI, тогда

f(x)=площадь трапеции AOIH

является китайской интерполяционной формулой (1) при 0≤x<n₁.

            Для построения функции f(x) Лю и Исин, прежде всего, предположили, что скорость Солнца меняется на интервале OM как арифметическая прогрессия. Тогда арифметическую прогрессию можно просуммировать и результат суммирования является параболической функцией с аргументом – числом дней от начального момента на интервале OM. Это квадратичная интерполяционная функция f(x). С точки зрения техники построения алгоритмов, интерполяция Исина с неравномерным разбиением ничем не отличается от интерполяции Лю Жо с равномерным разбиением.

Поскольку тропический год был разбит на 24 маленьких интервала (ки) и функция квадратичной интерполяции была построена на каждом интервале, исходя из наблюдаемых данных по всем 24 ки, мы называем набор из 24 функций для тропического года кусочно-параболической интерполяцией.

 

4.                 Математика в истории: анализ первоисточников.

 

На протяжении первой волны исследований по истории китайской математики «открытие» означало выяснение того, какая математика существовала в истории. Ученые делали свои открытия непосредственно на основе исторических первоисточников. Во второй волне исследовательские открытия расширились до восстановления. При этом внимание ученых оказалось приковано к вопросу, как математикой занимались в истории. Труды по восстановлению в истории математики – это работы по разумной реконструкции, основанные обычно на косвенных исторических материалах. Восстановление, таким образом, может рассматриваться как род косвенного открытия.

Парадигма исследований по истории математики в Китае приняла следующую форму: только открытие, прямое или косвенное, рассматривалось как анализ первоисточников. Эта парадигма, став нормой в сообществе китайских историков математики, начала определять модель любого следующего исследования.

Очевидно, что большая часть результатов, полученных при первой волне исследований, превратилась в проблемы, потребовавшие решения во второй волне. Задачи, обнаруженные при первой волне, стали объектом для предположений, тогда как использование вторичных исторических источников для «доказательства» этих предположений стало главным направлением второй волны исследований.

Такова была исследовательская парадигма, которой историки математики в Китае следовали в течение прошлого века. Исследования по истории математики оценивались с точки зрения этой парадигмы. В некотором роде, она подобна парадигме, сложившейся в чистой математике. Только историки математики занимались открытием и восстановлением математики в истории.

Приведенная ниже схема поможет нам прояснить следующие вопросы, которые могут запутать читателей, не искушенных в этой области.

Прежде всего, волна исследований, инициированная У, стали следствием того факта, что исследовательская парадигма сместилась от открытия к восстановлению в 1970-х. Это изменение оказалось настолько важным, что снабдило историков математики множество новых тем для исследований в последней четверти прошлого века.

Во-вторых, как мы уже упоминали ранее, исследования по истории математики предполагали, прежде всего, изучение исторических первоисточников. К несчастью, большинство китайских ученых имели доступ к оригинальным историческим текстам только на китайском языке. Исторические труды по западной математике или современной математике, возможно, представляли интерес для математиков или непрофессиональных читателей и, возможно, широко приветствовались, но ни открытий, ни восстановления по ним не предполагалось. Это означало, что подобные попытки не рассматривались бы как исследование первоисточников. В этом кроется причина, почему большая часть китайской истории математики была ограничена изучением Древнего Китая.

           

    1^я волна

 Какая математика                                                                                     

                                                                                                                    

                                                                                                                      Исследование

                                                                                                         первоисточников

 Задачи                                           2^я волна

 Предположения                           Как математика

 

Рис. 6. Исследования по истории математики в Китае: прошлое и настоящее.

 

5.                 Почему математика – третий подход.

Изучение того, какой математикой занимались в прошлом, всегда является базовым подходом к истории математики. Во времена исследований Ли и Кияна этот подход считался единственным при изучении истории математики в Китае. Восстановление того, как занимались математикой, никогда не воспринималось как самобытный подход до того момента, когда У Вэньцунь нарушил парадигму Ли и Кияна в 70-х годах 20-го века. Это позволило китайским историкам математики преодолеть кризис, и  подобное расширение концепции исследования первоисточников дало множество плодотворных результатов в истории математики Китая. Модель, изображенная на рис. 6, проясняет работу, проделанную китайскими историками математики.

            Вопрос состоит в том, почему мы столкнулись с кризисом снова? Как мы можем выйти из столь сложной ситуации и найти оптимистичные пути развития  нашей науки в Китае? Эти жизненные вопросы, которые я адресую себе, будут рассмотрены в последней части этой статьи.

Причина нового кризиса заключается в том, что концепция исследования первоисточников, то есть открытия и восстановления, ограничила исследования темой математики в истории. В силу того, что количество оригинальных исторических материалов, доступных китайским ученым, ограничено, они, очевидно, рано или поздно будут исчерпаны.

