А.Г.Барабашев. Будущее математики

А. Г. Барабашев

БУДУЩЕЕ МАТЕМАТИКИ

МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ

АСПЕКТЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

Издательство Московского университета

1991

БЬК 87

Б 24

Печатается по постановлению Редакц ион но- издател ьского со вета Московского университета

Рецензенты:

доктор философских наук В. Я. Перминов,

кандидат физико-математических наук А. Г. Кушниренко

Барабашев А. Г.

Б24 Будущее математики: методологические аспекты прогнозирования.— М.: Изд-во Моск. ун-та, 1991.— 160 с. ISBN 5-211-01483-9.

Математика на пороге третьего тысячелетия, на переломе эпох... Какая судьба ждет эту древнейшую из наук? Можно ли ожидать, что в будущем в математике произойдут такие события, которые полностью изменят ее облик? В представляемой на суд читателя книге делается попытка методологического анализа этих вопросов. Тезис, отстаиваемый автором, таков, будущее математики предвидеть можно. В книге формулируются методологические основания подобного предвидения, даются элементы прогноза будущего современной математики.

Строгий подход, использование достижений современной философии и методологии науки сочетаются в книге с ярким и доступным широкому кругу читателей изложением историко-математических сведений, различных предсказаний будущего математики, выдвинутых и выдвигаемых известными учеными-математиками.

Книга предназначена специалистам в области философии и методологии науки, истории математики и математики, студентам и аспирантам-математикам.

0301040000—041 077(02)—91

,__Q1

ББК 87

ISBN 5—211—01483—9

ВВЕДЕНИЕ

Умение заглянуть в будущее, предвидеть ближние и отдаленные последствия совершаемого, сформулировать в результате предвидения прогноз поведения различных природных и социальных объектов является важнейшим свойством человека разумного, а увеличение способностей предвидения гарантирует, в большей степени чем что-либо другое, прогресс цивилизации. Постепенно, наряду с имеющимися чувствами — зрением, обонянием, слухом и другими, у человека как существа социального появляется новое, специфическое, коллективно вырабатываемое и закрепляемое чувство предвидения; человек разумный постепенно превращается в человека прозорливого. Человек научается как бы «внутренним взором» видеть то, чего еще нет, и строить свою деятельность в соответствии с этим видением. Эта новая способность возникает не сама по себе, отъединенно от других аспектов жизнедеятельности, а как бы поддерживаемая строительными лесами рациональных рассуждений, которые охватывают как часто встречающиеся жизненные ситуации, так и мир абстрактных сущностей (абстрактных объектов и идеализации). Предвидеть будущее — значит уметь строить этот абстрактный мир, ориентироваться в нем, «накладывать» абстракцию на реальность и делать выводы относительно реальности.

Формирование мира абстрактных и идеальных объектов в значительной степени проходит в сфере науки. Именно поэтому наука столь эффективно осуществляет (или помогает осуществлять) прогностические функции. Каждый новый шаг в развитии науки сопровождался расширением способностей предвидения. Так, некогда рождение экспериментального естествознания позволило успешно прогнозировать поведение большого класса природных систем и тем самым использовать эти системы и учитывать их поведение в мореплавании и кораблестроении, при составлении календарей и в военном деле, при создании оптических инструментов и в архитектуре, в горной промышленности и гидротехнике... Для этого понадобилось создать комплекс абстракций и соответствующий математический аппарат, а также «при-

вязать» полученные идеальные конструкции к различным природным объектам (брошенный камень, движущееся небесное тело, волна, вибрирующая струна, луч света и т. д.). В настоящее время изучение таких объектов, прогнозирование их поведения является «рутинной» задачей и может быть осуществлено теоретическим путем, что, конечно, не исключает возможности правильных рекомендаций и выводов со стороны специалистов-практиков. Однако в своей деятельности человечество ныне сталкивается и с объектами иной природы — такими, как уникальные и сложные системы, феномены живой природы, микрообъекты с их зависимостью от наблюдателя и т. д. В ряду объектов нового типа, предвидение поведения которых становится жизненно важным для человечества, в последнее время находится и сама наука. Можно ли предвидеть развитие науки, создать прогноз (систему различных по уровню и охвату прогнозов) будущего науки, опирающийся на это предвидение? Острота данного вопроса возрастает потому, что природная среда жизни безвозвратно изменилась и все большее место в окружающем нас мире отведено рукотворному, т. е. созданному цивилизацией, ее техногенному бытию. Поскольку наука превратилась в важнейший компонент этого бытия, ее необходимо сделать предсказуемой, ибо скрытость будущего науки стала ныне основным препятствием на пути развития самой способности человека к предвидению.

Попытки предвидеть будущее науки предпринимаются с разных сторон — здесь и различные количественные науковедческие оценки, и выявление динамики науки как элемента культуры, и высказывания в контексте философских концепций... Но безусловно ведущими как по количеству, так и по детальности представляемых соображений выступают «эмпирические» предвидения и составляемые на их основе прогнозы, которые выдвигаются самими учеными, работающими в тех или иных областях науки. Можно сказать, что основной поток предвидения науки порожден научной практикой и не выходит за ее пределы. Более того, среди самих ученых широко распространено мнение, что только такое прогнозирование возможно и что только ученый, детально разбирающийся в своей области и активно в ней работающий, способен предвидеть дальнейшее развитие этой области. Такая позиция ограничивает предвидение уровнем внутринаучным, индивидуальным опытом. Не отрицая важности внутреннего предвидения развития науки, следует указать на существование принципиально иного пути предвидения — пути, который в настоящее время разработан недостаточно или же имеется только в перспективе. Этот путь требует значительного теоретического обоснования. Используя фактические сведения о прошлых и настоящих состояниях науки,' необходимо концептуально перерабатывать эти сведения, привлекать ряд дополнительных соображений о принципах целеполагания и целедостижения в сфере науки, о статусе исторической закономерности в развитии науки, о специфике рефлексивности научного сообщества, о роли методоло-

гических представлений в научном творчестве и т. д. Иной путь предвидения развития науки возможен, а его предпосылки и исходные основания уже имеются — как, впрочем, имеются и первые упрощенные и неудачные попытки прогнозов, базирующихся на слабом теоретическом фундаменте (например, механическое экстраполирование прошлых стадий и этапов развития науки на ее будущее). Реализация подобного предвидения развития науки не означает включения науки в схему лап-ласовского детерминизма, не устраняет свободу науки и открытость научного творчества: такое предвидение способно только создать, ввести в оборот новые разделы мира абстрактных сущностей (образы будущих состояний науки) — мира, который уже неоднократно доказывал свою полезность в формировании успешной деятельности.

Предлагаемая вниманию читателя книга посвящена рассмотрению достоинств и недоетатков внутринаучного подхода к предвидению развития математики. Кроме того, применительно к математике формулируются методологические основания альтернативного внутреннему подходу — внешней позиции. Обычно считается само собой разумеющимся, что только профессионал-математик может компетентно предвидеть будущее математики. В настоящей работе исследуется это по меньшей мере спорное представление и выдвигается ряд других, альтернативных ему. Среди разновидностей внешней позиции выделяется и подробно анализируется исторический подход к предвидению развития математики. Рассмотрению приципов этого подхода, специфики прогнозов, составляемых на его основе, отведена большая часть книги.

Многие из идей и соображений, представленных в данной работе, докладывались и обсуждались на Всесоюзных симпозиумах, посвященных анализу закономерностей и современных тенденций развития математики (г. Обнинск, 1985, 1987, 1989 гг.). Общая концепция работы детально рассматривалась на семинаре по философии математики, работающем при Философском обществе СССР, Центральном Совете философских (методологически) семинаров при Президиуме АН СССР, Московском государственном университете. В определенном смысле эта концепция является плодом коллективных усилий участников семинара. Я искренне признателен моим коллегам — участникам семинара за доброжелательную критику и советы по улучшению текста рукописи. В некоторых, существенных моментах работы мною использованы материалы двух моих статей совместных с С. С. Глушковым (об эволюции структуры математики и о новых интегративных тенденциях в развитии современной математики). Пользуюсь случаем, чтобы поблагодарить моего соавтора за удовольствие совместной работы. Наконец, без моральной поддержки (особенно необходимой тогда, когда автор испытывает периоды сомнений в реализуемости поставленных целей), без широкого обсуждения наиболее острых проблем современной философии и истории науки, философии и истории математики, в частности, эта книга не

moi id fibiiii iidiiiKaiid I а к\ ю no i юржк\ мне в равные моменты окашваш 11 ( Атеме-ев, И I Ьашмакова, Ь В Ьиркжов ( II Ьычкон, Л A Ipiiio()Hii, С. L Демидов, Ф A Me шедев, В I Моров, М И Панов, В Я Пермипов, М А Роюв, I И 14 (амин, А II Юшкевич с воими письмами и во время, к сола lenmo, ( пинком ре 1кп\ in iреч Д Да\беп, Д Ф.пп 11 Ане ыш lueo веппо, что ik( iieuiciaiwn и погрешности работы \\d моей со

