И.Лакатос. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы.

Источник

(Пер.с англ. И.Н.Веселовского. М., Наука, 1967)

Введение

В истории мысли часто случается, что при появлении но­вого мощного метода быстро выдвигается на авансцену изучение задач, которые этим методом могут быть реше­ны, в то время как все остальное игнорируется, даже забы­вается, а изучением его пренебрегают.

Именно это как будто произошло в нашем столетии в области философии математики в результате стремитель­ного развития метаматематики.

Предмет метаматематики состоит в такой абстракции математики, когда математические теории заменяются формальными системами, доказательства — некоторыми последовательностями хорошо известных формул, опреде­ления — «сокращенными выражениями», которые «тео­ретически необязательны, но зато типографически удобны»[1].

Такая абстракция была придумана Гильбертом, чтобы получить мощную технику исследования задач методоло­гии математики. Вместе с тем имеются задачи, которые выпадают из рамок метаматематической абстракции. В их числе находятся все задачи, относящиеся к «содержатель­ной» математике и ее развитию, и все задачи, касающиеся ситуационной* логики и решения математических задач.

Школу математической философии, которая стремится отождествить математику с ее метаматематической абстракцией (а философию математики — с метаматемати­кой), я буду называть «формалистской» школой. Одна из самых отчетливых характеристик формалистской позиции находится у Карнапа (1937). Карнап требует, чтобы (а) философия была заменена логикой науки…, но (в) «логи­ка науки представляет не что иное, как логический син­таксис языка науки»…, (с) «метаматематика же является синтаксисом математического языка» (стр. XIII и 9). Итак, философию математики следует заменить метамате­матикой.

Формализм отделяет историю математики от филосо­фии математики, так как согласно формалистскому по­ниманию математики, собственно говоря, истории матема­тики не существует. Любой формалист целиком будет со­гласен с замечанием Рассела, высказанным «романтиче­ски», но сделанным вполне серьезно, что «Законы мысли» Буля (Boole, 1854) были «первой книгой, когда-либо напи­санной по математике». Формализм отрицает статус ма­тематики для большей части того, что обычно понималось как входящее в математику, и ничего не может сказать об ее «развитии». Ни один из «творческих» периодов и вряд ли один из «критических» периодов математических теорий может быть допущен в формалистическое небо, где мате­матические теории пребывают как серафимы, очищенные от всех пятен земной недостоверности. Однако формали­сты обычно оставляют открытым небольшой черный ход для падших ангелов; если для каких-нибудь «смесей мате­матики и чего-то другого» окажется возможным построить формальные системы, «которые в некотором смысле вклю­чают их», то они могут быть тогда допущены. При таких условиях Ньютону пришлось прождать четыре века, пока Пеано, Рассел и Куайн (Quine) помогли ему влезть на небо, формализовав его исчисление бесконечно малых. Дирак оказался более счастливым: Шварц спас его душу еще при его жизни. Может быть, мы должны упомянуть здесь парадоксальное затруднение метаматематика: по форма­листским или даже по дедуктивистским стандартам он не является честным математиком. Дьёдонне говорит об «абсо­лютной необходимости для каждого математика, который заботится об интеллектуальной че­стности (выделение мое.— Авт.), представлять свои рассуждения в аксиоматической форме» (1939, стр. 225).

При современном господстве формализма невольно впадаешь в искушение перефразировать Канта: история математики, лишившись руководства философии, сдела­лась слепой, тогда как философия математики, повернув­шись спиной к наиболее интригующим событиям истории математики, сделалась пустой.

«Формализм» представляет крепость логической пози­тивистской философии. Если следовать логическому пози­тивизму, то утверждение имеет смысл только, если оно является «тавтологическим» или эмпирическим. Так как содержательная математика не является ни «тавтологиче­ской», ни эмпирической, то она должна быть бессмыслен­ной, она — чистый вздор. Догматы логического позити­визма гибельны для истории и философии мате­матики.

Целью этих статей является подход к некоторым про­блемам методологии математики. Я употреб­ляю слово «методология» в смысле, близком к «эвристи­ке» Полья и Бернайса и к «логике открытия» или «ситуа­ционной логике» Поппера. Недавняя экспроприация тер­мина «методология математики» для использования в ка­честве синонима «метаматематики» имеет несомненно формалистский привкус. Это показывает, что в формали­стской философии математики нет настоящего места для методологии как логики открытия. Если верить формалистам, то математика будет тождественна формализован­ной математике. Но что можно открыть в формализо­ванной теории? Два ряда вещей. Во-первых, можно от­крыть решение задач, которые машина Тюринга при подхо­дящей программе может решить за конечное время (как, например, будет ли некоторое предложенное доказатель­ство действительно доказательством или нет?). Ни один математик не заинтересован в том, чтобы следить за этим скучным механическим «методом», предписываемым про­цедурами такого решения. Во-вторых, можно найти ре­шения задач вроде: будет ли теоремой или нет некоторая формула теории, в которой не установлена возможность окончательного решения, где можно руководствоваться только «методом» неуправляемой интуиции и удачи.

Так вот, для живой математики непригодна эта мрач­ная альтернатива машинного рационализма и иррацио­нального отгадывания вслепую. Исследование нефор­мальной математики дает творческим математикам бо­гатую ситуационную логику, которая не будет ни механи­ческой, ни иррациональной, но которая никак не может получить признания, тем более поощрения формалист­ской философии.

История математики и логика математического откры­тия, т. е. филогенез и онтогенез математической мысли, не могут быть развиты без критицизма и окончательного отказа от формализма.

Но формалистская философия математики имеет очень глубокие корни. Она представляет последнее звено в длин­ной цепи догматистских философий математики. Ведь уже более двух тысяч лет идет спор между догматиками и скептиками. Догматики утверждают, что силой нашего человеческого интеллекта и чувств, или только одних чувств, мы можем достичь истины и узнать, что мы ее достигли. Скептики, с другой стороны, или утверждают, что мы совершенно не можем достичь истины (разве толь­ко при помощи мистического эксперимента), или что если даже сможем достичь ее, то не можем знать, что мы ее достигли. В этом большом споре, в котором время от вре­мени аргументы осовременивались, математика была гор­дой крепостью догматизма. Всякий раз, когда математи­ческий догматизм попадал в «кризис», какая-нибудь новая версия снова придавала ему подлинную строгость и насто­ящие основы, восстанавливая образ авторитарной, непо­грешимой, неопровержимой математики — «единственной науки, которую Бог захотел дать человечеству» (Гоббс, 1651). Большая часть скептиков примирилась с непри­ступностью этой крепости догматистской теории позна­ния. Бросить этому вызов — давно уже стало необходи­мым.

Цель этого этюда и есть этот вызов математическому формализму, но это не прямой вызов основным положениям математического догматизма. Наша скромная цель состо­ит в установлении положения, что неформальная квази­эмпирическая математика не развивается как монотонное возрастание количества несомненно доказанных теорем, но только через непрерывное улучшение догадок при по­мощи размышления и критики, при помощи логики дока­зательств и опровержений. Поскольку, однако, метаматематика представляет парадигму неформальной квазиэмпирической математики и в настоящее время находится в быстром росте, то эта статья тем самым бросает вызов со­временному математическому догматизму. Исследователь недавней истории метаматематики найдет на его собствен­ном поле описанные здесь образцы.

Диалогическая форма должна отразить диалектику рассказа; она должна содержать своего рода рациональ­но реконструированную или «дистиллиро­ванную» историю. Реальная история будет звучать в подстрочных примечаниях, боль­шая часть которых поэтому должна быть рассматриваема как органическая часть статьи.

1. Задача и догадка

Диалог происходит в воображаемой классной комнате. Класс заинтересовался задачей: существует ли соотно­шение между числом V вершин, числом Е ребер и, нако­нец, числом F граней многогранника — в частности, пра­вильного многогранника — аналогично триви­альному соотношению между числами вершин и сторон многоугольников, а именно: что существует столь­ко же сторон, сколько и вершин: V = Е? Последнее соот­ношение позволяет классифицировать многоуголь­ники по числу сторон (или вершин): треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т. д. Аналогичное соотношение поможет классификации многогранни­ков.

После большого количества испытаний и ошибок класс замечает, что для всех правильных многогранников V-E+F=2.

Кто-то высказывает догадку, что это может быть приложимым к любому многограннику. Другие пытаются оспорить эту догадку, испытать ее многими разными спо­собами — она выдерживает хорошо. Этот результат под­крепляет догадку и наводит на мысль, что она может быть доказана. В этот момент — после стадий поста­новки задачи и догадок — мы входим в классную комнату. Учитель как раз готовится дать доказа­тельство.

2. Доказательство

Учитель. На нашем последнем уроке мы пришли к догадке относительно многогранников, а именно: что для всех многогранников V - Е + F = 2, где V — число вершин, Е — число ребер и F — число граней. Мы испытали ее различными способами. Но мы пока еще не доказали ее. Может быть, кто-нибудь нашел доказательство?

Ученик Сигма. Я со своей стороны должен со­знаться, что пока еще не придумал строгого доказательства этой теоремы… Однако истинность ее была установлена в очень многих случаях, и не может быть сомнения, что она справедлива для любого тела. Таким образом, это предложение, по-видимому, доказано вполне удовлетворительно[13]. Но если у вас есть доказательство, то, пожалуйста, дайте его.

Учитель. Действительно, я его имею. Оно состоит в следующем мысленном эксперименте. Первый шаг. Вообразим, что многогранник будет полым с поверхностью из резины. Если мы вырежем одну из его граней, то всю остальную поверхность мы можем, не разрезая, растянуть на плоской доске. Грани и ребра будут деформироваться, ребра могут стать криволинейными, но V, Е и F не изменятся, так что если и только если V — Е + F = 2 для пер­воначального многогранника, то V — Е + F — 1 для этой плоской сети — вспомните, что мы одну грань удалили. (На рис. 1 показана такая сеть для куба.) Второй шаг. Теперь мы стриангулируем нашу карту — она дей­ствительно выглядит как географическая карта. Проведем (может быть, криволинейные) диагонали в тех (может быть, криволинейных) многоугольниках, которые еще не являются (может быть, криволинейными) треугольниками. Проведя каждую диагональ, мы увеличиваем и E и F на единицу, так что сумма V — Е + F не изменится (рис. 2).

Третий шаг. Теперь будем вынимать из триангулиро­ванной сети треугольники один за другим. Вынимая тре­угольник, мы или вынимаем ребро, причем исчезают одна грань и одно ребро (рис. 3, а), или вынимаем два ребра и вершину; тогда исчезают одна грань, два ребра и одна вершина (рис. 3, б). Таким образом, если V - Е + F = 1 до выемки треугольника, то оно останется таким же и после выемки. В конце этой процедуры мы получа­ем один треугольник. Для него V — Е + F = 1 является справедливым. Таким образом, мы доказали нашу до­гадку.

Ученик Дельта. Вы должны назвать это теперь теоремой. Теперь здесь уже нет ничего из области дога­док.

Ученик Альфа. Не знаю. Я вижу, что этот экспе­римент можно выполнить с кубом или с тетраэдром, но как я могу знать, что его можно произвести с любым много­гранником. Кстати, уверены ли вы, сэр, что всякий многогранник после устранения одной гра­ни может быть развернут плоско на доске? У меня есть сомнения относительно вашего первого шага.

Ученик Бета. Уверены ли вы, что при триан­гулировании карты вы всегда получите но­вую грань для любого нового ребра? У меня есть сомнения относительно вашего второго шага.

Ученик Гамма. Уверены ли вы, что когда вы будете откидывать треугольники один за другим, то получатся только две альтерна­тивы — исчезновение одного ребра или же двух ребер и одной вершины? Уверены ли вы также, что в конце процесса останетесь только с одним треугольником? У меня есть сомнения относительно вашего третьего шага.

Учитель. Конечно, я не уверен.

Альфа. Но ведь это еще хуже, чем раньше. Вместо одной догадки, мы теперь имеем по меньшей мере три! И вы называете это «доказательством»!

Учитель. Я допускаю, что традиционное название «доказательство» для этого мысленного эксперимента, по­жалуй, не совсем подходит. Я не думаю, что этот экспери­мент устанавливает истинность догадки.

Дельта. Ну а что же он тогда делает? Что же, по-вашему, доказывает математическое доказательство?

Учитель. Это тонкий вопрос, на который мы по­пытаемся ответить позже. До тех пор я предлагаю сохра­нить освященный временем технический термин «доказа­тельство» для мысленного эксперимента, или квазиэксперимента, который предлагает разложение первоначальной догадки на вспомогательные догадки или леммы, та­ким образом впутывая ее, может быть, в совершенно далекую область знания. Например, наше «дока­зательство» в первоначальную догадку — о кристаллах, или, скажем, о твердых телах — включило теорию рези­новых листов. Декарт или Эйлер, отцы первоначальной догадки, наверняка ни о чем подобном не думали [17].

3. Критика доказательства при помощи контрапримеров, являющихся локальными, но не глобальными

Учитель. Подсказанное доказательством разложение догадки открывает новые горизонты для проб. Это разло­жение более широким фронтом развертывает догадку, так что наш дух критики получает большее количество целей. Мы теперь вместо одной имеем по меньшей мере три воз­можности для контрапримеров.

Гамма. Я уже выразил мое несогласие с вашей третьей леммой (а именно, что при вынимании треуголь­ников из сети, получившейся после растягивания и по­следующей триангуляции, мы имеем только две возможно­сти: мы убираем или только одно ребро, или же два ребра с вершиной). Я подозреваю, что при удалении треуголь­ника могут появиться и другие возможности.

Учитель. Подозрение — это еще не критика.

Гамма. А контрапример будет критикой?

Учитель. Конечно. Догадкам нет дела до несогла­сий или подозрений, но они не могут игнорировать контрапримеры.

Тета (в сторону). Догадки, очевидно, сильно отли­чаются от тех, кто их представляет.