Ответ, позволяющий достичь нашей цели возрождения энергичных исследований в данной области, заключается в том, что концепция работы с первоисточниками в Китае должна расширяться дальше. Соответственно, старая исследовательская парадигма должна быть пересмотрена снова.

Математические идеи являются главным объектом исследований в истории математики. Поэтому история математики, в заметной степени,  является историей математической мысли. Когда мы смотрим на математику в истории с исторического ракурса, мы часто не замечаем важнейшего момента, а именно, почему математика была важна в истории. Как я уже подчеркивал, в прошлом веке в истории математики господствовали два направления, то есть:

Первый подход: какой математикой занимались.

Второй подход: как занимались математикой.

Легко продолжить эти подходы следующим образом:

Третий поход: почему занимались математикой.

 

Как только эти три подхода сольются в единое целое, исследовательская парадигма сместится от математики в истории к истории математики. Анализ первоисточников в истории математики также расширит свои границы.

Действительно, почему математика считалась главной целью истории математики ведущими математиками в течение некоторого времени. Андре Вейл на Международном Математическом Конгрессе (ICM) в 1978 году, например, выступал с пленарной речью о том, «для кого пишется общая история» математики. В конце своего выступления он сказал: «…Таким образом, исходный вопрос «для чего нужна история математики?», в конечном счете, сводится к вопросу «для чего нужна математика?», на который я, к счастью, не считаю возможным ответить» [5]. Сам У Вэньцунь тоже иногда выходил за рамки вопроса, как занимались математикой в Древнем Китае [6].

 

6.         Истоки практической традиции в Древнем Китае.

           

            Часто утверждается, что, по сравнению с греческой математикой, китайская математика отличается практической традицией. При этом многие ученые считают, что эта традиция является роковой слабостью китайской математической науки, помешавшей ей развиться в современную науку. Некоторые историки математики спорят с этим, указывая, что определенные черты греческой теоретической традиции, такие как доказательство или закон, также могут быть выявлены в «Девяти главах арифметики» (1 в. до н.э.) и «Замечаниях» Лю Хуи (263 г. н.э.). Однако, на наш взгляд, многих людей это не убеждает.

Научная традиция представляет собой базовые аспекты научной методологии, духа и стиля. Когда мы говорим о теоретической традиции греческой науки, мы вовсе не утверждаем, что прикладная наука не существовала. Этим  мы всего лишь хотим сказать,  что, по сравнению с теоретической традицией, практическая традиция имела второстепенную значимость для развития греческой науки.

            Для лучшего понимания значения китайской математики с точки зрения истории нам необходимо ответить на вопрос для чего занимались математикой в античных цивилизациях. Поэтому вопрос, почему в Древнем Китае возникла практическая традиция, является основным связующим звеном для этого.

            В огромной истории Китайской империи математическая астрономия была единственным направлением точных наук, привлекавшим заметное внимание правителей. При любой династии императорская обсерватория являлась неотъемлемой частью государства. Для императора трудились три категории специалистов: математики, астрономы и астрологи. Те, кого звали математиками, занимались алгоритмами составления календарей. Именно как будущие составители календарей преобладающее число математиков и  получали образование. Тем самым, кроме общих тем, таких как проблемы неопределенности, численные решения алгебраических уравнений, полиномиальная интерполяция и суммирование рядов, математики были хорошо обучены математической астрономии.

            От создателей календарей требовалось выдерживать высокий уровень точности в прогнозах. В связи с этим, предпринимались бесконечные попытки улучшить численные методы, чтобы гарантировать точность, необходимую для астрономических наблюдений [7]. Было в равной степени ненужно и невозможно, чтобы геометрическая модель заменила численные методы, которые занимали важнейшее положение в китайских календарных системах. Причина заключалась в том, что только численные методы могли удовлетворить требованиям правителей, то есть обеспечить высокую точность в прогнозах и вычислениях. Как следствие, численный анализ одержал победу над построением космических или геометрических моделей.

            Наука в Древнем Китае была ориентирована, в первую очередь, на решение конкретных задач, таких как определение местоположения планет. Функция объяснения никогда не доминировала в научной традиции. О чем действительно заботились китайские ученые, так это о том, как решить возникшую задачу настолько точно, насколько возможно.

            В этом кроется причина выбора практической традиции в Древнем Китае. Из приведенного выше описания, определения практической и теоретической традиций можно вывести так:

            В практической традиции наука служит решению конкретных задач. Теория оценивается по ее вычислительной точности. Научный прогресс идет следом за успехами в наблюдениях. Теоретическая модель улучшается шаг за шагом до достижения необходимой точности.

С другой стороны, в теоретической традиции наука служит объяснению природных явлений. Теория оценивается по ее возможности объяснять. Наблюдения привлекаются с целью проверить верность теоретических гипотез. Старая модель всегда отбрасывается, если новая более пригодна для объяснения природных явлений.

Эти  две модели заметно различаются в своих отправных и конечных точках.