В1 I I И

Mo(hiid июль 1991

ЧАСТЬ I

ВНУТРИНАУЧНЫИ ПОДХОД

К ПРЕДВИДЕНИЮ БУДУЩЕГО МАТЕМАТИКИ, ОПРЕДЕЛЕНИЮ ТЕНДЕНЦИЙ ЕЕ РАЗВИТИЯ

«Внутринаучным 'подходом к предвидению развития математики», или сокращенно внутринаучным предвидением, далее будет называться позиция «работающего» математика или математических коллективов, высказывающих предположение (создающих прогнозы) о будущем своих разделов математики или же математики в целом Основанием таких прогнозов является индивидуальный или коллективный опыт, который скрывает в себе черты и интересы конкретных научных школ и направлений, а в случае общих утверждений о будущем математики — понимание математики и волю математического сообщества в целом Внутринаучное предвидение в ,ц ажает внутреннюю позицию, взгляд на математику не глазами стороннего наблюдателя, а глазами творца, который это будущее не толы > предсказывает, но и создает. Внутринаучное предвидение — это не только сами прогнозы, но и их «фундамент», совокупность средств и методов построения прогнозов Без такого предвидения развитие математики немыслимо, и появление внутринаучных прогнозов в большом количестве — это первый признак здоровья математики, залог ее будущих достижений Однако внутри-научное предвидение не монолитно, оно существует как разноголосье мнений, не только дополняющих и поддерживающие но зачастую и прямо противоречащих друг другу Исследовать внутринаучныи подход к предвидению будущего математики — это значит расчленить его, найти основные компоненты и их связь, выявить степень объективности различных мнений, цели выдвигаемых прогнозов, их адресаты и способы реализации Итогом подобного анализа должна стать классификация внутринаучного предвидения в математике и выдвигаемых в нем прогнозов,— классификация, в чем-то схожая с типическими классификациями многих естественных наук (классификация звезд, форм рельефа, таксономия растений, периодизация химических элементов и т. д.) ¹. Говорить о сущности внутринаучного предвидения можно

' Проблема определения понятия классификации, выявления принципов создания классификации, типов классификаций, роли классифицирования (построения классификаций) в познавательной деятельности является одной из наиболее сложных проблем современной философии и методологии науки Возникло «классификационное движение» (сообщество специалистов по данной проблема тике), проводятся конференции, выходят статьи и книги (см, например Розова С. С. Классификационная проблема в современной науке Новосибирск, 1986).

только после составления такой классификации и на ее основе. Классификация внутринаучного предвидения призвана также помочь в создании общей концепции этого предвидения, выявлении приемов его осуществления, статуса этих приемов.

ВНУТРИНАУЧНЫЕ ПРОГНОЗЫ И ИХ СУБЪЕКТИВНОСТЬ

Суждения о математике пронизаны оценочными соображениями. Эти оценки затрагивают буквально все стороны математики и ее состояния, в том числе и ее будущее. Если выделить оценки, имеющие предсказательный характер, из массы других суждений и попытаться рассмотреть их в «очищенном» виде как прогнозы будущего математика, то первое, на что обращается внимание,— это субъект данных прогнозов — тот, кто их создает. Главным образом создание прогнозов осуществляется самими математиками, причем чем более ученый талантлив, тем сильнее он предрасположен к высказыванию соображений о будущем математики, тенденциях ее развития, и тем большее внимание обращают на эти высказывания его коллеги. Часто соображения о перспективах развития тех или иных областей математики, высказываемые учеными, впоследствии признанными талантливыми или даже гениальными, но по стечению обстоятельств проживавшими «на периферии» математики своей эпохи (Н. И. Лобачевский, Н. А. Васильев, Ч. С. Пирс и др.), воспринимались «в штыки» и далее независимо выдвигались другими исследователями. Например, дальнейшие пути развития логики и предстоящий расцвет паранепротиворечивых логик, предсказанный Н. А. Васильевым (1880—1940), попал в поле внимания исследователей только в 60-е годы ². Еще более «прохладно» отношение к прогностическим идеям, высказываемым непрофессионалами, их соображения в лучшем случае игнорируются, а чаще всего высмеиваются и иронически комментируются. Так, в отчете о состоявшейся в 1981 г. конференции по теории катастроф Я. Стюарт саркастически писал о позиции участников-непрофессионалов по поводу возможности применения теории катастроф к изучению проблем развития городов: «Когда людям, специально собравшимся на конференцию, нечего сказать, кроме .как «хорошо, я действительно не знаю много относительно теории катастроф, но после того, как я полистал в течение

См.: Бажанов В. А. Николай Александрович Васильев. М., 1988. С. 116.

10 минут книгу Р. Тома ³, мне стало ясно, что есть несколько очевидных причин, из-за которых нельзя даже начать применять ее...», то лучше было бы истратить деньги на обучение. В конце концов все мы должны где-то начинать» ⁴. Но если в то же самое время и в аналогичном по уровню популярности издании известный ученый высказывает близкую точку зрения на возможности применимости теории катастроф при исследовании социальных и гуманитарных феноменов и утверждает, что ее предпосылки и выводы в отношении этих феноменов имеют скорее эвристическое значение ⁵, то это обтекаемо сформулированное, но по смыслу аналогичное утверждение воспринимается без тени скептицизма и повторяется другими членами научного сообщества.

Доверие к прогнозам относительно будущего математики и ее приложений, выдвигаемым компетентными учеными-математиками, и одновременно агрессивное неприятие соображений «непрофессионалов» вполне естественно и объяснимо как психологически, так и с позиций оценки их уровня знаний и приобщенности к созданию этого будущего — производству нового знания. Из двух прогнозов, выдвинутых специалистом и внешним наблюдателем,— пусть даже эти прогнозы по сути тождественны — приоритет отдается прогнозу специалиста, поскольку база этого прогноза, формирование предвидения, результатом которого явился данный прогноз, у специалиста более продумана и подкреплена традицией, всем авторитетом научного сообщества, готового поручиться за профессиональную компетентность коллеги. Поэтому естественным

^ было бы для создания единого прогноза развития современной математики соединить вместе различные прогнозы, даваемые известными математиками и относящиеся к разным разделам математики, и из этих прогнозов реконструировать совокупный, интегральный прогноз. Основанием такого прогноза стал бы совместный опыт, коллективное мнение математического сообщества. К выработке подобного единого мнения призывали и призывают многие математики. Так, С. Мак-Лейн считает недостатком современного математического образования нацеленность на выращивание узких специалистов и указывает на

•, необходимость формирования позиции научного математического сообщества относительно тенденций и способов развития математики: «В прошлом было по крайней мере некоторое количество математиков, обладающих общим взглядом на объект в целом; будучи спрошенными о перспективах дальнейшего прогресса, они не ограничивали себя планами собственной работы. Сегодня

¹ ³ Имеется в виду книга: Thom R. Stabilite Structurelle et Morphogenese. N. Y., 1972.

'Stewart I. Covert Catastrophes or CT in DC//The Mathematical Intelligencer. 1981. Vol. 4. No 1. P. 22.

⁵ См.: Арнольд В. И. Теория катастроф. М., 1981. С. 12.

создается впечатление, что только очень малое количество людей обладает таким взглядом. Может быть, это потому, что мы культивируем специалистов, а не людей с широким кругозором... Чтобы переломить такой ход событий, необходимо сделать многое. Должно быть намного больше обмена идеями между специалистами из различных областей и много чаще ученые должны сменять свою специализацию. Должно быть значительно больше общих дискуссий о форме и направлениях развития математики — с основным упором не на технические вопросы, а на намерения. Должно быть больше внимания к возможному происхождению и развитию новых математических понятий — как они могут порождаться в математике, из теоретической физики или из других областей. Следует направить больше усилий на выделение и осмысление основных современных достижений в математике. Такие изменения необходимо осуществлять как на уровне личной инициативы, так и на уровне институциональной поддержки. Эту поддержку следует начать с широкомасштабных программ в университетах и с ослабления механических критериев для продвижения и сроков пребывания в различных должностях. Математический прогресс измеряется пониманием новых идей, а не числом публикаций» ^ь. Конечно, подобную программу «великого взаимопонимания специалистов» можно только приветствовать, однако ей предстоит столкнуться с серьезным препятствием — разнородностью эмпирических оценок тенденций развития математики, отсутствием монолитности внутриначчного прогноза. Существуют противоречащие друг другу прогностические оценки, принадлежащие заведомо известным математикам. Так, диаметрально отличаются и навряд ли совместимы позиции разных исследователей по отношению к будущему применению ЭВМ при доказательстве математических теорем, о роли аксиоматического метода и о тенденциях его использования в математике, о перспективах развития прикладной математики и ее соотношении с «чистой» математикой, о потенциальной значимости для математики создания нестандартного анализа и теории топосов, о роли конструктивного направления в современной математике, о перспективах применения теории нечетких множеств и т. д Гипотетический внутринаучный интегральный прогноз как общая позиция недостижим, он не смог бы зафиксировать будущее математики в его определенности, ибо обладал бы такими неустранимыми чертами, как противоречивость, несостыкуемость отдельных компонентов, разнородность частей. Кроме того, врожденный конфликт точек зрения по поводу современных тенденций развития математики соседствует со «сверхлояльным» отношением к курьезным или явно некорректным прогнозам, выдвигаемым некоторыми математиками. Такие прогнозы, иногда обладающие оттенками профессиональной бравады (как, например, известное

⁶ MacLane S. The Health of Mathematics//The Mathematical Intelligencer. 1983. Vol. 5 No. 4. P 55.