Гамма. Я предлагаю очень простой контрапример. Возьмем триангуляционную сеть, которая получилась после проведения на кубе двух первых операций (см. рис. 2). Теперь, если я удалю треугольник изнутри этой сети, как можно вынуть кусок из головоломки, то я вынимаю только один треугольник без удаления каких-нибудь ребер или вершин. Таким образом, третья лемма неверна — и не только в случае куба, но для всех мно­гогранников, кроме тетраэдра, для которого в плоской сети все треугольники будут граничными. Таким образом, ваше доказательство доказывает теорему Эйлера для тет­раэдра. Но ведь мы уже и так знали, что для тетраэд­ра V - Е + F = 2, так зачем же это доказывать?

Учитель. Вы правы. Но заметьте, что куб, который представляет контрапример для третьей леммы, не будет контрапримером для основной догадки, так как для куба V - Е + F = 2. Вы показали, что аргументация доказательства имеет недостаток, но это не значит, что наша догадка ложна.

Альфа. Так, вы теперь снимете cвое доказательство?

Учитель. Нет. Критика не всегда будет необходимо разрушением. Я просто исправлю мое доказательство, чтобы оно устояло против этой критики.

Гамма. Как?

Учитель. Прежде чем показать «как», давайте введем такую терминологию. Локальным контрапримером я буду называть пример, ко­торый отвергает лемму (не отвер­гая необходимо основную догад­ку) , а глобальным контрапримером я назову пример, от­вергающий саму догадку. Таким образом, ваш контрапример будет локальным, но не глобальным. Ло­кальный, но не глобальный контра­пример представляет критику толь­ко доказательства, но не догадки.

Гамма. Значит, догадка мо­жет быть верной, но ваше доказа­тельство ее не доказывает.

Учитель. Но я легко могу переработать, улучшить доказательство, заменив неверную лемму слегка исправленной, которую ваш контрапример не смо­жет опровергнуть. Я не буду спорить, что при вынима­нии любого треугольника получаются толь­ко две упомянутые возможности, но скажу только, что на каждой стадии процесса вы­нимания одного из граничных треуголь­ников может встретиться одна из упомяну­тых возможностей. Возвращаясь к моему мыслен­ному эксперименту, я должен только в описании моего третьего шага прибавить одно слово, а именно, что «теперь из триангулированной сети мы отнимаем один за другим граничные треугольники». Вы согласитесь, что для приведения в порядок доказательства понадобилось толь­ко небольшое замечание?[18]

Гамма. Не думаю, чтобы ваше замечание было таким пустяковым; оно, конечно, очень остроумно. Чтобы выяс­нить это, я покажу, что оно неверно. Возьмем опять плос­кую сеть для куба и отнимем восемь из десяти треуголь­ников в последовательности, указанной на рис. 4. При вынимании восьмого треугольника, который, конечно, бу­дет тогда граничным, мы отняли два ребра и ни одной вер­шины, а это изменит V — Е + F на 1. И мы остались с двумя отдельными треугольниками 9 и 10.

Учитель. Ну, я мог бы спасти лицо, сказав, что под граничным треугольником я подразумевал такой, вынимание которого не нарушает связности сети. Но ин­теллектуальная честность препятствует мне скрыто изме­нять мои положения словами, начинающимися с «я думал»; поэтому я считаю, что вторую версию операции вынимания треугольников я должен заменить третьей, а именно, что вынимаются треугольники один за другим таким образом, чтобы V — Е + F не изменялось.

Каппа. Охотно соглашусь, что соответствующая такой операции лемма будет истинной: конечно, если мы вынимаем треугольники один за другим, так, чтобы V - Е + F не изменялось, то V — Е + F не будет изме­няться.

Учитель. Нет. Лемма заключается в том, что тре­угольники в нашей сети могут быть пере­нумерованы так, что при вынимании их в правильной последовательности V — Е +F не будет изменяться, пока мы не достигнем последнего треугольника.

Каппа. Но как же построить эту правильную после­довательность, если она вообще существует? Ваш перво­начальный мысленный эксперимент давал инструкцию: вынимайте треугольники в любом порядке. А теперь вы говорите, что мы должны следовать некоторому опреде­ленному порядку, но не говорите, какой это порядок и существует ли он в действительности. Таким образом, ваш мысленный эксперимент разваливается. Вы исправили анализ доказательства, т. е. список лемм, но мысленный эксперимент, который вы назвали «доказательством», исчез.

Ро. Исчез только третий шаг.

Каппа. Кроме того, улучшили ли вы лемму? Ва­ши первые две версии по крайней мере до их опровер­жения казались тривиально простыми, а ваша длинно­ватая заплатанная версия даже не кажется очевидной. Можете ли вы верить, что она избежит опровержения?

Учитель. «Очевидные» или даже «тривиально про­стые» предложения обычно скоро отвергаются: софи­стические, неочевидные предположения, созревшие после критицизма, могут оказаться истинными.

Омега. А что случится, если и ваши «софистические предположения» окажутся ложными и мы не сможем за­менить их неложными? Или если вам не удастся улуч­шить локальными заплатами ваши аргументы? При по­мощи замены отвергнутой леммы вам удалось справить­ся с локальным контрапримером, не бывшим глобаль­ным. А что если в следующий раз вам это не удастся?

Учитель. Вопрос хорош — поставим его завтра в повестку дня.

4. Критика догадки при помощи глобальных контрапримеров

Альфа. У меня есть контрапример, который опроверг­нет вашу первую лемму; кроме того, он будет контрапримером и для основного положения; это значит, что он вполне может быть и глобальным контрапримером.

Учитель. Вот как! Интересно. Посмотрим.

Альфа. Вообразите твердое тело, заключающееся между двумя всаженными друг в друга кубами, т.е. парой кубов, из которых один находится внутри другого, но не касается его (рис. 5). Этот полый куб делает неверной вашу первую лемму, так как после отнятия грани у вну­треннего куба многогранник уже нельзя будет растянуть на плоскости. Не поможет отнятие грани и от внешнего куба. Кроме того, для каждого куба V — Е + F = 2, так что для полого куба V - Е + F = 4.

Учитель. Очень хорошо. Назовем его контрапримером номер 1. Ну и что же?

а) Отбрасывание догадки. Метод сдачи

Гамма. Сэр, ваше спокойствие удивляет меня. Один контрапример отвергает догадку так же эффективно, как и десять. Ваша догадка и ее доказательство полностью взорваны. Руки вверх! Вам нужно сдаться. Сотрите ложное предположение, забудьте о нем и попробуйте най­ти радикально новый подход.

Учитель. Согласен с вами, что контрапример Альфы — серьезная критика этого предположения. Но нельзя сказать, что доказательство «полно­стью взорвано». Если в настоящее время вы согласитесь с моим прежним предложением — употреблять слово «до­казательство» в смысле «мысленного эксперимента, при­водящего к разложению первоначального предполо­жения на ряд вспомогательных предположений», и не пользоваться им в смысле «гарантии некоторой исти­ны», то вам нет надобности приходить к такому заклю­чению. Мое доказательство действительно доказало пред­ложение Эйлера в первом смысле, но не обязательно во втором. Вы интересуетесь только такими доказательст­вами, которые «доказывают» то, для доказательства чего они созданы. Я же интересуюсь доказательствами, даже если они не выполняют их первоначального назначения. Колумб не достиг Индии, но он открыл нечто очень ин­тересное.

Альфа. Следовательно, по вашей философии — ло­кальный контрапример (если он не является одновремен­но глобальным) является критикой доказательства, но не предположения, а глобальный контрапример будет кри­тикой предположения, но не обязательно доказательства. Вы соглашаетесь сдаться в том, что касается предполо­жения, но вы защищаете доказательство. Но если пред­положение ложно, то что же тогда доказывает доказа­тельство?

Гамма. Ваша аналогия с Колумбом не подходит. Принятие глобального контрапримера равносильно пол­ной сдаче.

б) Отбрасывание контрапримера. Метод устранения монстров

Дельта. Но зачем же принимать контрапример? Вы до­казали вашу догадку — теперь она стала теоремой. Я при­нимаю, что она не согласна с этим так называемым контрапримером. Кто-то из них должен уйти. Но почему же должна уходить теорема, если она была доказана? Нуж­но отступить «критике». Это поддельная критика. Пара всаженных кубов совсем не будет многогранником. Это монстр, патологический случай, а не контрапример.

Гамма. А почему нет? Многогранником на­зывается тело, поверхность которого со­стоит из многоугольников — граней. А мой контрапример является телом, ограниченным многоуголь­никами — гранями.

Учитель. Назовем это Определение 1 .

Дельта. Ваше определение неправильно. Много­гранник должен быть поверхностью: он имеет гра­ни, ребра, вершины, он может быть деформирован, растя­нут на доске и ему нет никакого дела до понятия о «твер­дом теле». Многогранник есть поверхность, состоящая из системы многоугольников.

Учитель. Назовем это Определение 2.

Дельта. Таким образом, в действительности вы по­казали нам два многогранника, две поверхности, одна полностью внутри другой. Женщина с ребенком во чре­ве не может быть контрапримером для тезиса, что люди имеют одну голову.

Альфа. Так! Мой контрапример породил новое по­нятие о многограннике. Вы осмеливаетесь утверждать, что под многогранником всегда подразумеваете по­верхность?

Рис. 6

Учитель. В данный момент позволим себе при­нять определение 2 Дельты. Можете вы опровергнуть на­ше предположение, если под многогранником мы теперь будем понимать поверхность?

Альфа. Конечно. Возьмите два тетраэдра, имеющие общее ребро (рис. 6, а). Или возьмите два тетраэдра, имеющие общую вершину (рис. 6, б). Оба эти близнеца связаны, оба составляют одну единственную поверхность. И вы можете проверить, что в обоих случаях V - Е + F = 3.

Учитель. Контрапримеры 2, а и 2, б .

Дельта. Я восхищаюсь вашим извращенным вооб­ражением, но, конечно, я не считал, что любая систе­ма многоугольников будет многогранником. Под много­гранником я подразумеваю систему многоуголь­ников, расположенных таким образом, чтобы (1) на каждом ребре встречались только два многоугольника и (2) чтобы было возможно изнутри одного многоугольника пройти во внутрь другого любой дорогой, которая никогда не пересекает ребра в вершине. Ваши первые близнецы исклю­чаются первым критерием моего определения, ваши вто­рые близнецы — вторым критерием.

Учитель. Определение 3.

Альфа. Я восхищаюсь вашим извращенным остро­умием, изобретающим одно определение за другим, как баррикады против уничтожения ваших любимых идей. Почему бы вам не определить многогранник как систему многоугольников, для которых имеет место уравнение V - Е + F = 2, и это Идеальное Определение…

Учитель. Определение И.

Альфа. … навсегда покончит с диспутом? Тогда уже не будет нужды в дальнейшем исследовании этого предмета.

Дельта. Но не существует на свете теоремы, которую нельзя было бы опровергнуть при помощи монстров.

Учитель. Извините, что прерву вас. Мы видели, что опровержение при помощи контрапримеров зависит от понимания рассматриваемых терминов. Если контрапример должен служить объективной критике, то нужно уговориться в понимании нашего термина. Мы можем достичь этого соглашения, определив термин, на котором оборвалось сообщение. Я, например, не определял поня­тия «многогранник». Я считал, что этот термин является общеизвестным, т. е. все заинтересованные облада­ют способностью отличить вещь, которая является многогранником, от вещи, которая им не является, — то, что некоторые логики называют знанием объема понятия «многогранник». Оказалось, что объем этого понятия со­всем не является очевидным: очень часто опреде­ления даются и обсуждаются именно тогда, когда появляются контрапримеры.

Я предлагаю теперь рассмотреть все соперничающие оп­ределения вместе и отложить пока обсуждение различий, получающихся в результате выборов разных определений. Может ли кто предложить что-нибудь такое, что можно считать действительно противоречащим примером даже по самому ограничивающему определению?

Каппа. Включая Определение И?

Учитель. Исключая Определение И.

Гамма. Я могу. Взгляните на этот контрапример 3: звездчатый многогранник — я назову его «морским ежом» (рис. 7) . Он состоит из 12 звездных пя­тиугольников (рис. 8). Он имеет 12 вершин, 30 ребер и 12 пятиугольных граней — если хотите, вы можете про­верить это подсчетом. Таким образом, положение Декар­та-Эйлера совершенно неправильно, так как для этого многогранника V - Е + F = —6 .

Дельта. А почему вы думаете, что ваш «морской еж» будет многогранником?

Гамма. Разве вы не видите? Это многогранник, гра­нями которого являются двенадцать звездчатых пяти­угольников. Он удовлетворяет вашему последнему опре­делению: это — «система многоугольников, расположенных таким образом, что (1) на каждом ребре встречаются толь­ко два многоугольника и (2) из каждого многоугольника можно попасть в любой другой многоугольник без пере­хода через вершину многогранника».

Дельта. Но тогда вы даже не знаете, что такое мно­гоугольник! Звездчатый пятиугольник наверняка не будет многоугольником. Многоугольником называ­ется система ребер, расположенных таким образом, что (1) в каждой вершине встречаются только два ребра и (2) ребра не име­ют общих точек, кроме вершин.

Учитель. Назовем это Определение 4.

Гамма. Я не понимаю, почему вы включаете второе условие: 'Правильное определение многоугольника должно содержать только первое условие.

Учитель. Определение 4'.

Гамма. Второе условие не имеет ничего общего с сущностью многоугольника. Смотрите: если я немножко подыму одно ребро, то звездчатый многоугольник все же будет многоугольником, даже в вашем смысле. Вы вообра­жаете многоугольник, начерченный мелом на доске; но его должно представлять себе как структуру из дерева: тогда то, что вы считаете общей точкой, в действительности бу­дет, очевидно, не точкой, но двумя различными точками, лежащими одна над другой. Вас ввело в заблуждение, что вы помещаете многоугольники в плоскость,— вы должны позволить его членам простираться в пространстве .

Дельта. Не скажете ли вы мне, что такое пло­щадь звездчатого многоугольника? Или вы думаете, что некоторые многоугольники не имеют площади?

Гамма. Да ведь вы же сами сказали, что понятие о многограннике может быть совсем не связано с идеей те­лесности. Почему же теперь вы полагаете, что понятие о многоугольнике должно быть связано с понятием о пло­щади? Мы согласились, что многогранник представляет собой замкнутую поверхность с ребрами и вершинами — тогда почему бы нам не согласиться, что многоугольник будет просто замкнутой кривой с вершинами? Но если вы придерживаетесь нашей идеи, то я охотно определю пло­щадь звездчатого многоугольника.