В практической традиции модель строится по наблюдениям для решения конкретных задач.  Для более точного прогнозирования предпринимаются бесконечные попытки исследовать неизвестные факторы; соответственно улучшаются численные методы анализа. Чем более точной является теория, тем ближе модель к истине.

В теоретической традиции, с другой стороны, модель строится на основе гипотез, которые объясняют природные явления. С целью лучшего понимания природных явлений модель время от времени пересматривается на основе новых гипотез. Чем ближе модель к истине, тем точнее теория.

 Отношение в этих двух традициях к алгебраическим уравнениям является типичным примером их различия. В теоретической традиции математики уделяют заметное внимание формуле корней уравнения. Численным решениям уравнения редко придается большая важность. Причина этого кроется в том, что эффективность численного метода  не имеет значения, ведь решение обычно является приблизительным и не помогает объяснить сам объект – уравнение.

И наоборот, формула корней никогда не окажется более важной, чем численное решение, в практической традиции. Это объясняется тем, что даже если кто-то смог получить точный корень из формулы, он должен получить его конкретное значение для применения. Таким образом, математики в практической традиции убеждены, что численного решения достаточно. В Древнем Китае формула корней уравнения не была важна, хотя формула для решения уравнений второй степени была известна.

Считается, что современная наука возникла, в заметной  мере, из наследия древнегреческой науки. Тем не менее, сложно сказать, что теоретическая традиция доминирует в развитии всех аспектов современной науки. На самом деле, практическая традиция тоже играет важную роль.

Очевидно, что численный анализ более часто применяется в современной науке, чем теоретические гипотезы. Задача современных ученых заключается не только в том, чтобы объяснить природные явления, но также в том, чтобы решить конкретные задачи. Результаты исследований, возникающие из поиска решений научных задач можно разделить на два направления: результаты, связанные с нахождением общих теорем, связанных с задачей, и результаты, касающиеся поиска хороших приближений для решения. И объяснение природных явлений, и решение конкретных задач являются целями, которые стоят перед современной наукой. Наблюдения заняли значимую позицию в развитии современной науки.

Обобщая, можно сказать, что наука древних цивилизаций часто характеризовалась определенной традицией, либо теоретической, как в Греции, либо практической, как в Китае. Эти традиции имели склонность развиваться каждая своим путем. Вместе с тем, ситуация в современной науке никогда не была столь же простой. Многоликость современной науки заключается в смеси обеих традиций. Современная наука развивается дуалистично.

 

7.         Выводы

           

            Парадигма истории математики в Китае привела к заострению внимания исследователей на математике в истории, особенно в Древнем Китае. Ясно, что «какая математика» и «как занимались математикой» всегда останутся значимыми подходами для историков математики. Они будут двигаться вперед вместе с ходом истории.

            Однако, так же как подход «какая математика» Ли и Кияна  сменился подходом У «как занимались математикой», став основным направлением исследований по истории математики в Китае в последней четверти прошлого века, так же новый подход, очевидно, сменит старый рано или поздно. Перед историками математики после решения вопросов «какая» и «как» должна встать проблема, зачем занимались математикой.

            В соответствии с темой «зачем занимались математикой», исследования должны сместиться, в некоторой степени, от математики в истории в сторону истории математики. В этом случае, перед нами встает множество новых вопросов. Например, математика в Древнем Китае и других древних цивилизациях окажется помещенной в контекст всеобщей истории математики. Разнообразие математик в разных цивилизациях даст на более четкую картину истории математики

            Благодарности. Автор благодарит проф. Мичио Яно и проф. Венлина Ли за их неоценимые комментарии и предварительный план этой статьи, а также мистера Джона Моффетта за его помощь в редактировании.  Исследование обеспечено Японским Обществом Содействия Науке (JSPS, P00019).

             

 

Ссылки

 

[1] Yabuuti Kiyosi, Zuitˆo rekihˆoshi no kenky? (Research on the History of Calen-

drical Methods in the Sui and Tang Dynasties), Tokyo: Sanseido, 1944, 71–74.

[2] Li Yan, Zhongsuanjia de neichafa yanjiu (Studies on the Methods of Interpo-

lation of Ancient Chinese Mathematicians), Beijing: Kexue chubanshe, 1957.

[3] Qian Baocong (ed.), Suanjing shishu (The Ten Classical Books in Mathemat-

ics), Beijing: Science Press, 1963, 32.

[4] Wu Wen-tsun, Recent Studies of the History of Chinese Mathematics, in Pro-

ceedings of the International Congress of Mathematicians, 1986. Providence:

American Mathematical Society, 1986, 1657.

[5] Andr´e Weil, History of Mathematics: Why and How, in Proceedings of the

International Congress of Mathematicians, Helsinki, 1978. Helsinki: Academia

Scientiarum Fennica, 1980, 236.

[6] Wu Wen-tsun, Mathematics Mechanization, Beijing: Science Press & Dorrecht:

Kluwer Academic Publishers, 2000, 1–66.

 

ICM 2002 - Vol. III - 1-3