утверждение, что в математике роль вероятноешых предешвлении будет возрастать, и в дальнейшем математика превратится в раздел теории вероятности; или предположение, что математика будет осмыслена и перестроена как «прикладная математическая логика»), далее с!ановягся расхожими и некритически воспринимаются поколениями студентов, равно как популяризаторами математики и многими представителями других наук В целом можно сказать, что попытка доброжелательного совмещения частных профессиональных оценок будущего математики, создания проработанного и \довлегворяющего всех специалистов интегрального внуфинаучного прогноза будущего ма!ематики невозможна и является не более чем фантастическим проектом, вроде строительства Вавилонской башни Однако это не означает, что более внимательное рассмотрение причин такой «разорванности» внутринауиного предвидения и вытекающих и^ него прогностических оценок является бесполезным, ибо оно лучше помогает понять сущность внутренней позиции, ее возможности и границы применимости в познании будущего математики.

Наличие неустранимых противоречий в существующем массиве внутренних прогнозов, противоположность мнений относительно будущего математики порождены фундаментальным обстоятельством. Это обстоятельство — развет вленность математического знания, постоянное усложнение ею структуры.

Отметим, что термин «сфуктхра» неоднозначен, даже в самой математике им обозначают три обьекга (алгебраическая структура, структура-решетка, общая структура в смысле Бурбаки). Здесь под термином «структура» 6v,iet пониматься иерархический аспект строения магемашческого знания При этом математическое знание, связанное воедино разветвленной сетью доказательных рассуждений, разбивается на ряд крупных разделов (дисциплин), подразделяющихся некоторым образом на части, которые в свою очередь могут быть расчленены Тем самым обнаруживается определенный порядок вп\три матемашческого знания: ра^челы математики — мелкие, более крмшые, самые крупные — оказываются частично упорядоченными по отношению «состоит ш», или «включает в себя» Данный список включений и будет далее называться стр\'кт\рой вне зависимости от того, идет ли речь о классифицирующем разделении знания на части, о логическом следовании одних разделов математики за другими либо о каких-то иных, более сложных вариантах иерархии математического знания.

Усложнение структуры математического знания прослеживается, начиная с первых этапов существования теоретической математики ' Причем первоначально в эпох\ античности и элли-

' Более подробно эвоиоция аруктуры математического знлния прослежим в статье Барабашев \ I , Г п ш к о в С С Об эволюции сгр\кт\ры \ш тематическою знания//Ве(. in VI ос к vh ia Сер «Философия» 1983 №2 С 76 85

низма структура математического знания интерпретировалась комментаторами и, по-видимому, самими математиками какдихто-мическая классификация (целое состоит из двух частей, каждая часть в свою очередь состоит из двух частей и т. д.— см. рис. 1).

Рис. 1. Варианты дихотомической классификации

Так, в полном соответствии с принципами дихотомической классификации комментатор Евклида Прокл Диадох (410—480 гг. н. э., первое печатное издание комментариев 1560 г.) ⁸ пишет, что у пифагорейцев было принято разделять математику на две части. Одной предписано понятие числа, другой — пространства, и каждая из них также содержит две части: понятие числа существует или абсолютно для себя или по отношению к другому, и пространственная величина покоится или движется. В итоге возникает квадривиум: арифметика, музыка, геометрия, сферика. Последняя включает в себя' небесную механику и астрономию (рис. 2).

Рис. 2. Структура математики пифагорейцев

В другом месте Прокл вновь возвращается к вопросу о составе математики и пишет: «...некоторые хогят расчленить математику

⁸ Procli Diadochi Commentarii. Ed Barozzi. Patavii, 1560.

иначе» ⁹. Так, Гемин учит ^|0, что предмет одной ее части воображаемое, а другой — чувственное. Первая часть подразделяется на арифметику с учениями о линейных, плоских и пространственных числах и планиметрическую и стереометрическую геометрию. Ко второй части относятся механика, астрономия, оптика, геодезия, каноника (содержание ее не расшифровывается) и логистика (рис. 3).

Рис. 3. Структура математики по Гемину

Достаточно простая структура математики эпохи античности и эллинизма далее незначительно изменялась и, можно сказать, в целом была стабильной в течение длительного периода времени. Например, уже на рубеже эпохи Возрождения и Нового времени у Петра Рамуса (1515—1572) выдвигаются два дихотомических представления о строении математики. В 1566 г. он учит «по-гречески матезис, по-латыни дисциплина»" делится на арифметику, геометрию, астрологию и музыку, и далее, что из них только арифметика и геометрия образуют чистую математику ^|2. В трактате «Две книги арифметики и двадцать семь геометрии», впервые изданном в 1569 г., даются определения: «1. Арифметика есть учение о правильном счете. 2. В арифметике есть две части: простая и сравнительная. 3. Простая рассматривает природу простого числа» ¹³. После изложения простой арифметики он приступает к сравнительной, которая «производит сравнение чисел по количеству и качеству». Далее находим такие новые для того времени определения: «1. Алгебра есть часть арифметики, где из чисел, соответствующих значениям фигур, образовано собственное исчисление. 2. В алгебре две части: счисление и

⁹ Proclus Diadochus Euklid-Kommentar. Hall, 1945. P. 189—190.

¹⁰ Подробнее см.: Моров В. Г. История математики эпохи позднего эллинизма: Дис. ... канд. физ-мат. наук. М., 1989. Гл. I. § 3.

¹¹ Rami P. Actiones duae... Parisiis, 1599. P. 6.

¹² Ibid. P. 8.

¹³ Rami P. Arithmeticae Libri Duo: Geometriae Septem et Viginti. Franco-furti, 1599. P. 1.

уравнение» ^и. Затем перечисляются типы уравнений. Геометрия определяется как учение о правильном измерении (рис. 4).

Рис. 4. Структура математики по Рамусу

Начало лавинообразного усложнения структуры математического знания наметилось только в Новое время, в связи с возникновением дифференциального и интегрального исчисления и ростом получаемых с их помощью результатов. Отражая этот процесс, Жан Даламбер (1717—1783) и Дени Дидро (1713— 1784) в совместном вступлении к «Энциклопедии» руководствуются стремлением подчеркнуть значимость нетрадиционных разделов математики, возникающих в Новое время: дифференциального и интегрального исчисления, анализа случайностей, аналитической геометрии. Они дают сравнительно разветвленную картину состояния математики (рис. 5). Математика делится на чистую

Рис. 5. Структура математики «Энциклопедии» века Просвещения и смешанную. Чистая (на рис. 5 сверху) состоит из арифметики и геометрии. Геометрию делят на элементарную и трансцендентную (т. е. теорию кривых). Арифметика разбита на численную и алгебру, которая в свою очередь делится на элементарную и алгебру бесконечно малого, состоящую из двух теорий —

¹⁴ R a m i P. Arithmeticae Libri Duo: Geometriae Septem et Viginti. P. 190.

дифференциального и интегрального исчислений. Смешанная математика (на рис. 5 снизу) имеет больше разделов: оптику, геометрическую астрономию и механику. Оптика состоит из собственно оптики, диоптрики с перспективой, катоптрики, акустики, пневмоники и искусства угадывать, т. е. анализа случайностей (зародыш теории вероятностей); геометрическая астрономия — из хронологии, гномоники и космографии, последняя содержит географию, гидрографию и уранографию; механика — из статики, состоящей из собственно статики и гидростатики, и динамики, состоящей из собственно динамики, баллистики и гидродинамики, содержащей гидравлику и навигацию. Согласно Даламберу — Дидро структуру математического знания середины XVIII в. можно описать как пятиуровневую классификацию с числом разделов каждого уровня — 2, 5, 15, 10, 4.

Конечно, не следует считать, что разветвленность математического знания механически увеличивалась и что постоянно происходило только возникновение новых разделов. Осуществлялось также и изменение ранга разделов (так, классическая геометрия постепенно понижала свой ранг, а дифференциальное исчисление — повышало), выход разделов за пределы математики (навигация, гидравлика, картография, баллистика и т. д.), слияние различных разделов (так, математический анализ объединил метод флюксий Ньютона и метод дифференциалов Лейбница, которые в свою очередь синтезировали целый ряд методов XVII в.— неделимых Кавальери, максимумов и минимумов Ферма, нахождения касательных, объемов и центров тяжести). Наряду с расслоением структуры происходило также и отмирание ее некоторых частей (что не следует смешивать, как справедливо указывают Д. Фанг и К. Такаяма ¹⁵, с временным прекращением исследований в рамках данного раздела). Примером отмирания значительной ветви математики , не выдержавшей столкновения с развитой математикой греческих традиций и погруженной в русло современной цивилизации, может служить Wasan, японская национальная математика¹'. Для японцев Васан

¹⁵ Fang J., Takayama К. Sociology of Mathematics and Mathematicians. N.Y., 1975.

¹⁶ Другой развернутый пример отмирания раздела математики см.: Fisher Ch. The Death of a Mathematical Theory: a Study in the Sociology of Knowledge// Archive for History of Exact Sciences. Vol. 3. 1966. P. 137—159 (эта статья Ч. Фишера негативно оценена в работе Д. Фанга «Между философией и математикой: их параллелизм в «параллаксе». См сб Методологический анализ оснований математики. М., 1991.)

¹⁷ К сожалению, сведения о математике Васан на европейских языках почти полностью отсутствуют. Исходную информацию можно почерпнуть из: Encyclopedic Dictionary of Mathematics. 2 Vol. MIT Press. Cambridge, Mass., 1977 (статья Shokichi Iyanaga and Yukiyoshi Kawada о Васан); Yoshio Mikami. The Development of Mathematics in China and Japan. 2nd ed. New York, 1964; Fang J., Takayama K- Sociology of Mathematics and Mathematicians, Chapter 6. Я приношу благодарность профессору Тошио Шугимото за сведения о математике Васан.