Учитель. Оставим на некоторое время этот диспут и пойдем, как и раньше. Рассмотрим вместе два послед­них определения — Определение 4 и Определение 4'. Может ли кто-нибудь дать контрапример для нашего предположения, которое допускало бы оба определения многоугольников?

  Альфа. Вот вам один. Рассмотрим раму карти­ны вроде такой (рис. 9). По всем предложенным до сих пор определениям это будет многогранник. Однако после подсчета вершин, ребер и граней вы найдете, что V — Е + F = 0.

Учитель. Контрапример 4 .

Бета. Ну, это конец нашей догадке. Очень жаль, потому что она во многих случаях была подходящей. Но, по-видимому, мы напрасно потеряли время.

Альфа. Дельта, я поражен. Вы ничего не говорите? Вы не можете этот новый контрапример выопределить из существования? Я думал, что на свете не существует гипотез, которых вы не смогли бы спасти от уничтожения при помощи подходящей лингвистической хитрости. Сдае­тесь вы теперь? Наконец, соглашаетесь, что существуют неэйлеровы многогранники? Не поверю!

Дельта. Нашли бы вы лучше более подходящее имя для ваших неэйлеровых чудовищ и не путали нас, назы­вая их многогранниками. Но я постепенно теряю интерес к вашим монстрам. Меня берет отвращение от ваших не­счастных «многогранников», для которых неверна пре­красная теорема Эйлера. Я ищу порядка и гармонии в математике, а вы только распространяете анархию и хаос. Наши положения непримиримы.

Альфа. Вы настоящий старомодный консерватор! Вы браните скверных анархистов, портящих ваш «поря­док» и «гармонию» и вы «решаете» затруднения словес­ными рекомендациями.

Учитель. Послушаем последнее спасительное опре­деление.

Альфа. Вы подразумеваете последний лингвисти­ческий трюк, последнее сжатие понятия «многогранник»? Дельта разрушает реальные задачи, вместо того чтобы разрешать их.

Дельта. Я не «сжимаю» понятий. Это вы расши­ряете их. Например, эта картинная рама совсем не настоящий многогранник.

Альфа. Почему?

Дельта. Возьмите какую-нибудь точку в «тунне­ле» — пространстве, ограниченном рамой. Проведите пло­скость через эту точку. Вы найдете, что всякая такая пло­скость будет всегда с картинной рамой иметь два по­перечных сечения, составляющих два отдельных, совер­шенно не связанных многоугольника! (рис. 10).

Альфа. Ну и что?

Дельта. В случае настоящего много­гранника через любую точку пространства можно провести по крайней мере одну плос­кость, сечение которой с многогранником будет состоять из одного лишь многоуголь­ника. В случае выпуклого многогранника этому требо­ванию будут удовлетворять все плоскости, где бы мы ни взяли точку. В случае обыкновенного невыпук­лого многогранника некоторые плоскости будут иметь большее число пересечений, но всегда будут такие, кото­рые имеют только одно пересечение (рис 11,а и 11,6). В случае этой картинной рамы все плоскости будут иметь два поперечных сечения, если мы возьмем точку внутри рамы. Как же тогда вы можете назвать это многогран­ником?

Учитель. Это похоже на еще одно определение, вы­раженное на этот раз в неявной форме. Назовем его Определение 5 .

Альфа. Целая серия контрапримеров, подходящая серия определений, которые не содержат ничего нового, но представляют лишь новые откровения богатства одного старого понятия, которое кажется имеющим столько же «скрытых» требований, сколько и контрапримеров. Для всех многогранников V-E+F=2 кажется неоп­ровержимой, старой и «вечной» истиной. Странно думать, что когда-то это было удивительной догадкой, исполнен­ной вызова и волнения. Теперь же, вследствие ваших странных изменений смысла, оно превратилось в скудную условность, в вызывающую пренебрежение частицу догмы. (Он покидает классную комнату.)

Дельта. Я не могу понять, каким образом такой способный человек, как Альфа, может тратить свой талант на пустые словопрения. Он, кажется, весь поглощен про­изводством монстров, но монстры никогда не способство­вали росту ни в мире природы, ни в мире мысли. Эволю­ция всегда следует гармоническому и упорядоченному образцу.

Гамма. Генетики могут легко опровергнуть это. Разве вы не слышали, что мутации, производящие урод­ства, играют значительную роль в макроэволюции? Такие уродливые мутанты они называют «подающими надежды монстрами». Мне кажется, что контрапримеры Альфы, хотя и уродства, являются «уродами, подающими надежду»[33]

Дельта. Во всяком случае Альфа отказался от борь­бы. Теперь никаких новых монстров больше уже не будет.

Гамма. У меня есть новый. Удовлетворяет всем ограничениям Определений 1, 2, 3, 4 и 5, но для него V—E+F=1. Этот контрапример 5 — про­стой цилиндр. У него 3 грани (оба основания и боковая поверхность), 2 ребра (оба круга) и нет вершин. Он мно­гогранник по вашему определению: (1) у каждого ребра ровно по два многоугольника и (2) изнутри одного мно­гоугольника можно пройти внутрь любого другого путем, не пересекающим ни одного ребра в вершине. И вам при­дется грани считать настоящими многоугольниками, так как они удовлетворяют вашим требованиям: (1) у каждой вершины встречаются только два ребра и (2) ребра не имеют общих точек, кроме вершин.

Дельта. Альфа растягивал понятия, а вы их реже­те. Ваши «ребра» — не ребра! Ребро имеет две вер­шины!

Учитель. Определение 6 ?

Гамма. Но почему отрицать статус «ребра» для та­ких ребер, которые имеют только одну или нуль вершин? Вы обычно сокращали содержание понятий, а теперь так калечите их, что почти ничего не остается!

Дельта. Но разве вы не видите всей тщетности так называемых опровержений? До сих пор, когда изобрета­ли новый многогранник, то это делалось для какой-ни­будь практической цели; теперь же их изобретают спе­циально для того, чтобы сделать ошибочными рассуждения наших отцов, и ничего другого из них и не получишь. Наш предмет превращается в тератологический музей, где приличные нормальные многогранники могут быть счастливыми, если им удается удержать очень малень­кий уголок

Гамма. Я думаю, что если мы хотим изучить что-нибудь действительно глубоко, то нам нужно исследо­вать это не в его «нормальном», правильном, обычном виде, но в его критическом положении, в лихорадке и страсти. Если вы хотите узнать нормальное здоровое те­ло, то изучайте его, когда оно в ненормальном положении, когда оно болеет. Если вы хотите знать функции, то изу­чайте их странности. Если вы хотите познать обычные многогранники, то изучайте их причудливые обрамления. Вот только так можно внести математический анализ в самое сердце вещей. Но если даже в основе вы правы, разве вы не видите бесплодия вашего метода ad hoc? Если вы хотите провести пограничную линию между контрапримерами и монстрами, то этого нельзя сделать в припадках и срывах.

Учитель. Я думаю, что мы должны отказаться от принятия стратегии Дельты в работе с глобальными контрапримерами, хотя нужно поздравить его с искусным ее проведением. Его метод мы можем назвать подходя­щим термином — метод устранения монстров. При помощи такого метода можно исключить любой контрапример для первоначального предположения при помощи какого-нибудь глубокого, но всегда ad hoc, изме­нения определения многогранника, или терминов, его определяющих, или определяющих терминов для его оп­ределяющих терминов. Мы должны несколько с большим уважением обращаться с контрапримерами, а не упорно заклинать их, называя монстрами. Главной ошибкой Дельты, пожалуй, будет его догматический уклон в по­нимании математического доказательства; он думает, что доказательство необходимо доказывает то, для доказа­тельства чего оно было предназначено. Мое понимание доказательства допускает «доказательство» и ложно­го предположения путем разложения его на вспомогательные. Если предположение ложно, то я с уверенностью ожидаю, что будет ложным и, по крайней мере, одно из этих вспомогательных предположений. Но само разложе­ние тоже может быть интересным! Я не смущаюсь, если будет найден контрапример для «доказанной» догадки; я даже согласен пытаться «доказывать» ложное предполо­жение!

Тета. Я не понимаю вас.

Каппа. Он только следует Новому Завету: «Испыты­вай все; держись крепко за то, что хорошо» (Первое пос­лание к фессалоникийцам, гл. 5, 21).

в) Улучшение догадки методами устранения исключений. Частичные исключения. Стратегическое отступление или безопасная игра

Бета. Я полагаю, сэр, что вы намереваетесь объяснить ваши несколько парадоксальные замечания. Принося вам всяческие извинения за мою нетерпеливость, я все же дол­жен избавиться от их тяжести.

Учитель. Продолжайте.

(Альфа возвращается.)

Бета. Хотя некоторые положения из аргументов Дельты не кажутся мне умными, но я все-таки прихожу к убеждению, что в них есть разумное зерно. Теперь, мне кажется, что ни одно из предположений не является пра­вильным вообще, но только в некоторой ограниченной области, которая не содержит исключений. Я против того, чтобы называть эти исключения «монстрами», или «пато­логическими случаями». По существу это равносильно методологическому требованию не рассматривать их как примеры интересные, имеющие право на самостоя­тельное существование и заслуживающие специального исследования. Но я также против термина «контрапример»; хотя это и дает право принимать их на рав­ной ноге с подтверждающими примерами, но как-то ок­рашивает их в военные цвета, так что некоторые, вроде Гаммы, при их виде приходят в панику и впадают в соб­лазн совсем отказаться от прекрасных и остроумных до­казательств. Нет, они являются только исклю­чениями.

Сигма. Я более чем согласен. Термин «контрапри­мер» имеет агрессивный оттенок и оскорбляет тех, кто нашел доказательство. «Исключение» — это как раз пра­вильное выражение. «Существуют три рода математичес­ких предложений:

1. Те, которые являются всегда справедливыми и для которых нет пи ограничений, ни исключений, например, сумма углов всех плоских треугольников всегда равна двум прямым.

2. Те, которые основаны на некотором ложном прин­ципе и, следовательно, никак не могут быть допущены.

3. Те, которые зависят от правильных принципов, но тем не менее в некоторых случаях допускают ограничения или исключения…»

Эпсилон. Что?

Сигма . «… Не должно смешивать ложные теоремы с теоремами, допускающими некоторые ограничения», Как говорит пословица: исключения подтвер­ждают правило.

Эпсилон (к Каппе). Кто этот путаник? Ему следо­вало бы немного поучиться логике.

Каппа (к Эпсилону). И узнать кое-что об неевкли­довых плоских треугольниках.

Дельта. Хотя мне и трудно, но я должен предска­зать, что в этой дискуссии, вероятно, я и Альфа окажем­ся на одной стороне. Мы оба аргументировали, исходя из той основы, что предложение может быть или ложным или правильным, и расходились лишь в том, будет ли, в частности, правильной или ложной эйлерова теорема. Но Сигма хочет, чтобы мы допустили третью категорию пред­ложений, которые «в принципе» верны, но «в некоторых случаях допускают исключения». Согласиться с мирным сосуществованием теорем и исключений, значит допу­стить в математике хаос и смуту.

Альфа. Согласен.

Эта. Я не хотел мешать блестящей аргументации Дельты, но теперь я думаю, что, может быть, будет по­лезно, если я кратко расскажу историю моего интеллек­туального развития. В мои школьные годы я сделался, как вы сказали бы, устранителем монстров не для защи­ты против людей типа Альфы, но для защиты против типа Сигмы. Я припоминаю прочитанное в журнале относи­тельно теоремы Эйлера: «Блестящие математики предложили доказательства всеобщей правильности этой теоре­мы. Однако она допускает исключения… Необходимо об­ратить внимание на эти исключения, так как даже новей­шие авторы не всегда ясно признают их». Эта статья не была изолированным дипломатическим упражнением. «Хотя в учебниках и лекциях по геометрии всегда указы­вается, что прекрасная теорема Эйлера V+F=E+2 в не­которых случаях имеет «ограничения», или «не кажется правильной», но еще никто не узнал истинной причины этих исключений» . Я очень внимательно рассмотрел эти «исключения» и пришел к выводу, что они не соответ­ствуют правильному определению рассматриваемых пред­метов. Таким образом, можно восстановить в правах дока­зательство теоремы; тогда хаотическое сосуществование теорем и исключений исчезнет.

Альфа. Хаотическая позиция Сигмы может служить объяснением вашего устранения монстров, но никак не извинением, не говоря уже об оправдании. Почему не ис­ключить хаос принятием верительных грамот контрапримера и отбросить и «теорему» и «доказательство»?

Эта. А почему я должен отбрасывать доказательство? Я не могу видеть в нем ничего неправильного. А вы мо­жете? Мое устранение монстров мне кажется более ра­циональным, чем ваше устранение доказательств.

Учитель. Наши дебаты показали, что устранение монстров может получить более симпатизирующую ауди­торию, если оно будет исходить из дилеммы Эты. Но вернемся к Бете и Сигме. Ведь это Бета перекрестил контрапримеры в исключения. Сигма согласился с Бетой…

Бета. Я рад, что Сигма согласился со мной, но боюсь, что я не могу согласиться с ним. Конечно, существуют три типа предложений: правильные, безнадежно непра­вильные и неправильные, но подающие надежду. Этот последний вид может быть улучшен и возведен в степень правильных при помощи добавления ограничивающих по­ложений, устанавливающих исключения. Я никогда не «приписываю формулам неограниченную область правиль­ности. В действительности большая часть формул справед­лива только при выполнении некоторых условий. Опреде­ление этих условий и, конечно, уточнение смысла упот­ребляемых терминов заставляют у меня исчезать всякую неопределенность». Как видите, я не являюсь сторон­ником любой формы мирного сосуществования между не­исправленными формулами и исключениями. Я исправ­ляю мои формулы и делаю их совершенными, вроде стоящих в первом классе Сигмы. Это значит, что я при­нимаю метод устранения монстров, поскольку он мо­жет служить для установления области правиль­ности первоначальной догадки; но отбра­сываю его, если он действует как лингвистический трюк для спасения «изящных» теорем при помощи ограничи­вающих положений. Эти два вида функционирования ме­тода Дельты должны быть строго разделены. Мой метод, для которого характерен только первый способ функцио­нирования, мне хотелось бы назвать «методом устра­нения исключений». Я буду использовать его для точного определения области, в которой является пра­вильной догадка Эйлера.