был своего рода искусством, по популярности сравнимым с искусством игры в Го. Благодаря этой популярности такая своеобразная математика быстро развивалась, однако это развитие происходило на основе интуиции и индукции при полном отсутствии дедуктивного метода. Утверждения не доказывались, и даже не возникало мысли о доказательстве. Далее, если, например, в Китае люди, занимавшиеся наукой, возводились в ранг придворных, то в Японии этому не придавалось большого значения. Более того, люди, обучавшие Васану, зачастую организовывали школы soroban, постепенно появлявшиеся везде, даже в деревнях (столь популярным был Васан!) и аналогичные школам по обучению другим искусствам, играм, церемониям. Развитие математики Васан необходимо привело к появлению профессионалов, проведению состязаний по решению задач (в чем-то похожих на состязания эпохи Возрождения по решению математических задач). Однако столкновение Васан с развитыми традициями теоретической математики, произошедшее в процессе проникновения европейской цивилизации в Японию в эру Мейджи (с 1868 г.), привело к быстрому угасанию этой национальной математики, особенно на уровне школ soroban (хотя некоторые обозначения Васан перекочевали в работы многих современных японских математиков).

С начала Нового времени приблизительное равновесие двух противостоящих процессов — усложнения (ветвления и «распоч-кования») и упрощения (отмирания разделов и временного прекращения исследований, выхода разделов из состава математики) структуры математического знания — нарушилось. Тенденция к усложнению структуры окончательно берет верх. Лавинообразный, взрывной рост структуры математики начинается исподволь, а потом набирает темп. Этот темп можно охарактеризовать следующими показателями ¹⁸:

— XVIII в. (пятиуровневая классификация согласно «Энциклопедии» Даламбера и Дидро) с числом разделов каждого уровня 2, 5, 15, 10, 4;

— 30-е годы XX в. (универсальная десятичная классификация (УДК), применявшаяся в библиотеках СССР для систематизации публикаций по математике. Издана в 1962 г.) — трехуровневая схема с числом разделов каждого уровня 25, 128, 468;

— более современная схема систематического указателя РЖ Математика (ССУ), которая вместе с систематическим и предметным указателем вышла в 1979 г., хотя датируется в заглавии 1974 г. и отражает структуру математики 50-х годов. XX в.—

¹⁸ Подробные сведения о классификациях УДК, ССУ, MSC, а также библио-

течно-библиографической классификации (ББК) содержатся в замечательной, но, к сожалению, до сих пор не опубликованной статье С. С. Глушкова «О структуре математики в отражении 4-х предметных классификаций» (рукопись). Данные по УДК и ССУ приводятся по этой статье.

трехуровневая схема с числом разделов каждого уровня 19, 107, 1600;

— последняя и повсеместно употребляемая в библиографических целях классификация «Mathematical Subject Classification» (MSC), обновленная классификация журналов «Mathematical Reviews» и «Zentralblatt fur Mathematik», опубликована в 1979 г. и используется с 1980 г.-- трехуровневая схема с числом разделов каждого уровня 60 (основных областей), 467 (разделов), 2950 (тем).

«Идеология» уровневого строения структуры математики первой половины и середины XX в. отражена в программной статье Н. Бурбаки «Архитектура математики». Для Бурбаки упорядочивающим принципом служит понятие математической структуры и направление от простого к сложному, от общего к частному. Математическое знание сравнивается с городом: «Это большой город, чьи предместья не перестают разрастаться несколько хаотическим образом на окружающем его пространстве, в то время как центр периодически перестраивается, следуя каждый раз все более и более ясному плану и стремясь к все более и более величественному расположению, в то время как старые кварталы с их лабиринтами переулков сносятся для того, чтобы проложить к окраинам улицы все более прямые, все более широкие, все более удобные» ^|Ч. Главные, порождающие структуры («центр») — алгебраические, порядковые, топологические. За пределами этого первоначального ядра появляются структуры, которые можно назвать сложными, куда входят одновременно одна или несколько порождающих структур, но не просто совмещенных друг с другом, а органически скомбинированных при помощи связывающих их аксиом. Далее начинаются собственно частные теории, где элементы множеств, которые до сего момента в структурах были неопределенными, получают некоторую индивидуальность. Так, в поле зрения исследователей попадают и теории классической математики, но они теряют былую автономность и являются, по Бурбаки, перекрестками, на которых сталкиваются и взаимодействуют многочисленные структуры более общего характера. Схематически описанное представление о математике можно вообразить в виде диаграмм Эйлера — Венна, где более крупные овалы соответствуют более общим математическим структурам, а ядра — частным теориям (рис. 6).

Однако Бурбаки не дают, да и не могут дать, полного обзора неимоверно разросшегося современного математического знания. Поэтому их представление о структуре математического знания в основе своей имеет не схему, аналогичную приведенным выше (такая в подробностях невозможна), а интуитивное сравнение математики с городом.

Столь стремительное усложнение структуры математики уже

¹⁹ Бурбаки Н. Очерки но истории математики. М., 1963. С. 257.

2 А Г. Барабашев 17

Рис. 6. Структура математики по Н. Бурбаки

в 1883 г. дало основание А. Кэли, главе британской теоретико-инвариантной школы, заявить, что трудно дать представление о том, сколь обширна область современной (ему) математики. Однако некоторое время еще существовали математики, профессионально разбирающиеся во всех основных разделах и способные дать обобщенное видение математики и тенденций ее развития. Такими математиками были, по всей видимости, Ф. Клейн, А. Пуанкаре, Д. Гильберт. Но начиная с «критического момента»— возникновения Геттингенской школы Клейна — Гильберта, в которой оказался сконцентрированным колоссальный научный потенциал и налажено «конвейерное» производство высококвалифицированных научных кадров с привлечением талантливой молодежи из многих стран, что стало быстро приносить плоды (1896 г.— начало работы в Геттингене Ф. Клейна, 1933 г.— приход к власти в Германии национал-социалистов и распад школы), исследования приобретают столь многогранный характер, что только малому числу математиков удается быть в курсе всех новейших достижений. Причем примечательно, что все эти математики так или иначе были связаны с Геттингеном ²⁰. В период Геттингена математика перешла в принципиально новое качественное состояние. Именно отсюда начинается отсчет развития современной математики, в которой даже самые универсальные математики оказываются специалистами только в некоторых разделах математики

²⁰ Courant R. Reminiscences from Hubert's Gottingen//The Mathematical Intelligencer. 1981. Vol. 3. No 4.

(хотя, конечно, феномен универсализма как такового пштиыыи исчезнуть не может). Так, по свидетельству С. Улама ²¹, «фон Нейман, который мог бы претендовать на эту роль, признался мне как-то лет 35 назад, что он знает не более чем 1/3 корпуса математики. По его предложению однажды я устроил ему некоторое подобие докторантского экзамена в различных областях, стараясь выделить те вопросы, на которые он не мог бы ответить. Я нашел пробелы в дифференциальной геометрии, теории чисел, алгебре, где его ответы были неудовлетворительными».

Темпы развития математики продолжали возрастать и далее. Только в журнале «The Mathematical Intelligencer» за 19 лег (с 1939 по 1957 г.) было опубликовано 57 тыс. статей²². По оценке того же С. Улама, в 70-е годы в мире доказывалось около 200 тыс. теорем в год.

Если принять, что (согласно «Mathematical Subject Classification», также описывающей структуру математики 70-х годов) в это время в математике существовало около 3 тыс. разделов различной степени общности и что в каждом разделе профессионально работало (т. е. получали результаты) около 50—100 математиков, то при общей численности математического сообщества в мире в 150—300 тыс. человек²³ эти доказываемые столь колоссальным коллективом теоремы были столь разнообразными, а появляющееся новое математическое знание столь разветвленным, ч-то охватить его одному человеку и даже коллективу единомышленников (например, группе Н. Бурбаки при всей грандиозности ее замыслов, хотя расцвет ее деятельности и пришелся на немного более ранний, чем 70-е годы, срок) физически невозможно. Специализация охватила не только отдельных ученых и их коллективы, но и многие периодические «чистые» и «прикладные» математические журналы и издания, имеющие тенденции к отбору материала из отдельно взятых областей, к самоцигированию или выборочному (например, попарному) цитированию, когда авторы 2-х журналов ссылаются друг на друга, не обращая внимания на другие издания²⁴.

²¹ Ularn S. Adventures of a Mathematician. N.Y., 1976. P. 291.

²² Richardson L.A. Sociologist's View on Pure Mathematics, 1939 — 195?// The Mathematical Intelligencer. 1984. Vol. 6. No 1. P. 77.

²³ Несколько меньшая численность математического сообщества получится в том случае, если считать математиком только такого автора, работа которого прореферирована в соответствующем реферативном журнале. Дополнительные сведения о количественном росте математики содержатся в работах: Новый Л., Фольта Я. О применении количественных методов в исследованиях по истории математики//Ана.пид тенденций и прогнозирование научно-технического прогресса. Киев, 1967. С. 235-262; May K.O. Growth and Quality of the Mathematical literature//Isis. 1968 Vol. 59. P. 363—371; May К. О. Quantitative Growth of the Mathematical Literature//Science. 1966 Vol. 154. P. 1672—1673. Интересны также оценки и рассуждения, содержащиеся в работе: Алексеев В. П. Динамика математического сообщества (не опубликована).

²⁴ Slater P. 8. Hierarchical Clustering of Mathematical Journals Based upon Citation Matrices//Scientometrics. 1983. Vol. 5. No i. P. 55—58.

2« 19

Специализация, будучи следствием прогрессирующего усложнения структуры математического знания, в свою очередь необходимо порождает изменение статуса внутринаучного прогноза. Из репрезентативной позиции математика-универсала, имеющего представление обо всей математике и плодотворно в ней работающего, а потому справедливо претендующего на всестороннюю компетентность, внутрина-учный прогноз превратился в дело вкуса и субъективных впечатлений — субъективных еще и по той причине, что области математики не разъединяются необратимо, а способны (непредсказуемо для отдельного специалиста) неожиданно «оплодотворить» друг друга своими идеями, что■ может иметь для всей математики далеко идущие последствия. В условиях современной математики математик не знает, как это ни парадоксально, математики: он знает только себя в математике. Его прогноз есть узкое видение, мнение (doxa), субъективное в своей основе.

Если противопоставлять субъективное объективному, мнение знанию, то следовало бы признать иллюзорность претензий внутринаучного предвидения будущего математики и закончить тем самым с анализом этого предвидения, вынеся относительно него отрицательный вердикт. Однако, собственно исследование внутринаучного предвидения только начинается с установления субъективности создаваемых в его рамках прогнозов. Противоречивость различных прогнозов, высказываемых математиками, будучи поверхностным выражением этой субъективности, не должна восприниматься как абсолютно непреодолимое препятствие; в субъективном мнении есть элемент объективной тенденции. Поэтому необходимо выяснить (учитывая, что вся математика развивается через субъективную деятельность, и только в результатах своих предстает как объективированное знание, подвергнутое социализации, т. е. признанное другими исследователями как верное), в каком смысле субъективность внутринаучных прогнозов оборачивается объективностью внутри-научного предвидения, какова степень объективности различных мнений, являющихся обобщением опыта математической работы. Чтобы попять, насколько можно опираться на внутреннюю позицию в обнаружении тенденций развития математики, будущего математики, следует предпринять следующий шаг и, отталкиваясь от факта субъективности (существования в виде мнений) внутринаучных прогнозов, проанализировать строение внутринаучного предвидения, компоненты его субъективности, т. е. различные слои, нацеленности, адресаты, степень убежденности специалистов-математиков в даваемых ими прогнозах, различные социологические оценки популярноеги тех или иных направлений в современной математике.

ПРОЦЕДУРЫ ПОСТРОЕНИЯ

ВНУТРИНАУЧНЫХ ПРОГНОЗОВ:

ПРЕДПОСЫЛКИ ОБЪЕКТИВАЦИИ СУБЪЕКТИВНОГО

Структура внутринаучного предвидения естественным образом «распадается» на две составные части: часть, представляющую собой множество выдвигаемых прогнозов как совокупности утверждений о будущих состояниях математики или ее разделов, а также часть, относящуюся к описанию процедур выдвижения прогнозов, адресатов этих прогнозов и побудительных мотивов и соображений тех исследователей и научных коллективов, которые эти прогнозы выдвигают («тело предвидения»). Обычно, рассматривая внутринаучное предвидение и интересуясь мнениями различных ученых-математиков о будущем математики, акцентируют внимание только на первой части структуры такого предвидения и анализируют совокупность прогнозов, а не процедуры их выдвижения. Причем строение множества прогнозов традиционно исследуется с точки зрения их объектной направленности, т. е. тех возможных состояний математики, которые они описывают. В свою очередь объектная направленность прогнозов развития математики реализуется в виде двух основных параметров, часто совмещенных в одном и том же прогнозе. Речь идет о степени общности прогноза (является ли он утверждением о будущем математики в целом и соотношении математики с другими науками и месте математики в культуре, о перспективах развития отдельных разделов математики, о тенденциях эволюции некоторых математических теорий, или же о гипотезах в отношении конкретных математических результатов), а также об иногда выдвигаемом условии времени реализации прогноза (отдаленное, обозримое или ближайшее будущее). Именно о такой, объектной направленности прогнозов, о возможности загодя предсказать состояния математики и результаты, не говоря уже о времени их появления, отрицательно высказывались и высказываются многие известные математики. Так, А. Пуанкаре указывал, что «было бы тщетно пытаться заменить свободную инициативу математики каким-нибудь механическим приемом» '. Тем не менее искушение создавать прогнозы, вплоть до самых конкретных, слишком велико, и мало кто из математиков хотя бы однажды не впадал в «грех прогнозирования». Например, тот же А. Пуанкаре посчитал возможным сформулировать прогноз развития математической физики, предварительно оговорившись: «Мы не в состоянии предвидеть, в каком направлении пойдет (ее) дальнейшее развитие» ². Авторы послесловия

' Пуанкаре А. Будущее математики//Пуанкаре А. О науке. М., 1983. С. 299. "

² Пуанкаре А. Будущее математической физики//Пуанкаре А. О науке.

С. 251.

к работам А. Пуанкаре замечают по этому поводу. «Вопреки своему намерению не делать прогнозы из опасения допустить нелепость с точки зрения будущих поколений физиков (речь идет о магом этической физике.— А. Б.), Пуанкаре дал в докладе удивительно меткие указания «горячих точек» физики, в которых следовало ожидать рождения принципиально новых закономерностей. И оправдались не просто многие из этих прорицаний, а буквально все. Современные ученые не находят ни одной нелепости в его смелых суждениях. История науки не знает другого такого труда, в котором с такой полнотой и с такой конкретностью были бы предсказаны грядущие преобразования в физике. При этом в своих предсказаниях Пуанкаре сохранял свойственную ему конкретность суждений, смягчая смелость детального прогнозирования предположительной формой своих высказываний» ³.

А. Пуанкаре опередил свою эпоху скорее не в том, что он дал серию верных прогнозов-- в математике времен «до Геттингена» и Геттингена такое сделать было можно, ибо целостность творчески индивидуального взгляда на математику еще не была потеряна,— а в том, что он скептически отозвался о возможности создания «механизма» продуцирования верных по содержанию прогнозов. В современной математике статус внутринаучных прогнозов изменился в сторону их субъективизации, однако это не останавливает самих математиков. Количество прогнозов значительно возросло по сравнению со временем жизни А. Пуанкаре. Потеряв целостность объективных ориентиров, прогнозы будущего математики стали группироваться вокруг некоторых зон «повышенного внимания», выступающих как наиболее модные (что, конечно, является делом вкуса) в тот или иной период развития математики. Например, среди «модных направлений», которым отдают предпочтение многие математики и тенденции развития которых являются объектом особого интереса, в последнее время часто упоминаются теория особенностей дифференцируемых отображений, теория категорий, нестандартный анализ., теория обобщенных функций, «суперматемагика», алгебраическая и дифференциальная топология, вычислительная математика, уравнения Янга-Миллса и смежные с ними вопросы, случайные процессы... Будучи делом вкуса, отдавание приоритета одним областям и высказывание относительно их будущего положения в математике обычно сопровождается отрицанием общематематической значимости других направлений, либо частичным принижением таковой значимости Критерии весомости прогноза начинают связываться с социологически измеряемой популярностью области математики, к которой этот прогноз относится (если речь не идет о прогнозах, относящихся к математике в целом). Характеристики этой популярности (и в том числе популярности среди профессиональных математиков) эфемерны и преходящи. Так, большое количество жур-

'Панов М. И., Т я п к и н А. Д., Шибанов А. С. Анри Пуанкаре и наука \Х века//П у а н к а р е А. О науке. С. 544.

иальных публикаций ничего не говорит о качестве публикуемых результатов и их фундаментальности; индекс цитирования работ (т. е. количество ссылок на работы некоторого направления) отражает скорее их доступность, не говоря уже о «ритуальном» цитировании, в свою очередь выступающем как выражение моды. Не может служить реальным показателем объективности прогнозов и количество ученых, занятых в данной области математики: как правило, основные достижения совершаются одним-двумя учеными, а их последователи только завершают намеченное, не внося принципиально новых идей и результатов. Да и само наличие значительных достижений и теорем может быть оценено лишь со временем. Количество крупных математиков, работающих в данной области, свидетельствует только об успехах этой области в прошлом, но отнюдь не в будущем. Конечно, не следует чересчур отрицательно относиться к ■ фактору популярности областей математики и его роли при определении будущего этих областей и математики в целом. Однако в современной математике невозможно составить заключение об истинности тех или иных прогнозов, основываясь только на их внешней характеристике помуляр-ности представленных в них областей. Успех в и ч отадывапин здесь будет случаен, а не закономерен. Обращение г, исследованию только одной части структуры внутринаучного Предвидения к анализу совокупности прогнозов как данности,^v'b их объектной направленности безотносительно процедур построения прогнозов, безотносительно выявления мотивов создателей этих прогнозов и адресата прогнозов («отправителя» и «получателя» информации прогностического характера) всего того, что относится к еубъ-скту пропкна в его активности, ныне является неоправданным. Суждения об объекте «в лоб» оказываются неадекватными этому объекту бе* учета фактора субъективности самих суждений.