Учитель. Какую же «точно определенную область» эйлеровых многогранников вы обещаете нам? И какова ваша «совершенная формула»?

Бета. Для всех многогранников, не име­ющих полостей (вроде пары куб в кубе) и туннелей (как рама картины), V - Е + F = 2.

Учитель. Вы уверены?

Бета. Да, вполне.

Учитель. А как быть с тетраэдрами-близнецами?

Бета. Извините. Для всех многогранников, которые не имеют полостей, туннелей и «кратной структуры» .

Учитель. Вижу. Я согласен с тем, что вы исправля­ете догадку, вместо того чтобы просто принять или не при­нять ее. Я считаю, это лучше и метода устранения мон­стров, и метода сдачи. Однако у меня есть два возражения. Во-первых, я оспариваю вашу уверенность в том, что ваш метод не только улучшает, но даже «совершенствует» догадку, что он делает ее «строго правильной», что он «за­ставляет исчезнуть все неопределенности», Но ad hoc-ность вашего метода уничтожает его шансы на достиже­ние уверенности в истине.

Бета. В самом деле?

Учитель. Вы должны допустить, что каждая новая версия вашего предположения является лишь придуман­ным ad hoc средством исключения только что возникшего контрапримера. Когда вы напали на куб в кубе, вы ис­ключили многогранники с полостями. Когда вам уда­лось заметить картинную раму, вы исключили многогран­ники с туннелями. Я ценю ваш открытый и наблюда­тельный ум; заметить все эти исключения, конечно, очень хорошо, но я думаю, что все же стоило бы внести некоторый метод в ваше слепое отыскивание «исключе­ния». Хорошо, допустим, что положение «все многогран­ники являются эйлеровыми» является только догадкой. Но зачем же статус теоремы, которая более уже не явля­ется догадкой, давать положению, что «все многогранники без полостей, туннелей и еще чего-нибудь являются эйле­ровыми»? Как вы можете быть уверенным, что перечисли­ли все исключения?

Бета. Можете ли дать одно, которое я не учел бы?

Альфа. А что вы скажете о моем «морском еже»?

Гамма. И о моем цилиндре?

Учитель. Мне даже не нужно какое-нибудь кон­кретное новое «исключение» для моей аргументации. Мой аргумент касается только возможности дальнейших исключений.

Бета. Конечно, вы, может быть, правы. Не нужно сразу менять своей позиции при появлении какого-нибудь нового контрапримера. Не нужно говорить: «Если в явле­ниях не находится ни одного исключения, то заключение может быть высказано в общем смысле. Но если в даль­нейшем появится какое-нибудь исключение, то тогда мож­но будет начать высказывать его с тем исключением, ко­торое появилось»[41]. Дайте подумать. Сначала мы высказа­ли догадку, что V-E+F = 2 годится для всех многогранников, потому что мы нашли его верным для кубов, окта­эдров, пирамид и призм. Мы, конечно, не можем принять «этот несчастный путь заключения от частного к обще­му». Ничего нет удивительного в том, что исключения появляются; скорее поразительно то, что раньше их не было найдено много больше. По-моему, это произошло оттого, что мы главным образом занимались выпуклыми многогранниками. Как только появились другие много­гранники, так наше обобщение уже перестало годиться.

Так, вместо постепенного отбрасывания исключений я скромно, но с надежностью проведу граничную линию — «Все выпуклые многогранники являются эй­леровыми». И я надеюсь, вы согласитесь, что в этом нет ничего гадательного, это уже будет теоремой.

Гамма. А как с моим цилиндром? Ведь он вы­пуклый?

Бета. Это шутка!

Учитель. Забудем на момент об этом цилиндре. Не­которые критические замечания можно выставить даже и без цилиндра. В этой новой видоизмененной версии ме­тода устранения исключений, который так бодро выдумал Бета в ответ на мою критику, постепенный отход заменен стратегическим отступлением в область, которая, как ду­мают, для данной догадки будет твердыней. Вы стреми­тесь к безопасности. Но так ли вы безопасны, как думаете? У вас нет никаких гарантий, что внутри вашей твердыни но найдется никаких исключений. Кроме того, есть и противоположная опасность. Может быть, вы слишком ра­дикально отступили, оставив за стеной большое количе­ство эйлеровых многогранников? Наша первоначальная догадка могла быть чрезмерным утверждением, но ваш «усовершенствованный» тезис, по-моему, очень сильно сма­хивает на утверждение с недостатком; и все же вы не можете быть уверены, что он также не будет чрезмерным утверждением.

Мне также хотелось бы выставить мое второе возра­жение: вы в своей аргументации забываете о доказатель­стве; делая предположение относительно области правиль­ности догадки, по-видимому, вы совсем не нуждаетесь в доказательстве. Конечно, вы не думаете, что доказатель­ства являются излишними?

Бета. Этого я никогда не говорил.

Учитель. Да, этого вы не сказали. Но вы открыли, что наше доказательство не доказывает нашей первона­чальной догадки. А будет ли оно доказывать вашу исправ­ленную догадку? Скажите же мне это35.

Бета. Ну…

Эта. Благодарю вас, сэр, за этот аргумент. Смущение Беты ясно обнаруживает превосходство опороченного ме­тода устранения уродств. Ведь мы говорим, что доказа­тельство доказывает то, что было предложено доказать, и наш ответ совершенно недвусмыслен. Мы не позво­ляем своенравным контрапримерам свободно уничтожать респектабельные доказательства, даже если они переоде­ваются в скромные «исключения».

Бета. Я ничуть не смущен тем, что мне приходится разработать, исправить и — извините меня, сэр,— усо­вершенствовать мою методологию под стимулом кри­тики. Мой ответ таков. Я отбрасываю первоначальную догадку как ложную, потому что для нее имеются исклю­чения. Также я отбрасываю и доказательство, потому что те же исключения, по крайней мере для одной из лемм, будут тоже исключениями (по вашей терминологии это значит, что глобальный контрапример является необхо­димо и локальным). Альфа остановился бы на этом ме­сте, так как опровержения, по-видимому, вполне удовлет­воряют его интеллектуальным способностям. Но я иду дальше. Подходящим ограничением сразу и догадки и доказательства их собственной областью я совершенствую догадку, которая теперь становится истинной, и со­вершенствую в своей основе здравое доказательство, которое становится теперь строгим и, очевидно, уже не будет содержать ложных лемм. Например, мы видели, что не все многогранники после устранения одной грани могут быть растянуты на плоскости в плоскую фигуру. Но это может быть сделано со всеми выпуклыми много­гранниками. Поэтому мою усовершенствованную и строго доказанную догадку я имею право назвать теоремой. Я снова формулирую ее: «Все выпуклые многогран­ники являются эйлеровыми». Для выпуклых мно­гогранников все леммы будут, очевидно, истинными и до­казательство, которое в его ложной всеобщности не было строгим, в ограниченной области выпуклых многогранников станет строгим. Итак, сэр, я ответил на ваш вопрос.

Учитель. Итак, леммы, которые когда-то выглядели очевидно истинными до открытия исключения, будут опять выглядеть очевидно истинными, …пока не открыто новое исключение. Вы допускаете, что положение: «Все много­гранники являются эйлеровыми» было догадкой; вы толь­ко что допустили, что «Все многогранники без полостей и туннелей являются эйлеровыми» было тоже догадкой, по­чему же не допустить, что «Все выпуклые многогранники являются эйлеровыми» может тоже оказаться догадкой!

Бета. На этот раз не догадкой, а интуицией!

Учитель. Я ненавижу вашу претенциозную «интуи­цию». Я уважаю сознательную догадку, потому что она происходит от лучших человеческих качеств: смелости и скромности.

Бета. Я предложил теорему: «Все выпуклые много­гранники являются эйлеровыми». Против нее вы произне­сли речь. Можете ли вы предложить контрапример?

Учитель. Вы не можете быть уверены, что я этого не сделаю. Вы улучшили первоначальную догадку, но вы не можете требовать признания, что усовершен­ствовали эту догадку, чтобы достичь совершенной строгости в вашем доказательстве.

Бета. А вы это можете?

Учитель. Я тоже не могу. Но я думаю, что мой ме­тод улучшения догадок будет улучшением вашего, так как я установлю единство, настоящее взаимодействие между доказательствами и контрапримерами.

Бета. Я готов учиться.

г) Метод исправления монстров

Ро. Сэр, могу я мимоходом сказать несколько слов?

Учитель. Пожалуйста.

Ро. Я согласен, что мы должны отбросить данный Дельтой метод устранения монстров как общий методоло­гический подход, потому что этот метод не рассматривает монстры серьезно. Бета тоже не рассматривает свои «ис­ключения» серьезно; он просто составляет их список, а по­том уходит в безопасную область. Таким образом, оба эти метода интересны только в ограниченном, привилегиро­ванном поле. Мой метод не практикует дискриминации. Я могу показать, что «при более пристальном рассмотре­нии исключения становятся лишь кажущимися и теорема Эйлера сохраняет свою силу даже для так называемых исключений» .

Учитель. В самом деле?

Альфа. А как может быть обыкновенным эйлеровым многогранником мой третий контрапример «морской еж»? (См. рис. 7.) В качестве граней он имеет 12 звездчатых пятиугольников.

Ро. Я не Вижу никаких «звездчатых пятиугольников». Разве вы не видите, что в действительности этот много­гранник имеет обыкновенные треугольные грани. Их всего 60. Он имеет также 90 ребер и 32 вершины. Его «эйлерова» характеристика равна 2 [47]. Двенадцать «звезд­чатых пятиугольников», их 30 «ребер» и 12 «вершин», дающих характеристику 6, существуют только в. вашей фантазии. Существуют не монстры, а только монстролюбивые толкования. Нужно очистить свой ум от извращенных иллюзий, надо научиться видеть и правильно определять, что видишь. Мой метод терапевтический: там где вы — ошибочно — «видите» контрапример, я учу вас узнавать — правильно — простой пример. Я исправляю ваше монстролюбивое зрение.

Альфа. Сэр, пожалуйста, объясните ваш метод, пре­жде чем Ро выстирает наши мозги[49].

Учитель. Пусть он продолжает.

Ро. Я уже высказал, что хотел.

Гамма. Не могли бы вы поговорить подробнее относи­тельно вашей критики метода Дельты? Вы оба заклинали монстров…

Ро. Дельта попался в плен ваших галлюцинаций. Он согласился, что наш «морской еж» имеет 12 граней, 30 ре­бер и 12 вершин и не является эйлеровым. Его тезис заклю­чался в том, что «морской еж» даже не является много­гранником. Но он ошибся в том и другом смысле. Ваш «морской еж» является и многогранником и притом эйлеровым. Но его звездчато-многогранное понима­ние было неправильным толкованием. С вашего разреше­ния, это не воздействие «морского ежа» на здоровый чи­стый ум, но искаженное воздействие на больной ум, корча­щийся в муках.

Каппа. Но как вы можете отличать здоровые мозги от больных, рациональные толкования от уродливых?

Ро. А меня только удивляет, как вы можете их сме­шивать.

Сигма. А вы, Ро, действительно думаете, что Альфа никогда не замечал, что его «морской еж» мог быть истол­кован как треугольный многогранник? Конечно, он мог это заметить. Но более внимательный взгляд открывает, что эти треугольники всегда лежат по пяти в одной пло­скости и окружают в телесном угле правильный пяти­угольный тайник — как бы их сердце. Но пять правиль­ных пятиугольников составляют так называемую пента­грамму, которая, по словам Теофраста Парацельза, была знаком здоровья…

Ро. Суеверие!

Сигма. И вот таким образом для здорового ума от­крывается тайна «морского ежа»: это новое до сих пор еще неведомое правильное тело с правильными гранями и рав­ными телесными углами, красота симметрии которого мо­жет открыть нам тайны всеобщей гармонии…

Альфа. Благодарю вас, Сигма, за вашу защиту, ко­торая еще раз убеждает меня, что оппоненты могут при­чинить меньше помех, чем союзники. Конечно, мою многогранную фигуру можно толковать или как треуголь­ный или как звездчатый многогранник. Я согласен одина­ково допустить оба толкования…

Каппа. Вы согласны?

Дельта. Но, конечно, одно из них будет истинным толкованием.

Альфа. Я согласен одинаково допустить оба толко­вания, но одно из них наверняка будет глобальным контрапримером для догадки Эйлера. Зачем же допускать только то толкование, которое «хорошо подходит» к пред­взятым мнениям Ро? Во всяком случае, сэр, не объясните ли вы нам теперь ваш метод?

д) Улучшение догадки методом включения лемм. Рожденная доказательством теорема против наивной догадки

Учитель. Вернемся к раме картины. Во-первых, я признаю, что она является настоящим глобальным контрапримером для эйлеровой догадки, а также настоящим ло­кальным контрапримером для первой леммы моего дока­зательства.

Гамма. Извините меня, сэр, но каким образом рама картины опровергает первую лемму?

Учитель. Выньте сначала одну грань, а потом по­пробуйте растянуть ее в плоскую фигуру на доске. Вам это не удастся.

Альфа. Чтобы помочь вашему воображению я скажу, что после вынимания грани вы можете растянуть оставше­еся на доске у тех и только тех многогранников, которые надуванием возможно превратить в шар.

Очевидно, что такой «сферический» многогранник мож­но растянуть на плоскости, когда одна грань будет вынута; также очевидно, что и, наоборот, если многогранник без одной грани можно растянуть на плоскости, то вы можете согнуть его так, чтобы он мог обтянуть круглый сосуд, который затем можно закрыть недостающей гранью, и та­ким образом получить сферический многогранник. Но нашу картинную раму никак нельзя надуть так, чтобы она обратилась в шар; она может обратиться только в тор.