Решение проблемы субъективного, его строения и соотношения с объективной реальностью является центральным для осмысления многих феноменов различной природы. 1$ гносеологическом ракурсе эта проблема приобретает черты абстрактности и предстает как классическая проблема тождества идеального и материального, понятия и предмета, субъекта и объекта и т. Д. в зависимости от того, в какой философской концепции эта проблема ставится н решается. Но было бы неверным сказать, что проблема субъективного и его свя ш с объективным полностью поглощена сферой гносеологии и может быть рассмотрена только в этой сфере; аналш данной проблемы, осуществляемый философией и имеющий в ней давние традиции, не можем охватить собой все богантво опенков проблемы субъективного, он необходимо нуждается в качестве естественного дополнения в конкретном рассмотрении специфических обликов субьекгпвпого и тех фрагментов реальное! и, с которыми vm су б ьем и впое cooi несено. Такое кон кpeiноерассмотрение necei большую нагрузку, нежели только выполнение роли «ком-мешария» к философской поящий. 1-)га нагрузка формпрова» пне иселедованмьской iiouimni, аргумент в споре различных

научных направлений, а также выход на поведение субъекта, представления о допустимом действии, о возможном и невозможном.

«Ключом» к пониманию объективности внутринаучного предвидения — того, что субъективные мнения парадоксальным образом все-таки способны утвердиться как знание о будущем, подтверждаемое дальнейшим ходом развития математики, может стать анализ второй части структуры внутринаучного предвидения. Здесь субъективное предстает не как чистая, изолированная, отгороженная от объективного сущность, не как неизвестно откуда взявшееся, как полученное и используемое мнение о ценности тех или иных разделов математики и их будущем («я так считаю»),'а как субъективность в ее деятельностном аспекте. Такая субъективность, присутствуя в самих прогнозах в скрытом виде, свойственна внутринаучному предвидению на этапе формирования прогнозов. Для некоторых типов процедур построения прогнозов должна существовать предрасположенность к тому, чтобы созданные с помощью этих процедур прогнозы оказывались более удачными ⁴. Чтобы проверить это предположение, следует найти такую классификацию процедур построения внутринаучных прогнозов, в которой ступени субъективности одновременно отражали бы рост объективности прогнозов. Через анализ субъективности внутри-научного предвидения будущего математики к выявлению условий его объективности — вот путь исследования, который единственно возможен в условиях современной дифференциации и специализации в математике.

Процедуры выдвижения прогнозов будущего математики обладают авторством, т. е. каждый раз можно указать конкретного ученого-математика или группу ученых (научную школу, коллектив и т. д.), которые являются субъектом данного прогноза. Разберем специфику процедур выдвижения прогнозов в зависимости от того, каков субъект этих процедур.

Если прогноз выдвигается отдельным ученым или компактной группой, в которой не утеряна индивидуальность работы и «исследовательский дух», то процедуры выдвижения такого прогноза могут быть следующих основных типов.

Во-первых, не подкрепленное никакими специальными математическими исследованиями отстраненное мнение. Такое мнение означает, что процедура выдвижения внутринаучного прогноза либо отсутствует, либо находится за пределами математики (и тогда прогноз будет внешним). Например, общее и почерпнутое из разнообразных источников представление о ситуации в современной математике является распространенным основанием для выводов о тенденциях ее развития (хотя эти выводы, как указывалось ранее, у разных исследователей могут иметь диаметрально противоположный характер). Так, в книге Ф. Дэви-

⁴ Это не означает нормативного характера наиболее эффективных процедур внутринаучного прогнозирования. Подробно данный вопрос оудет рассмотрен в_§4 главы 1

са и Р. Херша «Мечта Декарта: мир в соответствии с математикой» авторы вводят в оборот значительный фактический материал об использовании математики в современной культуре, науке и технике и отмечают повышение роли компьютеров в этом использовании. Они считают, что изобретение компьютеров ведет к алгоритмическому и финитарному преобразованию математики, а также, что в математике и в науке в целом лидирующим становится требование вычислимости \ Процедура выдвижения этого прогноза находится на грани выхода за пределы математики, она не создана в контексте специального математического исследования, а является следствием эрудиции авторов, обобщением различных и зачастую популярных сведений о применении компьютеров в математике. Чем больше степень общности прогноза, охватываемая прогнозом область математики, тем более этот прогноз выдвигается как отстраненное мнение, в котором собственно профессиональная деятельность автора (авторов) прогноза занимает незначительное место. Это — специфика современной математики.

Другая разновидность процедур выдвижения прогнозов, более опирающаяся на профессиональную деятельность математиков, связана с созданием специализированных обзоров по различным областям математики. Это— коллекторская деятельность в математике. В обзорах наряду с описанием полученных в последнее время результатов, как правило, формулируются нерешенные проблемы и дается мнение о тенденциях развития данной области. Интерес к работам обзорного характера со стороны научного сообщества обычно настолько велик, что таким работам отдается предпочтение в математических журналах, и они занимают в журналах почетное место. Например, в «Успехах математических наук» обзорные статьи занимают в среднем около ²/з объема выпусков журнала. Аналогичная ситуация и в большинстве других ведущих математических периодических изданий. Например, в реферативном журнале «Mathematical Review» в последние годы публикуется в среднем около 30 тыс. обзоров в год ^ь. Процедуры выдвижения прогнозов в обзорных статьях основываются на выделении тех проблем, которые наиболее часто анализируются (но еще не решены) в других, собственно исследовательских работах. Прогнозы здесь выступают как итог систематизации уже полученных результатов, увенчивают систему результатов, являясь последним и еще не доказанным результатом. Однако, выигрывая в систематическом видении перспектив, обзорные работы проигрывают своей вторичностью в постановке проблем, творческая компонента в них подчинена коллекторской.

Наиболее эффективными процедурами выдвижения прогноза являются те процедуры, которые непосредственно вплетены в собственно исследовательскую деятельность ученого. Будучи

⁵ Davis Ph., Hersh R. Descarte's Dream. The World According to Mathematics. San Diego; California; Boston; N.Y., 1986.

⁶ См. Клейн М. Математика: утрата определенности М., 1984. С. 384.

непосредственным выражением его творческой активности, получаемые таким образом прогнозы несут в себе отпечаток наибольшей субъективности, личное мнение о направленности собственных исследований. Но это—превращающаяся в объективное субъективность, ибо прогноз здесь не отъединен от остальных идей, а выступает как точка опоры в понимании ценности уже полученных результатов, включает их в некоторый целостный образ, придает смысл совершаемому. Это не итог системы результатов, а ее смыслообразующий элемент. Так, тот же А. Пуанкаре выдвигал свои прогнозы будущего математики и ее приложений (в первую очередь, математической физики) не оторванно от своей конкретной исследовательской работы, а в ее контексте. Прогнозы Пуанкаре — своеобразные рабочие гипотезы, организующие его собственное творчество и позволяющие это творчество и полученные Пуанкаре результаты лучше понять.

Наиболее совершенные прогнозы — это те, которые создаются «на пересечении» творческой и коллекторской деятельности. Так, неизгладимый след в математике оставили образцы процедур выдвижения внутринаучных прогнозов будущего математики, представленные деятельностью Д. Гильберта по постановке проблем, которые были доложены им математическому сообществу на II Международном математическом конгрессе в Париже (1900 г.). В первой части доклада на конгрессе Гильберт отметил, что для того, «чтобы представить себе возможный характер развития математического знания в ближайшем будущем, мы должны перебрать в нашем воображении вопросы, которые еще остаются открытыми, обозреть проблемы, которые ставит современная наука и решения которых мы ждем от будущего», ибо «каждый век имеет свои проблемы, которые последующая эпоха или решает, или отводит в сторону как бесплодные, чтобы заменить их новыми» ⁷. Гильберт не декларировал будущие результаты, их истинность вне (до) доказательства. Его прогнозы сформулированы в виде проблем, решение которых не предрешается. По своему характеру эти проблемы разнородны. Иногда это конкретно поставленный вопрос (например, проблема № 3), на который необходимо найти однозначный ответ — да или нет. Иногда проблема состоит из нескольких различных, хотя и тесно связанных между собой задач. Наконец, двадцать третья проблема есть, в сущности, проблема дальнейшего развития вариационного исчисления. Но важным оказалось то, что эти проблемы, независимо от их уровня общности, действительно обозначили узловые точки развития математики, ее тенденции. Это произошло потому, что в способах выдвижения прогнозов, в специфической проблемной форме их выражения оказались сплавленными воедино исследовательская и обзорная деятельность Гильберта, его принадлежность мощному математическому центру, которым был Геттинген, многочисленные контакты с различными математиками и осведомленность в разнообразных

⁷ Проблемы Гильберта. М., 1969. С. 13. 26

областях, что и определило жизненность созданных прогнозов. Так, формулировки проблем № 7— 12 (проблемы иррациональности и трансцендентности чисел, проблемы простых чисел, разрешимости диофантовых уравнений и др ) были предварены периодом работы Гильберта в области теории чисел (1893 - 1895). Сосредоточившись на теории чисел, Гильберт сразу пол>чнл важные результаты — новое доказательство трансцендентности чисел е и л, значительно превосходившее по простоте и ясности существовавшие ранее доказательства. Приобретя авторитет в этой области, Гильберт по поручению Общества немецких математиков (совместно с Минковским) приступил к подготовке обзора по теории чисел. Как указывал Г. Вейль, «представленный Гильбертом труд в бесконечное число раз превосходил все то, на что могло рассчитывать Общество. На самом деле его обзор представляет собой жемчужину математической литературы. Даже сегодня, спустя почти пятьдесят лет (статья Г. Вейля опубликована в 1944 г.— А. Б.), изучение этой книги необходимо для любого, кто пожелает стать специалистом по теории алгебраических чисел. Заполнив пробелы большим количеством своих собственных исследований, Гильберт придал этой теории величественную унифицированную форму»⁸. Таким образом, формирование прогнозов Д. Гильбертом происходило в контексте как исследовательской деятельности, так и деятельности обзорного характера. Его прогнозы, данные в виде проблем, явились результатом систематизации соответствующих областей математики, коллекторской работы и одновременно выражением его собственно творческой деятельности и индивидуальных предпочтений, его исследовательской интуиции. Прогнозы были «поризмами» в его работе. Конечно, не все прогнозы Гильберта-в равной мере опирались на эти две компоненты. Например, по ряду проблем чисто обзорных работ у Гильберта нет; формулировка некоторых проблем являлась заделом на будущее и предваряла собой последующие его изыскания (скажем, по основаниям математики в целом). Однако в целом подобные процедуры построения прогнозов развития математики, совмещая исследовательскую и коллекторскую деятельность, воплощают в себе субъективность как деятельное, активное начало. Именно такие прогнозы «предрасположены» к тому, чтобы впоследствии обратить на себя внимание научного сообщества, ибо они рождаются в контексте

⁸ Вейль Г. Давид Гильберг и его математические труды//Рид К. Гильберт. М., 1977. С. 321. Следует отметить, что, формулируя восьмую проблему, Гильберт связывал наибольший прогресс в теории чисел с доказательством гипотезы Римана о нулях дзэта-функции с помощью аналитических методов. В настоящее время в теории чисел под названием «дзэта-функция» понимают целый класс аналитических функций комплексного переменного, состоящий не только из дзэта-функции Римана, но также из ее обобщений и аналогов. Выделяются, например, обобщенная дзэта-функция, дзэта-функция Дедекинда (аналог дзэта-функции Римана для полей алгебраических чисел), конгруэнц-дзчта-функция (аналог дзэта-функции Дедекинда для полей ал!ебраических функции одного переменного) и т д. Именно такое развитие noipa',) мена их ь обчпиш Гм 1ьбертп по теории а.1гебранчга\И\ чисел

обширной исследовательской практики. В то же время проблемная форма прогнозов минимизирует возможность того, что эти прогнозы окажутся ложными в их объектной, содержательной части. В принципе можно сказать, что способ создания прогнозов будущего математики, предложенный de facto Гильбертом, мог применяться не только во времена существования математиков-универсалов (к числу последних относился сам Гильберт), но вполне допустим и в современной математике. Единственное отличие в том, что ранее такие прогнозы, даваемые отдельными математиками, могли охватывать математику в целом, ныне же они фиксируют только некоторые моменты. Как в XIX в., так и в условиях чрезвычайной разветвленности современной математики ее осмысление с перспективой на будущее развитие возможно и достижимо лучшим образом через реконструкцию сети решаемых в математике проблем, функционирующих в рамках исследовательской и кол-лекторской программ,— проблем, задаваемых активностью работающих математиков ⁹.

Итак, процедуры построения внутринаучных прогнозов в случае, когда эти прогнозы создаются отдельным исследователем или небольшой группой исследователей, могут быть разделены по степени «включенности» ученого (малой группы) в работу в данном направлении. Прогноз работающего ученого наиболее эффективен, если этот прогноз выступает как «поризм» в его коллектор-ской или исследовательской работе, а лучше всего в сочетании обоих типов работы. В «идеале» прогноз должен максимально опираться, исходить из коллекторской и одновременно исследовательской профессиональной деятельности.

Совершенно иной способ выдвижения прогноза реализуется в том случае, когда предвидение осуществляет большой коллектив математиков или же математическое сообщество в целом. Увеличение объема деятельности влечет за собой увеличение ее разнообразия. Отношения обладающих различными интересами ученых все более теряют предмет, отъединяются от собственно научной работы. В таких условиях совместная коллекторская и исследовательская работа становится невозможной, и отношения исследователей постепенно сводятся к ценностному аспекту, в который часто привносятся субъективные симпатии и антипатии, история отношений различных коллективов и т. д. Деятельность мирового математического сообщества или же крупных национальных и региональных сообществ суть система оценочных отношений как внутри этих сообществ (сообщества), так и математического

⁹ Точка зрения на математику, противопоставляющая «истинную» математическую деятельность (решение ненадуманных проблем, над которыми работают поколения математиков) «псевдодеятельности» (получению каких угодно результатов посредством применения технических приемов без осознания необходимости и смысла этих результатов), хорошо представлена в статье: Н а 1 m о s P. The Heart of Mathematics//The American Mathematical Monthly. 1980; Vol. 87. No 7, а также в кн.: Шафаревич И. Р. Основные понятия алгебры. М., 1986 и в рецензии В. И. Арнольда на эту книгу (Арнольд В. И. Математика с человеческим лицом//Природа. 1988. № 3).

сообщества с другими научными сообществами и с обществом в целом. Поэтому процедуры выдвижения прогнозов варьируются в зависимости от того, насколько они порождены оценочными отношениями и активно их выражают.

Наиболее приемлемым для всего математического сообщества взглядом на значимость математики для общества является представление о необычайной полезности («непостижимой эффективности»— Ю. Вигнер) математики при исследовании явлений различной природы и о том, что математика должна служить основой всех других наук. Не задевая проблем соотношения и относительной ценности различных разделов математики, такой взгляд почти автоматически приводит к выдвижению прогнозов о дальнейшем повышении значимости математики. Эти прогнозы формируются математическим сообществом различными способами, преследуют цель самосохранения и адресат их вне сообщества. Если речь идет о финансировании математики, то наиболее активным вариантом выдвижения соответствующих прогнозов является составление специальных справок, заявок и докладов, в которых аргументируется необходимость выделения средств на развитие математики. Типичным примером такого прогноза являются доклады Национальной академии наук (США) Конгрессу США о финансировании математики. Так, в докладе за 1984 г. с симптоматичным названием «Возрождение математики США» ¹⁰ проводится и всячески аргументируется мысль, что субсидии на математику, составившие в 1984 г. 78 млн дол., необходимо увеличить на 100 млн дол. Для этого авторы доклада приводят большое количество примеров и соображений о значимости математики для высокой технологии и военного строительства (выделение в технических устройствах сигналов из шумов — отслеживание взрывов ядерных устройств; методы оптимизации — реализация программы «Аполлон»; создание математических моделей для построения технических систем — конструирование Боинга-767 и т. д.), указывают на достижения американских ученых в «чистой» математике и в то же время свидетельствуют о том, что в силу меньшего по сравнению с другими науками финансирования престиж профессии математика падает (предоставляются многочисленные данные оттока математиков в компьютер сайенс, в другие науки, ухода в промышленные компании, сокращение числа аспирантов и докторантов — граждан США, ухудшение их финансовых условий). Однако, чтобы избежать сравнительного анализа общественной заинтересованности в различных разделах математики, авторы сознательно принижают данные ими примеры: «Спекуляции о будущем особенно рискованы в математических науках, ибо область очень широка и ее история наполнена непредвиденными приложениями большой практической важности. Широта области призывает нас быть в высшей степени селективными во взглядах вперед, рассмат-

¹⁰ Renewing US Mathematics. Critical Resource for the Future. National Academy Press, Washington D. C, 1984. Сведения о финансировании математики в США регулярно публикуются в: "Notices of the American Mathematical Society".

ривать только некоторые избранные области, только некоторые возможности» ". Основной задачей данного прогноза (в форме запроса к государству) является не установление внутренней субординации различных разделов математики и тем самым различных научных коллективов и школ (это будет позднее, после получения соответствующих субсидий, а пока задача иная!), а обоснование благоприятного для всего математического сообщества прогноза, утверждения, что в случае достаточного субсидирования математика будет развиваться быстро и приносить новые плоды. «Математические исследования должны быть столь широкими и оригинальными, насколько это возможно... Мы видим, что наиболее далеко идущие и успешные будущие приложения математики не могут быть предопределены сегодня, поскольку они возникнут из еще не открытой математики» '². Ценность такого прогноза не в его формулировке (она достаточно очевидна), а в том, что он явился результатом специальных усилий группы экспертов и сопровожден достаточным количеством аргументов, имеющих смысл в глазах лиц и институтов, ответственных за принятие решений.

Различие социальных структур, в рамках которых функционирует математика, обусловливает разные способы формирования прогноза, выражающего жизненный интерес всего математического сообщества. Так, если проблема финансирования не' имеет самостоятельного характера и решается в контексте общей политической установки, то и сам прогноз должен быть значим для принятия политического решения, хорошо политически (идеологически, если политика не прагматична) аргументирован. Ьсли при этом система принятия решений является «волевой», административно-распределительной, то составление такого прогноза, процедуры его формирования — прерогатива администраторов, позиция которых наиболее убедительна не потому, что они «рекрутируются» из известных исследователей, а потому, что они включены в систему принятия решений. Например, в журнале «Коммунист» опубликована совместная статья В. С. Владимирова (директора Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР) и Л. Д. Фаддеева (зам. директора института по Ленинградскому отделению) «Тенденции развития современной математики» ¹³.