Учитель. Хорошо. Теперь вопреки Дельте я прини­маю эту картинную раму в качестве критики для догадки. Поэтому я устраняю как ложную первоначальную форму догадки, но сразу же выдвигаю видоизмененную ограничи­вающую версию, а именно догадка Декарта — Эйлера спра­ведлива для «простых» многогранников, т. е. для таких, которые после выемки одной грани могут быть растянуты на плоскости. Таким образом, из первоначальной гипоте­зы мы кое-что спасли. Мы имеем: эйлерова характе­ристика простого многогранника равна 2. Этот тезис не может быть опровергнут ни кубом в кубе, ни тетраэдрами-близнецами или звездчатыми многогран­никами, так как ни одно из этих тел не будет «простым». Таким образом, если метод устранения исключений уменьшал область применимости основной догадки и подо­зрительной леммы, сводя их к общей безопасной области, и поэтому принимал контрапример как критику и основной догадки и доказательства, то мой метод включения лемм сохраняет доказательство, но ограничивает область пра­вильности основной догадки, сводя ее к истинной области подозрительной леммы. Иначе, если контрапример, яв­ляющийся одновременно и глобальным и локальным, за­ставлял устрани теля исключений пере­смотреть как леммы, так и первоначаль­ную догадку, то меня он заставляет пе­ресмотреть первоначальную догадку, но не леммы. Вы понимаете?

Альфа. Думаю, что да. Для дока­зательства, что я понимаю, я опровергну вас

Учитель. Мой метод или мою ис­правленную догадку?

Альфа. Вашу исправленную догадку.

Учитель. Тогда может быть вы все же не понимаете моего метода. Но давайте ваш контрапример.

Альфа. Рассмотрим куб с маленьким кубом, постав­ленным сверху (рис. 12). Это согласно со всеми нашими определениями (определения 1, 2, 3, 4, 4'). Следователь­но, это будет настоящим многогранником. И он «простой», так как может быть растянут на плоскости. Таким образом, согласно вашей исправленной догадке, его эйлерова ха­рактеристика должна быть равна 2. Тем не менее он имеет 16 вершин, 24 ребра и 11 граней, и его эйлерова характеристика будет 16—24 + 11 = 3. Это будет глобаль­ным контрапримером для вашей исправленной догадки и также, между прочим, для первой теоремы Беты, «устра­няющей исключения». Этот многогранник не будет эйлеровым, хотя он не имеет ни полостей, ни туннелей, ни кратной структуры.

Дельта. Этот увенчанный куб назовем контрапримером 6 .

Учитель. Вы сделали ложной мою исправленную до­гадку, но не уничтожили моего метода улучшения. Я снова пересмотрю доказательство и постараюсь узнать, почему оно не подходит к вашему многограннику. В доказатель­стве должна быть еще одна неправильная лемма.

Бета. Ну, конечно, так и есть. Я всегда подозревал вторую лемму. Она предполагает, что в триангуляцион­ном процессе, проводя новое диагональное ребро, вы всегда увеличиваете на единицу числа и ребер и граней. Это неверно. Если мы посмотрим на плоскую сетку нашего увенчанного куба, то найдем кольцеобразную грань (рис. 13, а). В этом случае одно диагональное ребро не увеличит числа граней (рис. 13, б); нужно увеличить число ребер на два, чтобы число граней увеличилось на единицу (рис. 13, в).

Учитель. Примите мои поздравления. Я, конечно, должен еще больше ограничить нашу догадку…

Бета. Я знаю, что вы хотите сделать. Вы скажете, что простые многогранники с треугольными гранями будут эйлеровыми. Вы сохраните три­ангуляционный процесс и включите эту лемму в условия.

Учитель. Нет, вы ошибаетесь. Прежде чем конкрет­но указать вашу ошибку, мне хочется остановиться на ва­шем методе устранения исключений. Когда вы сводите вашу догадку к «безопасной» области, вы по-настоящему не рассматриваете доказательства и действительно для вашей цели это не нужно. Вам достаточно будет лишь сделать небрежное замечание, что в вашей ограниченной области будут справедливы все леммы, какими бы они ни были. Но для меня этого недостаточно. Ту самую лемму, которая была опровергнута контрапримером, я встраиваю в догадку, так что мне нужно отметить ее и сформулировать насколько возможно точно на основании тща­тельного анализа доказательства. Таким образом, опро­вергнутая лемма включается в исправленную догадку. Ваш метод не заставляет вас производить очень трудную раз­работку доказательства, так как в вашей исправ­ленной догадке доказательство не появляется, как в моей. Теперь я возвращаюсь к вашему теперешнему замечанию. Опровергнутая кольцеобразной гранью лемма не форму­лировалась, как вы, по-видимому, думаете, что «все гра­ни треугольны», но что «всякая грань, рассе­ченная диагональным ребром, распадается на две части». Вот эту-то лемму я и превращаю в усло­вие. Удовлетворяющие ему грани я называю «односвязными» и могу сделать второе улучшение моей первона­чальной догадки: «для простого многогранника, у которого все грани односвязны, V — Е + F = 2». Причина вашего быстрого неправильного утверждения заключалась в том, что ваш метод не при­учил вас к тщательному анализу доказательства. Этот анализ бывает иногда довольно тривиальным, но иногда действительно очень труден.

Бета. Я понимаю вашу идею. Я тоже должен доба­вить самокритическое замечание к вашим словам, так как мне кажется, что они открывают целый континуум поло­жений для устранения исключений. В самом худшем слу­чае просто устраняются некоторые исключения и не обра­щается никакого внимания на доказательство. Мистификация получается, когда мы отдельно имеем доказательство и также отдельно исключения. В мозгу таких примитивных устранителей исключений доказательства и исключения помещаются в двух совершенно разделенных помещениях. Другие могут теперь указать, что доказательство будет действительным только в ограниченной области, в чем, по их мнению, и заключается раскрытие тайны. Но все же их «условия» для идеи доказательства будут посторонни­ми. Лучшие устранители исключений бросают беглый взгляд на доказательство и, как я в настоящую минуту, получают некоторое вдохновение для формулировки усло­вий, определяющих безопасную область. Самые лучшие устранители исключений производят тщательный анализ доказательства и на этом основании дают очень тонкое ограничение запрещенной площади. В этом отношении наш метод действительно представляет предельный случай метода устранения исключений…

Йота …и обнаруживает фундаментальное диалекти­ческое единство доказательств и опровержений.

Учитель. Я надеюсь, что теперь вы все видите, что доказательства, хотя иногда правильно и не доказыва­ют, но определенно помогают исправить (improve) нашу догадку[57]. Устранители исключений то­же исправляли ее, но исправление было независимым от доказательства (proving). Наш метод исправляет доказывая (improves by proving). Внутреннее единство между «логикой открытия» и «логикой оправда­ния» является самым важным аспектом ме­тода инкорпорации лемм.

Бета. И, конечно, теперь я понимаю ваши предыду­щие удивившие меня замечания, что вы не смущаетесь, если догадка будет одновременно и «доказана» и опроверг­нута, а также, что вы готовы доказать даже неправильную догадку.

Каппа (в сторону). Но зачем же называть «доказа­тельством» (proof) то, что фактически является «исправ­лением» (improof) ?

Учитель. Обратите внимание, что немногие люди захотят разделить эту готовность. Большая часть матема­тиков вследствие укоренившихся эвристических догм не­способны к одновременному доказательству и опроверже­нию догадки. Они будут или доказывать, или опровергать ее. В особенности они не способны опровержением исправ­лять догадки, если эти последние будут их собственными. Они хотят исправлять свои догадки без опровержений; о ни никогда не уменьшают неправильности, по непрерывно увеличи­вают истинность; таким образом рост знания они очищают от ужаса контрапримеров. Может быть, это и является основой подхода лучшего сорта устранителей исключений; они начинают со «стремле­ния к безопасности» и придумывают доказательство для «безопасной» области, а продолжают работу, подвергая это доказательство глубокому критическому исследованию, испытывая, использовали ли они все поставленные условия. Если этого нет, то они «заостряют» или «обобщают» пер­вую скромную версию их теоремы, т. е. выделяют леммы, от которых зависит доказательство, и инкорпорируют их. Например, после одного или двух контрапримеров они мо­гут сформулировать устраняющую исключения предварительную теорему: «Все выпуклые много­гранники являются эйлеровыми», откладывая невыпуклые объекты для cura posterior (дальнейшей работы - Лат.); затем они изобретают доказа­тельство Коши и тогда, открывши, что выпуклость не была реально «использована» в доказательстве, они строят тео­рему, включающую леммы. Нет ничего эвристически нездорового в процедуре, которая соединяет предвари­тельное устранение исключений с последователь­ным анализом доказательства и включением лемм.

Бета. Конечно, эта процедура не уничтожает критику, она только отталкивает ее на задний план; вместо прямой критики чрезмерных утверждений критикуются недоста­точные утверждения.

Учитель. Я очень рад, Бета, что убедил вас. А как вы, Ро и Дельта, думаете насчет этого?

Ро. Что касается меня, то я совершенно определенно думаю, что проблема кольцеобразных граней является псе­вдопроблемой. Она происходит от чудовищного истолкова­ния того, что представляют грани и ребра этого соединения двух кубов в один, который вы назвали «увенчанным ку­бом».

Учитель. Объясните.

Ро. «Увенчанный куб» представляет многогранник, со­стоящий из двух кубов, припаянных один к другому. Вы согласны?

Учитель. Не возражаю.

Ро. Тогда вы неправильно понимаете термин «припа­янный». «Припой» состоит из ребер, связывающих верши­ны нижнего квадрата маленького куба с соответствующими вершинами верхнего квадрата большого куба. Поэтому во­обще не существует никаких кольцеобразных граней.

Бета. Кольцеобразная грань здесь существует! Рас­секающих ребер, о которых вы говорите, здесь нет!

Ро. Они только скрыты от вашего ненатренированного глаза (рис. 14, в) …

Бета. Неужели вы думаете, что мы всерьез примем ваши аргументы? Я вижу здесь только суеверие, а ваши «скрытые» ребра неужели это реальность?

Ро. Посмотрите на этот кристалл соли. Скажете ли вы, что это куб?

Бета. Конечно.

Ро. Куб имеет 12 ребер, не так ли?

Бета. Да, имеет.

Ро. Но на этом кубе вообще нет никаких ребер. Они скрыты. Они появляются только в нашей рациональной реконструкции.

Бета. Я подумаю насчет этого. Ясно только одно. Учитель критиковал мою самоуверенную точку зрения, что мой метод приводит к определенности, а также то, что я забыл о доказательствах. Эта критика вполне подойдет и к вашему «исправлению монстров», и к моему «устране­нию ошибок».

Учитель. А как вы, Дельта? Как вы будете закли­нать кольцеобразные грани?

Дельта. Я не буду. Вы обратили меня в вашу веру. Я только удивляюсь, почему вы не добиваетесь полной уверенности и не включаете также и пренебреженную третью лемму? Я предлагаю четвертую и, надеюсь, окончательную формулировку: «эйлеровыми являются все многогранники, которые будут (а) простыми, (b) имеют только односвязные грани и (с) таковы, что треугольники плоской треугольной сети, полученной после растягивания на плоскости и триангулирования, могут быть так перену­мерованы, что при устранении их в определенном порядке V—E+F не изменится до достижения последнего тре­угольника». Я удивляюсь, почему вы не предложили этого сразу. Если вы действительно принимаете серьезно ваш метод, то вы все леммы должны превратить непосредственно в условия. Почему такое «постепенное построение»?

Альфа. Консерватор обратился в революционера! Ваш совет кажется мне слишком утопичным. Потому что ровно трех лемм не существует. А то почему бы не доба­вить вместе со многими другими еще и такие: (4) «если 1 + 1 = 2» и (5) «если все треугольники имеют три вершины и три угла», так как мы, конечно, эти леммы тоже исполь­зуем? Я предлагаю в условия превратить только те леммы, для которых был найден контрапример.

Гамма. Мне кажется, что принять это в качестве методологического правила будет слишком оппортунистич­ным. Включим в целое только те леммы, против которых мы можем ожидать контрапримера, т. е. такие, которые, очевидно, не будут несомненно истинными.

Дельта. Ну, хорошо, кажется ли кому-нибудь впол­не очевидной наша третья лемма? Превратим ее в третье условие.

Гамма. А что если операции, выраженные леммами нашего доказательства, не будут все независимыми? Если выполнимы некоторые из этих операций, то может случиться, что и остальные будут необходимо выполнимы­ми. Я например, подозреваю, что если многогранник простой, то всегда существует такой по­рядок устранения треугольников в полу­чающейся плоской сети, что V — Е + F не изменяется. А если так, то инкорпорирование в до­гадку первой леммы избавит нас от инкорпорирования третьей.

Дельта. Вы считаете, что первое условие предпола­гает третье. Можете ли вы доказать это?

Эпсилон. Я могу.

Альфа. Действительное доказательство, как бы оно интересно ни было, не может помочь нам в решении нашей задачи: как далеко должны мы идти в исправлении нашей догадки? Охотно допускаю, что вы действительно имеете такое доказательство, как говорите, но это только заставит нас разложить эту третью лемму на несколько новых подлемм. Должны ли мы и их превратить в условия? Где же тогда мы остановимся?

Каппа. В доказательствах существует бесконечный спуск; поэтому доказательства не доказывают. Вы должны понять, что доказывание представляет игру, в которую играют, пока это доставляет удовольствие, и прекращают, когда устанешь.

Эпсилон. Нет, это не игра, а серьезное дело. Беско­нечный спуск может быть задержан тривиально истинны­ми леммами, которые уже не надо превращать в условия.

Гамма. Вот я как раз так и думаю. Мы не обращаем в условия те леммы, которые могут быть доказаны на ос­новании тривиально истинных принципов. Также мы не инкорпорируем те леммы, которые могут быть доказаны (возможно с помощью таких тривиально истинных принци­пов) на основании ранее установленных лемм.

Альфа. Согласен. Мы можем прекратить исправле­ние нашей догадки после того, как превратим в условия эти две нетривиальные леммы. Я действительно думаю, что та­кой метод исправления при помощи включения лемм не имеет недостатков. Мне кажется, что он не только исправляет, но даже совершенствует догадку. И я отсюда узнал нечто важное, а именно, что неправильно будет утверждать, что целью «задачи на доказательство» являет­ся заключительный показ, будет ли некоторое ясно сфор­мулированное утверждение истинным или что оно будет ложным[61]. Настоящей целью «задачи на дока­зательство» должно быть исправление — фактически усовершенствование — первоначальной «наивной» догадки в подлинную «теорему». Нашей наивной догадкой была: «Все многогранники являются эйлеровыми».

Метод устранения монстров защищает эту наивную до­гадку при помощи истолкования ее терминов таким обра­зом, что под конец мы получаем теорему, устраня­ющую монстры: «Все многогранники являются эйле­ровыми». Но тождественность лингвистических выражений наивной догадки и теоремы, устраняющей монстры, кро­ме тайных изменений в смысле терминов, скрывает и су­щественное улучшение.

Метод устранения исключений вводит элемент, являю­щийся фактически чуждым аргументации: выпуклость. Устраняющая исключения теорема была: «Все выпуклые многогранники являются эйлеровыми».

Метод включения лемм основывался на аргументации, т.е. на доказательстве — и ни на чем другом. Он как бы резюмирует доказательство в теореме, включающей леммы: «Все простые многогранники с односвязными гранями являются эйлеровыми».

Это показывает, что (теперь я употребляю термин «до­казывание» в традиционном смысле) человек не до­казывает того, что он намеревался дока­зать. Поэтому ни одно доказательство не должно кон­чаться словами: «Quod erat demonstrandum».

Бета. Одни говорят, что в порядке открытия теоремы предшествуют доказательствам: «Прежде чем доказать тео­рему, надо угадать ее». Другие отрицают это и считают, что открытие совершается путем вывода заключений из специально установленного ряда предпосылок и выделения интересных заключений, если нам посчастливится найти их. Или, если использовать прекрасную метафору одного из моих друзей, некоторые говорят, что эвристическое «за­стегивание молнии» в дедуктивной структуре идет сни­зу — от заключения — кверху —- к посылкам, другие же говорят, что оно идет вниз — от вершины ко дну. Как дума­ете вы?

Альфа. Что ваша метафора неприложима к эвристи­ке. Открытие не идет ни вниз, ни вверх, но следует по зиг­загообразному пути: толкаемое контрапримерами, оно дви­жется от наивной догадки к предпосылкам и потом воз­вращается назад, чтобы уничтожить наивную догадку и заменить ее теоремой. Интуитивная догадка и контрапримеры не выявляются во вполне готовой дедуктивной структуре: в окончательном продукте нельзя различить зигзаг открытия.

Учитель. Очень хорошо. Однако добавим из осто­рожности, что теорема не всегда отличается от наивной догадки. Мы не всегда обязательно исправляем доказывая. Доказательства могут исправлять, когда их идея открывает в наивной догадке неожиданные аспекты, которые потом появляются в теореме. Но в зрелых теориях так может и не быть. Так наверняка бывает в молодых растущих теориях. Первичной характеристикой последних является именно это переплетение открытия и подтверждения, ис­правления и доказательства.

Каппа (в сторону). Зрелые теории могут быть омоло­жены. Открытие всегда заменяет подтверждение.

Сигма. Эта классификация соответствует моей. Пер­вый вид моих предложений был зрелого типа, третий же растущего…

Гамма (прерывает его). Теорема неверна! Я нашел для нее контрапример.

5. Критика анализа доказательства контрапримерами, являющимися глобальными, но не локальными. Проблема строгости.

а) Устранение монстров в защиту теоремы

Гамма. Я только что понял, что мой контрапри­мер 5 с цилиндром опровергает не только наивную догад­ку, но также и теорему. Хотя он удовлетворяет обеим лем­мам, он все же неэйлеров.

Альфа. Дорогой Гамма, не будьте чудаком. Пример с цилиндром был шуткой, а не контрапримером. Ни один серьезный математик не будет считать цилиндр много­гранником.

Гамма. Почему же тогда вы не протестовали против контрапримера 3 — моего «морского ежа?» Разве он менее «чуден», чем мой цилиндр? Конечно, тогда вы критиковали наивную догадку и приветствовали опро­вержения. Теперь защищаете теорему и ненавиди­те опровержения! Тогда при появлении контрапримера вы ставили вопрос, в чем недостаток предполо­жения. Теперь спрашиваете, в чем недостаток контрапримера.

Дельта. Альфа, вы обратились в устранителя мон­стров? Это вас не смущает?[64]

б) Скрытые леммы

Альфа. Согласен. Я, может быть, несколько поторопил­ся. Дайте подумать: имеются три возможных ти­па контрапримеров. Мы уже обсудили — пер­вый — локальный, но не глобальный — он, конечно, не опровергает теоремы[65]. Вторым типом заниматься не надо; он одновременно и глобальный, и локальный. Он вовсе не опровергает теорему, а подтверждает ее[66]. Теперь мы име­ем третий тип — глобальный, но не локальный. Он, ко­нечно, опровергает теорему. Я не считал это возможным. Но Гамма думает, что его цилиндр как раз таким и будет. Если мы не хотим отбросить его как монстр, то должны до­пустить, что он является глобальным контрапримером: V - Е + F = 1. Но, может быть, он принадлежит ко вто­рому безобидному типу? Бьюсь об заклад, что он не удо­влетворит по крайней мере одной из наших лемм.

Гамма. Проверим. Он, конечно, удовлетворяет пер­вой лемме; если я выну грань-основание, то легко могу рас­тянуть остальное на доске.

Альфа. Но если вы удалите боковую оболочку, то он распадется на два куска!

Гамма. Ну и что же? Первая лемма требует, чтобы многогранник был «простым», т. е. «чтобы по удалении од­ной грани его можно было растянуть па доске». Цилиндр удовлетворяет этому требованию, даже если вы начнете с отнимания оболочки. Вы требуете, чтобы цилиндр удо­влетворял добавочной лемме, а именно, чтобы полу­чающаяся плоская сетка была тоже связ­ной. Но кто выдвигал когда-нибудь такую лемму?

Альфа. Всякий слово «растянут» понимал как «рас­тянутый одним куском», «растянутый без разрывов». Мы решили не включать третью лемму, так как Эп­силон доказал, что она вытекает из двух первых. Но посмотрите на доказательство: оно основано на допущении, что после растягивания получается связная сеть. Ина­че для триангулированной сети V - Е + F не будет 1.

Гамма. Почему же вы тогда не настаивали на том, чтобы выразить ее явно?

Альфа. Потому что мы считали, что это подразуме­вается само собой.

Гамма. Вы-то как раз наверняка так и не считали. Ведь вы предположили, что «простой» понимается как «могущий быть сжатым в шарик». Цилиндр может быть сжат в шарик, следовательно, по вашей интер­претации, он удовлетворяет первой лемме.

Альфа. Хорошо… Но вы должны сознаться, что он не удовлетворяет второй лемме, что любая грань, рас­сеченная диагональю, распадается на два куска. Как вы будете триангулировать круг или оболочку? Односвязны ли эти грани?

Гамма. Конечно.

Альфа. Но на цилиндре диагоналей вообще не про­ведешь! Диагональ представляет собой ребро, связываю­щее две прилежащих вершины. А у цилиндра нет вершин!

Гамма. Не волнуйтесь. Если вы хотите показать, что круг не односвязен, то проведите диагональ, которая не образует новой грани.

Альфа. Не смейтесь; вы очень хорошо знаете, что я не могу.

Гамма. Тогда допускаете ли вы, что утверждение «в круге имеется диагональ, не образующая новой грани» ложно?

Альфа. Да, допускаю. Ну и что же?

Гамма. Тогда вы обязаны допустить, что отрицание этого суждения будет истинным, а именно, что «все диаго­нали круга производят новую грань», или, что «круг односвязен».

Альфа. Для вашей леммы: «все диагонали круга про­изводят новую грань» вы не можете привести примера, по­этому ваша лемма не истинна, а лишена смысла. Ваше понимание истины ложно.

Каппа (в сторону). Сначала они ссорились из-за по­нятия многогранника, а теперь из-за понятия истины.

Гамма. Но вы уже допустили, что отрицание этой леммы было ложным! Может ли предложение А не иметь смысла, а не-А иметь смысл и быть ложным? В вашем понимании «смысла» что-то не в по­рядке.

Заметьте, я вижу ваше затруднение, но мы можем преодолеть его, изменив слегка формулировку. Назовем грань односвязной в случае, когда «для всех x, если x есть диагональ, то x разрежет грань на две части». Ни круг, ни оболочка не могут иметь диагоналей, так что в их случае при всяком x первая посылка будет всегда ложной. Поэтому условное предложение может быть проверено примером для любого предмета и будет и имеющим смысл, и истинным. Но и круг, и оболочка односвязны — значит цилиндр удовлетворяет второй лемме.

Альфа. Нет! Если вы не можете проводить диагона­ли и тем самым триангулировать грани, то никогда не по­лучите плоской треугольной сетки и никогда не сможете завершить доказательство. Как же можете тогда требовать, чтобы цилиндр удовлетворял второй лемме? Разве вы не видите, что в лемме должно быть условие суще­ствования? Правильная интерпретация односвязности грани должна быть такой: «Для всех х, если х есть диагональ, то х сечет грань надвое; и име­ется по крайней мере один х, который бу­дет диагональю». Наша первоначальная формулиров­ка, возможно, не выразила этого словами, но в ней было сделанное бессознательно «скрытое допущение»[70].

Все грани цилиндра не удовлетворяют ему; следова­тельно, цилиндр будет противоречащим примером, являю­щимся одновременно и глобальным, и локальным и он не опровергает теоремы.

Гамма. Вы сначала модифицировали лемму о растя­гивании введением «связности», а теперь и триангуляцион­ную лемму введением вашего условия существования! И все эти темные разговоры о «скрытых допущениях.» толь­ко скрывают тот факт, что мой цилиндр заставил вас изо­брести эти модификации.

Альфа. Зачем темные разговоры? Мы уже согласи­лись опускать, т. е. «скрывать», тривиально ясные леммы. Зачем же нам тогда устанавливать и включать тривиально ложные леммы — они также тривиальны и также скучны! Держите их у себя в уме, но не формулируйте. Скрытая лемма не является ошибкой: это искусная стено­графия, указывающая на наше знание основ.

Каппа (в сторону). Знание основ — это когда мы до­пускаем, что знаем все, а в действительности не знаем ничего.

Гамма. Если бы вы сознательно ввели предположе­ния, то они были бы таковы: (а) вынимание грани всегда оставляет связную сеть и (в) всякая нетреугольная грань может быть диагоналями разделена на треугольники. Пока они были в вашем подсознании, они считались тривиально истинными, но цилиндр заставил их пере­скочить в сознательный ваш перечень в качестве тривиально ложных. Пока вы не были уличены цилиндром, вы даже не могли думать, чтобы эти две лем­мы могли быть ложными. Если теперь вы говорите, что вы так думали, то вы переписываете историю, чтобы очистить ее от ошибки.

Тета. Не так давно, Альфа, вы осмеивали «скры­тые» дополнительные условия, которые вырастали в опре­делениях Дельты после каждого опровержения. А теперь это вы делаете «скрытые» дополнительные условия в лем­мах после каждого опровержения; это вы меняете свою позицию и стараетесь скрыть ее, чтобы спасти лицо. Вас это не смущает?

Каппа. Ничто не может так меня позабавить, как припертый к стене догматик. Надевши платье воинствую­щего скептика для уничтожения меньших порослей догма­тизма, Альфа теперь приходит в волнение, когда в свою очередь он тоже загоняется в угол такими же скептиче­скими аргументами. Теперь он играет ва-банк, пытаясь одолеть контрапримеры Гаммы сначала при помощи за­щитного механизма, который он сам же обличил и запре­тил (устранение монстров), а затем проведя контрабандой резерв «скрытых лемм» в доказательство и соответствую­щих «скрытых условий» в теорему. Так в чем же разница?

Учитель. Помехой для Альфы был, конечно, догма­тический подход в его истолковании включения лемм. Он думал, что тщательное рассмотрение доказательства может дать совершенный анализ доказательства, содержащий все ложные леммы (так же, как и Бета думал, что он мо­жет перечислить все исключения). Он думал, что при по­мощи их включения может получить не только улучшен­ную, но и вполне совершенную теорему, не заботясь о контрапримерах. Цилиндр показал ему, что он не прав, но, вместо того чтобы допустить это, он теперь хочет назвать полным анализ доказательства, если он содержит все относящиеся сюда ложные леммы.

в) Метод доказательств и опровержений

Гамма. Я предлагаю принять цилиндр в качестве на­стоящего контрапримера для рассматриваемой теоремы. Я изобретаю новую лемму (или леммы), которая этим примером опровергается, и добавляю эту лемму (леммы) к первоначальному списку. Это как раз и делал Альфа. Но, вместо того чтобы «скрывать» их так, чтобы они сдела­лись скрытыми, я возвещаю их публично.

Теперь цилиндр, ставивший ранее в тупик,— опасный глобальный, а не локальный контрапример (третьего типа) по отношению к старому анализу доказательства и соот­ветствующей старой теореме, этот цилиндр станет безопас­ным глобальным и одновременно локальным контрапримером (второго типа) по отношению к новому ана­лизу доказательства и соответствующей новой теореме.

Альфа думал, что его классификация контрапримеров была абсолютной; в действительности же она относилась только к его анализу доказательства. По мере роста ана­лиза доказательства контрапримеры третьего типа превра­щаются в контрапримеры второго типа.

Ламбда. Это верно. Анализ доказательства будет «строгим», или «имеющим силу», и соответствующая мате­матическая теорема — истинной тогда и только тогда, если не будет для них контрапримеров третьего типа. Я назы­ваю этот критерий принципом обратной пере­дачи ложности, так как он требует, чтобы глобаль­ные контрапримеры были также локальными: ложность должна быть передана обратно от интуитивной догадки к леммам, от последующей части теоремы к предшествую­щей. Если какой-нибудь глобальный, но не локальный контрапример нарушает этот принцип, мы восстанавливаем его добавлением к анализу доказательства подходящей леммы. Таким образом, принцип обратной передачи лож­ности является регулятивным принципом для анализа доказательства in statu nascendi (в сстоянии зарождения), а глобальный, но не локальный контрапример — ферментом в росте ана­лиза доказательства.

Гамма. Вспомните, раньше, даже не найдя ни од­ного опровержения, мы все же сумели обнаружить три по­дозрительные леммы и продвинуться в анализе доказа­тельства!

Ламбда. Это верно. Анализ доказательства может начинаться не только под давлением глобальных контрапримеров, но также и когда люди уже выучились остере­гаться «убедительных» доказательств.

В первом случае все глобальные контрапримеры появляются в виде контрапримеров третьего типа и все леммы начинают свою карьеру в качестве «скрытых лемм». Они приводят нас к постепенному построению анализа доказательства и так один за другим превращаются в кон­трапримеры второго типа.

Во втором случае — когда мы уже начинаем подозревать и ищем опровержений,— мы можем прийти к далеко зашедшему вперед анализу доказательства без всяких контрапримеров. Тогда мы имеем две возможности. Первая возможность состоит в том, что нам при помощи локальных контрапримеров удастся опро­вергнуть все леммы, содержащиеся в нашем анализе доказательства. Мы можем установить, как следует, что они будут также глобальными контрапримерами.

Альфа. Вот именно так я и открыл раму картины: я искал многогранник, который после удаления одной гра­ни не мог быть развернут в один лист на плоскости.

Сигма. Тогда не только опровержения действуют как ферменты для анализа доказательства, но и анализ дока­зательства может действовать как фермент для опроверже­ния. Какой нехороший союз между кажущимися врагами!

Ламбда. Это верно. Если догадка кажется вполне допустимой или даже самоочевидной, то должно доказать ее; может оказаться, что она основана на весьма софисти­ческих и сомнительных леммах. Опровержение лемм мо­жет привести к какому-нибудь неожиданному опроверже­нию первоначальной догадки.

Сигма. К опровержениям, порожденным доказатель­ством!

Гамма. Тогда «мощь логического доказательства за­ключается не в том, что оно принуждает верить, а в том, что оно наводит на сомнения».

Ламбда. Но позвольте мне вернуться ко второй возможности: когда мы не находим никаких локаль­ных контрапримеров для подозреваемых лемм.

Сигма. То есть когда опровержения не помогают ана­лизу доказательства. Что же тогда может случиться?

Ламбда. Мы тогда окажемся общепризнанными чу­даками. Доказательство приобретает абсолютную респек­табельность и леммы сбросят всякое подозрение. Наш ана­лиз доказательства скоро будет забыт. Без опровержений нельзя поддерживать подозрение; прожектор подозрения скоро выключается, если контрапример не усиливает его, направляя яркий свет опровержения на пренебреженный аспект доказательства, который остался незамеченным в сумерках «тривиальной истины».

Все это показывает, что мы не можем поместить дока­зательство и опровержение на отдельные полочки. Вот почему я предлагаю наш «метод включения лемм» перекрестить в «метод доказательств и опровержений». Позвольте мне выразить его основ­ные черты в трех эвристических правилах.

Правило 1. Если вы имеете какую-нибудь догадку, то попробуйте доказать ее и опровергнуть ее. Тщательно рассмотрите доказательство, чтобы приготовить список не­тривиальных лемм (анализ доказательства); найдите кон­трапримеры и для догадки (глобальные контрапримеры) и для подозрительных лемм (локальные контрапримеры).

Правило 2. Если у вас есть глобальный контрапри­мер, то устраните вашу догадку, добавьте к вашему анали­зу доказательства подходящую лемму, которая будет опро­вергнута им, и замените устраненную догадку исправлен­ной, которая включила бы эту лемму как условие[78]. Не позволяйте отбрасывать опровержения как монстры[79]. Сде­лайте явными все «скрытые леммы».

Правило 3. Если у вас есть локальный контрапри­мер, то проверьте его, не будет ли он также глобальным контрапримером. Если он будет им, то вы можете легко применить правило 2.

г) Доказательство против анализа доказательства. Релятивизация понятий теоремы и строгости в анализе доказательства

Альфа. Что в вашем Правиле 2 вы подразумевали под термином «подходящая»?

Гамма. Это совершенно безразлично. Может быть до­бавлена любая лемма, которая отвергается рассматриваемым контрапримером: любая такая лемма восстановит силу анализа доказательства.

Ламбда. Что такое! Значит, лемма вроде— «Все мно­гогранники имеют но крайней мере 17 ребер» — будет иметь отношение к цилиндру! И всякая другая случайная догадка ad hoc будет вполне пригодной, если только ее можно будет отвергнуть при помощи контрапримера.

Гамма. А почему нет?

Ламбда. Мы уже критиковали устранителей монст­ров и исключений за то, что они забывают о доказательст­вах. А теперь вы делаете то же самое, изобретая настоящий монстр: анализ доказательства без дока­зательства! Единственная разница между вами и устранителем монстров состоит в том, что вы хотели бы заставить Дельту сделать явными свои произвольные опре­деления и включить их в теорему в качестве лемм. И нет никакой разницы между устранением исключений и вашим анализированием доказательства. Единственным предохра­нителем против таких методов ad hoc будет употребление подходящих лемм, т. е. лемм, соответствующих духу мысленного эксперимента! Или вы хотите изгнать из мате­матики доказательства и заменить их глупой формальной игрой?

Гамма. Лучше это, чем ваш «дух мысленного экспе­римента»! Я защищаю объективность математики против вашего психологизма.

Альфа. Благодарю вас, Ламбда, вы снова поставили мой вопрос: новую лемму не изобретают с потолка, чтобы справиться с глобальным, но не локальным контрапримером; скорее, с усиленной тщательностью рассматри­вают доказательство и в нем открывают эту лемму. Поэтому я, дорогой Тета, не делал скрытых лемм и я, дорогой Каппа, не проводил их «контрабандой» в доказа­тельство. Доказательство содержит все такие леммы, но зрелый математик понимает все доказательство уже по короткому очерку. Мы не должны смешивать непогре­шимое доказательство с неточным анали­зом доказательства. Все еще существует неопро­вержимая главная теорема — «Все многогранни­ки, над которыми можно выполнить мыслен­ный эксперимент, или, короче, все многогранники Коши будут эйлеровыми». Мой при­близительный анализ доказательства провел погранич­ную линию для класса многогранников Коши карандашом, который — я допускаю — не был особенно острым. Теперь эксцентрические контрапримерьт учат нас острить наш ка­рандаш. Но, во-первых, ни один карандаш не яв­ляется абсолютно острым (и если мы переострим его, то он сломается), и, во-вторых, затачивание ка­рандаша не является творческой матема­тикой.

Гамма. Я сбился с толку. Какова же ваша позиция? Сначала вы были чемпионом по опровержениям.

Альфа. Ох, мне все больнее! Зрелая интуиция сме­тает в сторону споры.

Гамма. Ваша первая зрелая интуиция привела вас к «совершенному анализу доказательства». Вы думали, что ваш «карандаш» был абсолютно острым.

Альфа. Я забыл о трудностях лингвистических свя­зей — особенно с педантами и скептиками. Но сердцем математики является мысленный эксперимент — доказа­тельство. Его лингвистическая артикуляция — анализ до­казательства — необходима для сообщения, но не относит­ся к делу. Я заинтересован в многогранниках, а вы в языке. Разве вы не видите бедности ваших контрапримеров? Они лингвистичны, но не многогранны.

Гамма. Тогда опровержение теоремы только выдает нашу неспособность понять ее скрытые леммы? Такая «тео­рема» будет бессмысленна, пока мы не поймем ее доказа­тельства?

Альфа. Так как расплывчатость языка делает недо­стижимой строгость анализа доказательства и превращает образование теорем в бесконечный процесс, то зачем же беспокоиться о теореме? Работающие матема­тики этого, конечно, не делают. Если будет приведен еще какой-нибудь незначительный контрапример, то они не до­пустят, чтобы их теорема была отвергнута, но самое боль­шее, что «область ее применимости должна быть подходя­щим образом сужена».

Ламбда. Итак, вы не заинтересованы ни в контрапримерах, ни в анализе доказательства, ни во включении лемм?

Альфа. Это правда. Я отбрасываю все ваши правила. Вместо них я предлагаю только одно единственное: строй­те строгие (кристально ясные) доказатель­ства.

Ламбда. Вы придерживаетесь мнения, что стро­гость анализа доказательства недостижи­ма. А достижима ли строгость доказательства? Разве «кристально ясные» мысленные эксперименты не могут привести к парадоксальным или даже противоречи­вым результатам?

Альфа. Язык расплывчат, но мысль может достичь абсолютной строгости.

Ламбда. Но ведь ясно, что «на каждой стадии эволю­ции наши отцы думали, что они достигли ее. Если они об­манывали себя, то разве и мы также не плутуем сами с собой?»

Альфа. «Сегодня достигнута абсолютная стро­гость».  (Смех в аудитории)[84].

Гамма. Эта теория «кристально ясного» доказатель­ства представляет чистый психологизм.

Альфа. Все же лучше, чем логико-лингвистический педантизм вашего анализа доказательства.

Ламбда. Отбросив бранные слова, я тоже являюсь скептиком в отношении вашего понимания математики как «существенно безъязычной деятельности ума». Каким образом деятельность может быть истинной или ложной? Только членораздельная мысль может питать исти­ну. Доказательство может быть недостаточным: нам также надо установить, что доказывает доказательство. Доказа­тельство представляет только одну стадию работы матема­тика, за которой следует анализ доказательства и опровер­жения и которая заключается строгой теоремой. Мы долж­ны комбинировать «строгость доказательства» со «строгостью анализа доказательства».

Альфа. Вы все еще надеетесь, что в конце дойдете до совершенно строгого анализа доказательства? Если так, то скажите мне, почему вы, «стимулированные» цилиндром, не начали с формулировки вашей новой теоремы? Вы толь­ко указали ее. Ее длина и сложность заставили бы нас смеяться от отчаяния. И это только после первого из ваших новых контрапримеров! Вы заменили нашу первона­чальную теорему последовательностью все более точных теорем,— но только в теории. А как относительно практики этой релятивизации? Все более и более экс­центрические контрапримеры будут учитываться все более тривиальными леммами, давая «порочную бесконеч­ность» все более длинных и сложных теорем[89]. Если мы чувствовали животворность критики, когда она казалась приводящей к истине, то теперь, когда она вообще разру­шает всякую истину и гонит нас бесконечно и бесцельно, она, конечно, будет разочаровывающей. Я останавливаю эту порочную бесконечность в мысли, но в языке вы никогда не остановите ее.

Гамма. Но я никогда не говорил, что здесь необходи­мо бесконечное множество контрапримеров. В не­котором пункте мы можем дойти до истины и тогда поток опровержений прекратится. Но, конечно, мы не будем знать, когда это будет. Решающими являются только опро­вержения — доказательства же относятся к области психо­логии.

Ламбда. Я все-таки верю, что свет абсолютной досто­верности вспыхнет, когда взорвутся опровержения!

Каппа. А взорвутся ли они? А что если Бог так со­здал многогранники, что все правильные общие их опреде­ления, формулированные человеческим языком, будут бес­конечно длинными? Разве не будет богохульным антропо­морфизмом предполагать, что (божеские) верные теоремы обладают конечной длиной?

Будьте откровенны; по той или другой причине нам всем надоели опровержения и складывание теорем по ку­сочкам. Почему бы нам не сказать «шабаш» и прекратить игру? Вы уже отказались от «Quod erat demonstrandum». Почему бы не отказаться также и от «Quod erat demonstratum»[90]? Ведь истина только для Бога.

Тета (в сторону). Религиозный скептик — худший враг науки!

Сигма. Не будем чрезмерно драматизировать! В конце концов дело идет лишь об узкой полутени неясности. Про­сто, как я сказал раньше, не все предложения бу­дут или истинными, или ложными. Есть и тре­тий класс, который я хотел бы теперь назвать «более или менее строгими».

Тета (в сторону). Трехзначная логика — конец кри­тического рационализма!

Сигма… и мы область их применимости определяем с более или менее адекватной строгостью.

Альфа. Адекватной чему?

Сигма. Адекватной решению задачи, которую мы хо­тим решить.

Тета (в сторону). Прагматизм! Разве уж все потеря­ли интерес к истине?

Каппа. Или адекватной Zeitgeist (Духу времени - Пер.)! «Довлеет дневи строгость его»[91] 83.

Тета. Историзм! (Падает в обморок.)

Альфа. Правила Ламбды для «строгого анализа доказательства» лишают математику ее красоты, дарят нам дотошный педантизм длинных, сложных теорем, наполняющих скучные толстые книги, и могут даже при случае посадить нас в порочную бесконечность. Каппа ищет выхода в условности, Сигма в математическом праг­матизме. Какой выбор для рационалиста!

Гамма. Должен ли такой рационалист насладиться «строгими доказательствами» Альфы, его не­членораздельной интуицией, «скрытыми леммами», осмея­нием принципа обратной передачи ложности и исключени­ем опровержений? Должна ли математика не иметь ника­ких отношений с критицизмом и логикой?

Бета. Во всяком случае я устал от всей этой, не при­водящей к решению, словесной грызни. Я хочу заниматься математикой и я не заинтересован философскими трудно­стями оправдания ее оснований. Даже если рассудок не в состоянии дать такое оправдание, то меня успокаивает мой природный инстинкт[92].

Я чувствую, что у Омеги есть интересная коллекция возможных доказательств — я лучше бы послушал их.

Омега. Но я помещу их в «философскую» оболочку!

Бета. Мне нет дела до упаковки, если внутри имеется что-нибудь.

Замечание.

 В этом отделе я попытался показать, каким образом выступление математического критицизма было движущей силой в поисках «оснований» математики.

Сделанное нами различие между доказательством и анализом доказательства и соответствующее различение строгости доказательства и стро­гости анализа доказательства, по-видимому, является решающим. Около 1800 г. строгость дока­зательства (кристально ясный мысленный экспери­мент или конструкция) противопоставлялась путаной аргу­ментации и индуктивному обобщению. Именно это подразу­мевал Эйлер под термином «rigida demonstratio», и на этом понятии была основана идея Канта о непогрешимой мате­матике [см. его пример математического доказательства в книге (1781), стр. 716—717]. Точно так же думали, что человек доказывает то, что он вознамерился доказать. Ни­кому не приходило в голову, что словесное выражение мыс­ленного эксперимента сопряжено с какой-нибудь реальной трудностью. Аристотелева формальная логика и математи­ка были двумя совершенно раздельными дисциплинами — математики считали первую совершенно бесполезной. До­казательство мысленного эксперимента имело полную убе­дительность без какой-нибудь формы «логической» струк­туры.

В начале XIX в. поток контрапримеров вызвал смуще­ние. Так как доказательства были кристально ясными, то опровержения должны были быть занятными шалостями, должны быть полностью отделены от несомненных дока­зательств. Введенная Коши революция строгости базировалась на эвристическом нововведении, что матема­тик не должен останавливаться на доказательстве: он дол­жен пойти вперед и выяснить, что именно он доказал пу­тем перечисления исключений, или, лучше, установления безопасной области, в пределах которой доказательство является справедливым. Но Коши — или Абель — не видели какой-либо связи между обеими задачами. Им ни когда не приходило в голо­ву, что если они открыли исключение, то им следовало бы еще раз обратить внима­ние на доказательство. (Другие практиковали устранение или приспособление монстров, или даже «за­крывали глаза» — но все соглашались, что доказательство представляет табу и не может иметь никакого дела с «исключениями».)

Происшедший в XIX в. союз логики и математики имел два основных источника: неевклидову геометрию и вейерштрассову революцию строгости. Этот союз привел к объединению доказательства (мысленного эксперимента) и опровержений и дал возможность разви­вать анализ доказательства, постепенно вводя дедук­тивные формы в мысленный эксперимент доказательства. Эвристическим нововведением было то, что мы назвали «методом доказательства и опровержений»: оно впер­вые соединило логику и математику. Вейерштрассова строгость одержала победу над ее реакционными оппонентами с устранениями монстров и скрытыми лемма­ми, которые пользовались лозунгами вроде «скуки от стро­гости», «искусственности против красоты» и т. д. Стро­гость анализа доказательства стала выше строгости доказательства, но большинство ма­тематиков мирилось с таким педантизмом лишь до тех пор, пока он обещал им полную достоверность.

Теория множеств Кантора, давшая еще одну жатву неожиданных опровержений «строго доказанных» теорем, обратила многих членов старой гвардии Вейерштрасса в догматиков, всегда готовых сражаться с «анархистами» при помощи устранения новых монстров или отыскания «скрытых лемм» в их теоремах, которые представляли последнее слово строгости, и в то же время карали «реак­ционеров» более старого типа за такие же грехи.

Затем некоторые математики поняли, что стремление к строгости анализа доказательства в методе доказатель­ства и опровержений ведет к порочной бесконечности. Началась «интуиционистская» контрреволюция; разру­шающий логико-лингвистический педантизм анализа доказательства был осужден и для доказательства были изобретены новые экстремистские стандарты строгости, математика и логика были разведены еще раз.

Логики пытались снасти это супружество и провали­лись на парадоксах. Гильбертова строгость превратила математику в паутину анализов доказательства и потребовала остановки их бесконечных спусков путем кристально ясной совместимости доказательств с интуиционистской метатеорией. «Обосновательный слой», область не подлежащего критике предварительно­го знания (Uncriticisable familiarity), переместился в мы­сленные эксперименты математики. (См. Lakatos, 1962, стр. 179-184.)

При каждой «революции строгости» анализ доказа­тельства проникал, все глубже в доказательства вплоть до «обосновательного слоя» (foundational layer) хорошо знакомого основного знания (familiar background knowledge) , где верховно правила кристально ясная ин­туиция, строгость доказательства, а критика изгонялась. Таким образом, различные уровни строгости отличаются только местом, где они про­водят линию между строгостью анализа доказательства и строгостью доказатель­ства, т. е. местом, где должен остановиться критицизм и должно начаться подтвержде­ние. «Достоверность» никогда не может быть достигнута, «основания» никогда не могут быть обоснованы, но «хит­рость разума» превращает всякое увеличение строгости в увеличение содержания, в цель математики. Но эта история лежит вне пределов настоящего исследования.

6. Возвращение к критике доказательства при помощи контрапримеров, которые являются локальными, но не глобальными. Проблема содержания

а) Возрастание содержания при более глубоких доказательствах

Омега. Мне нравится у Ламбды его метод доказа­тельства и опровержений и я разделяю его веру, что как-нибудь мы сможем окончательно дойти до строгого ана­лиза доказательства и таким образом до достоверно истин­ной теоремы. Но даже и так сам наш метод создает новую задачу: анализ доказательства при возраста­нии достоверности уменьшает содержание. Каждая новая лемма в анализе доказательства, каждое соответствующее .новое условие в теореме уменьшают область ее применения. Возрастающая строгость приме­няется к уменьшающемуся числу многогранников. Разве включение лемм не повторяет ошибки, которую сделал Бета в игре на безопасность? Разве мы тоже не смогли бы «отступить слишком радикально, оставляя вне стен большое количество эйлеровых многогранников»? В обо­их случаях мы могли бы вместе с водой выплеснуть и: ре­бенка. Мы должны иметь противовес против уменьшающего содержание давления стро­гости.

Мы уже сделали несколько шагов в этом направле­нии. Позвольте мне напомнить вам о двух случаях и снова исследовать их.

Один случай мы имели, когда впервые натолкнулись на локальные, но не глобальные примеры[94]. Гамма опро­верг третью лемму в нашем первом анализе доказатель­ства (именно, что «при вынимании треугольников из плоской триангулированной сети мы встречаемся только с двумя возможностями: или мы вынимаем одно ребро, или же мы вынимаем два ребра и вершину»). Он вынул треугольник из середины сети, не вынимая ни одного ребра или вершины.

Мы имели тогда две возможности. Первая состоя­ла во включении ложной леммы в теорему. Это было бы совершенно правильной процедурой по отношению к до­стоверности, но так нехорошо уменьшило область при­менения нашей теоремы, что ее можно было бы применить только к тетраэдру. Вместе с контрапримерами мы выбросили бы и все наши примеры, кроме одного.

Поэтому мы разумно приняли вторую возможность: вместо сужения области теоремы вследствие включе­ния леммы мы расширили ее, заменив лемму, сде­ланную ложной, другой, не являющейся таковой. Но этот существенный образец формирования теоремы был скоро забыт, и Ламбда не позаботился о том, чтобы сфор­мулировать его в качестве эвристического правила. Оно было бы таким:

Правило 4. Если вы имеете контрапример, являю­щийся локальным, но не глобальным, попробуйте испра­вить ваш анализ доказательства, заменив отвергнутую лемму неопровергнутой другой.

Контрапримеры первого типа (локальные, но не гло­бальные) могут представить нам возможность увели­чивать содержание нашей теоремы, которое постоянно сокращается под давлением контрапримеров третьего типа (глобальных, но не локальных).

Гамма. Правило 4 снова выявляет слабость пред­ложенной Альфой и теперь устраненной «анализирующей доказательства зрелой интуиции». Он составил бы список подозрительных лемм, непосредственно вклю­чил их и затем — не беспокоясь о контрапримерах — формулировал бы почти пустые теоремы.

Учитель. Омега, послушаем обещанный вами вто­рой пример.

Омега. У Беты в анализе доказательства вторая лем­ма состояла в том, что все грани треугольны[97]. Это мо­жет быть опровергнуто известным числом локальных, но не глобальных контрапримеров, например при помощи куба или додекаэдра. Поэтому вы, сэр, заменили ее лем­мой, которая нами не опровергается, а именно, что «любая грань, рассеченная диагональным реб­ром, распадается на два куска». Но вместо того чтобы призвать Правило 4, вы порицали Бету за «не­внимательный анализ доказательства». Вы согласитесь, что Правило 4 будет лучшим советом, чем просто «будьте внимательнее».

Бета. Вы правы, Омега, и вы также заставляете меня лучше понимать «метод лучшего сорта устранителей исключений»[98]. Они начинают с осторожного, «безопас­ного» анализа доказательства и, систематически приме­няя Правило 4, постепенно строят теорему, не выска­зывая никаких ложных положений. В конце концов толь­ко от темперамента зависит, приближаться ли к истине сверху при помощи всегда неверных чрезмерных утверж­дений или же снизу при помощи всегда верных недоста­точных утверждений.

Омега. Возможно, что это правильно. Но Правило 4 можно толковать двумя способами. До сих пор мы рас­сматривали только первую более слабую интерпретацию: «можно легко обработать, улучшить доказательство, заменив неверную лемму слегка измененной, кото­рую контрапример не может отвергнуть[99]; для этого нужно только «более внимательное» рассмотрение до­казательства и «небольшое замечание»[100]. При этой ин­терпретации Правило 4 будет просто заплаткой в рамках первоначального доказательства.

В качестве альтернативы я допускаю радикальную ин­терпретацию: заменить лемму — или, может быть, все леммы — не только пытаясь выжать последнюю каплю содержания из данного доказательства, но, может быть, изобретая совершенно другое, более охватывающее, более глубокое доказательство.

Учитель. Например?

Омега. Я обсуждал ранее догадку Декарта — Эйлера с одним другом, который сразу же предложил следующее доказательство: вообразим, что многогранник полый и имеет поверхность, сделанную из какого-нибудь твердого материала, например картона. Ребра должны быть отчетливо раскрашены с внутренней стороны; хорошо осветим внутренность, и пусть одна из граней будет линзой обыкновенной камеры — та самая грань, из которой я могу снять фотографию, показывающую все ребра и вер­шины.

Сигма (в сторону). Камера в математическом дока­зательстве?

Омега. Таким образом, я получаю изображение пло­ской сети, с которой можно проделать то же самое, что и с плоской сетью вашего доказательства. Таким же об­разом я могу показать, что для односвязных граней V — Е + F = 1 и после добавления невидимой грани-линзы на фотографии я получаю формулу Эйлера. Основ­ная лемма заключается в том, что у многогранника име­ется такая грань, которая, будучи преобразована в линзу камеры, так фотографирует внутренность многогранника, что на пленке будут все ребра и вершины. Теперь я ввожу следующее сокращение: вместо «многогранника, имеюще­го одну грань, с которой можно сфотографировать всю внутренность», я буду говорить «квазивыпуклый много­гранник».

Бета. Таким образом, ваша теорема будет: «Все ква­зивыпуклые многогранники с односвязными гранями яв­ляются эйлеровыми».

Омега. Для краткости и признания заслуги изобре­тателя этого частного доказательства я бы сказал: «Все многогранники Жергонна будут эйлеровыми»[101] .

Гамма. Но имеется множество простых многогран­ников, которые, будучи вполне эйлеровыми, имеют такие скверные выступы внутри, что у них нет грани, с которой можно было бы сфотографировать всю внутренность. До­казательство Жергонна не будет более глубоким, чем у Коши,— наоборот, доказательство Коши глубже жергоннова!

Омега. Конечно! Я полагаю, что Учитель знал о до­казательстве Жергонна, обнаружил его неудовлетвори­тельность при помощи какого-нибудь локального, но не глобального контрапримера, и заменил оптическую лем­му — фотографирование — более общей топологической леммой — растягиванием. При этом он пришел к более глубокому доказательству Коши не путем «тщатель­ного анализа доказательства», сопровождавшегося не­большим изменением, но в результате радикального но­вовведения, полученного воображением.

Учитель. Я принимаю ваш пример, но доказатель­ства Жергонна я не знал. Но если вы знали, почему же нам о нем не сказали?

Омега. Потому что я непосредственно отверг его при помощи нежергонновых многогранников, которые были эйлеровыми.

Гамма. Как я только что сказал, я тоже нашел такие многогранники. Но будет ли это доводом для совершен­ного уничтожения этого доказательства?

Омега. Думаю, что да.

Учитель. А вы не слышали о доказательстве Лежандра? Вы и его захотите уничтожить?

Омега. Я, конечно, уничтожил бы. Оно еще менее удовлетворительно; его содержание еще беднее, чем дока­зательство Жергонна. Его мысленный эксперимент начи­нался с картографирования многогранника при помощи центральной проекции на сферу, содержавшую этот мно­гогранник. Радиус сферы он выбирал равным 1. Он вы­брал центр проекции так, чтобы сфера была полностью один и только один раз покрыта сетью сферических мно­гоугольников. Таким образом, первой его леммой было, что такая точка существует. Второй его леммой было, что для сети на сфере, полученной из многогранника, будет V - Е + F = 2; это он нашел при помощи тривиально истинных лемм сферической тригонометрии. Точка, из которой возможна такая центральная проекция, сущест­вует только для выпуклых и немногих приличных, «почти выпуклых» многогранников — класс еще более узкий, чем «квазивыпуклых» многогранников. Но теорема — «Все многогранники Лежандра являются эйлеровыми»[102] — полностью отличается от теоремы Коши, но только к худшему. Она, «к несчастью, непол­на»[103]. Она представляет «пустое усилие, предполагающее условия, от которых теорема Эйлера совершенно не за­висит. Она должна быть уничтожена и нужно поискать более общих принципов»[104].

Бета. Омега прав. «Выпуклость в известной степени для эйлеровости является акцидентальной. Выпуклый многогранник может быть, например, при помощи высту­па или вталкивания во внутрь одной или нескольких вер­шин, преобразован в невыпуклый многогранник с теми же самыми конфигурационными числами. Соотношение Эйлера соответствует чему-то более фундаментальному, чем выпуклость»[105]. И вы никогда не поймаете это ваши­ми «почти» или «квази» пустяками.

Омега. Я думал, что учитель нашел это в топологи­ческих принципах доказательства Коши, в котором все леммы Лежандрова доказательства заменены совершенно новыми. Но тогда я натолкнулся на многогранник, отверг­ший даже это доказательство, которое наверняка являет­ся самым глубоким из всех до него.

Учитель. Послушаем.

Омега. Вы все помните «морского ежа» Гаммы (рис. 7). Он, конечно, не был эйлеровым. Но не все звезд­чатые многогранники будут не­эйлеровыми. Возьмите, напри­мер, «большой звездчатый до­декаэдр» (рис. 15). Он состоит из пентаграмм, но только иначе расположенных. Он имеет 12 граней, 30 ребер и 20 вершин, так что V - Е + F = 2