Прогноз развития математики, представленный в этой статье, составлен полностью по рецептам политического и административного управления математикой. Так, уже в начале статьи дается ссылка на верхние этажи принятия политических решений и тем самым подчеркивается, что декларируемая далее позиция политически обоснована: «Ярким проявлением заботы партии и правительства о фундаментальных исследованиях в Советском Союзе стало Постановление ЦК КПСС и Совета Министров СССР от 13 ноября 1986 г. об усилении научно-исследовательских работ

" Renewing US Mathematics.. P. 25 -26.

¹² Ibid. P. 120.

¹³ Владимиров В. С, Фаддеев Л. Д. Тенденции развития современной математики//Коммунист. 1988. № 12.

Ж)

в области математики. Оно нацелено на опережающее развитие математической науки, на сохранение ее лидирующего положения в комплексе естественнонаучных дисциплин, на завоевание новых, более высоких позиций в мировой науке, на преодоление наметившегося отставания некоторых областей теоретической и прикладной математики, повышение престижа профессии математика» '⁴. Сходство целей, стремление математического сообщества к самосохранению и расширенному воспроизводству обеспечивает сходство выдвигаемых здесь и в докладе «Renewing US Mathematics» аргументов в пользу полезности математики (развитие математического моделирования; применение теории групп для описания симметрии в физике и химии, предсказания новых частиц; суперанализа — для описания суперсимметричной теории поля Янга-Миллса и суперструны; теории автоматов и булевых алгебр — для конструирования ЭВМ; теории обобщенных функций — в теоретической и математической физике, и т. д.) ив то же время тревожного для сообщества положения с притоком в математику способной молодежи, уровнем преподавания математики, сокращением числа математических центров, недостаточным уровнем аспирантуры и докторантуры и т. п. Аналогично и стремление «отстраниться» от предметного содержания прогноза, не допустить сравнительного анализа значимости различных разделов математики (во-первых, замечание о том, что некоторые примеры выбраны только потому, что они близки научным интересам авторов, и, во-вторых, указание на то, что те математические теории, которые еще не нашли своих приложений, «составляют органичное звено в целостном здании математики и у многих из них, как показывает история развития науки, со временем непременно появятся приложения») . Однако общее сходство аргументации не должно затемнять различия процедур построения такого типа прогнозов, полностью определяемых структурами управления и социальными институтами, с которыми соотнесена математика.

Но вот благоприятный для всей математики прогноз выдвитт и аргументирован. Следующим, причем неизбежным для математического сообщества, этапом является построение прогнозов, имеющих внутренний оценочный характер, т. е. устанавливающих динамику соотношения разделов математики. Это — прогнозирование для «внутреннего» потребления. Процедуры выдвижения такого рода прогнозов затрагивают интересы различных на\ч-ных школ, направлений и пр.; общий интерес здесь кончается и уступает место жесткой конкуренции. Соответственно процедуры выдвижения прогнозов, устанавливающих субординацию разделов математики, различаются по интенсивности столкновения интересов .

Косвенное столкновение происходит в том случае, когда прогноз, носящий проблемный характер, всем группам, школам,

^м Владимиров В. С, Фаддеев Л. Д. Тенденции развития современной математики//Коммунист. 1988 № 12. С. 95. ^г' Там же. С. 98.

направлениям, коллективам и т. д. исходно предоставляет равные возможности, и каждое направление и ученый может претендовать на то, чтобы развиваемые им идеи «вписались» в этот прогноз. Конечно, это иллюзорное равенство, но тем не менее само выдвижение некоторой задачи, проблемы, вопроса на конкурс не вызывает возражений, споры по поводу необходимости такого выдвижения остаются «за занавесом», и каждому в принципе не возбраняется участвовать в конкурсе и надеяться на успех. Выдвижение прогноза здесь заключается в том, что некоторое направление и стоящие в нем проблемы объявляются важными, имеющими общематематическую ценность, и всем желающим предлагается участвовать в разработке этого направления. Типичными примерами подобных конкурсов являются регулярно объявляемые многими математическими обществами и журналами премии и конкурсы на заданные темы. Объявление таких конкурсов имеет давнюю традицию. Так, проблемы обоснования дифференциального и интегрального исчисления были поставлены в конкурсе Математического класса Берлинской академии наук (1784—1986) на тему «О математической теории бесконечного» ^|ь, долгая история у премии, назначенной за решение Великой Теоремы Ферма...¹⁷ Близким по смыслу к названному приему привлечения внимания математического сообщества к выделенным направлениям выступает формирование тематики грантов и принятие заявок на эти гранты от всех желающих, или же составление списков целевых программ и приоритетных тем с назначением ответственных исследователей и организаций, предоставляющих проекты по этим темам (административно-управленческий вариант). Поощрение активности в заранее заданных направлениях во всех таких случаях необходимо должно быть «освящено» авторитетом инициативных групп, формирующих эти направления и тем самым пролагающих путь дальнейшему развитию математики. Значимость прогноза, весомость процедур его выдвижения прямо зависят от авторитета выдвигающих прогноз групп: чем более представительный состав собран, тем более основательно данный прогноз составлен. Поэтому процедуры выдвижения прогноза — суть усилия по организации групп единомышленников, афиширования их программ деятельности в виде конкурсных предложений, поиска поддержки этим начинаниям со стороны общества. Такая деятельность, носящая организационный характер, вполне совместима с собственно научной работой и отражает устремленность в будущее, желание привлечь внимание и поддержать свое направление. Прогноз строится здесь как реклама, и эффективность процедур его выдвижения сродни эффективности тех или иных приемов создания и подачи рекламы. Тем не менее привлечение внимания к уже стоящим проблемам

¹⁶ См.: Юшкевич А. П. Л Карно и конкурс Берлинской академии нау| на тему о математической теории бесконечного//Йсторико-математические иссле дования. Вып. 17. М., 1974.

'' Премия в 100 тыс. герм, чарок, назначенная в 1908 г., была частично ис пользована на другие нужды, и к тому же произошла инфляция марки.

и построение прогнозов в виде объявления конкурсов по этим проблемам и, следовательно, признания их важными для будущего математики и косвенно определяющими тенденции ее развития недостаточно для заполнения всего спектра деятельности математического сообщества. Оценки тенденций не исчерпываются выдвижением конкурсных проблем. Приходится оценивать и уже полученные результаты, субординировать их по степени значимости. Эта сторона жизни математического сообщества характеризуется уже не косвенным, а прямым столкновением интересов. В основание прогноза здесь зачастую вкладывается признание заслуг в получении некоторого результата: область, в которой получен данный результат, объявляется существенной для математики и выдвигается на передний план, определяя тенденции развития математики. Например, наиболее престижные в математическом сообществе Филдсовские медали и премии (впрочем, последние имеют скорее символический характер) ^|8, являющиеся высшей наградой Международного математического Союза и вручаемые с 1936 г. в связи с проведением Международных математических Конгрессов, более чем наполовину присуждались за работы в областях алгебраической геометрии и алгебраической топологии — по выражению Ж. Дьедонне, областях, изучающих «структуры» в большей степени, чем объекты, этими структурами наделенные ¹⁹. Не исключением стал и Конгресс 1986 г. в Беркли: С. Доналдсон (Англия) стал лауреатом за работы по топологии 4-мерных многообразий, Г. Фалтингс (ФРГ) — за доказательство гипотезы Морделла с помощью методов алгебраической геометрии и М. Фридман (США) — за открытие и применение новых методов топологического анализа 4-мерных многообразий, в том числе за доказательство гипотезы Пуанкаре для S⁴. Согласно исходному замыслу присуждение Филдсовских медалей подразумевает поощрение будущей активности лауреатов и способствует привлечению внимания к данному направлению. Однако объявление всему сообществу таких приоритетов ставит в подчиненное положение - другие разделы математики (теорию дифференциальных уравнений в частных производных, теорию вероятностей, функциональный анализ и др.), несмотря на все их контакты и «пересечения» с указанными ранее областями, и не может быть реализовано без достаточно жестко проводимой политики Филдсовского комитета и противоборства мнений внутри него. Кроме того, отражая тенденции развития современной математики в зеркале коллективных интересов и их столкновений, присуждение медали Филдса навязывает мнение, отягощенное привходящими обстоятельствами

¹⁸ Историю присуждения Филдсовских медалей и краткие данные о лауреатах см.: Монастырский М. И. Лауреаты премий Филдса//Историко-математи-ческие исследования. Вып. XXXI. М., 1989; Albers D. J., Alexanderson G. L., Reid С. International Mathematical Congresses. 1893—1986. Revised ed., Sprin-ger-Verlag, 1987; Tropp H. S. The Origin and History of the Fields Medal//The 'Mathematical Intelligencer. 1978. Vol. 1. No 3.

¹⁹ Dieudonne J. Present Trends in Pure Mathematics//Adv. Math. 1978. Vol. 27. No 3.

•t А. Г. Барабашев - 33

по поводу соотношения различных региональных математических школ. Так, за годы существования Филдсовских ме.далей советские математики получили всего 2 премии (С. П. Новиков, 1970 г.; Г. А. Маргулис, 1978 г.) и в то же время математики США— 12, Англии — 4, Франции — 6, что несравнимо с действительным вкладом отечественной математической 1Ги»олы в развитие науки. Благородный, но во многом утопический замысел Дж. Ч. Филдса, предлагавшего назвать медали просто*- «Интернациональными медалями», что должно было подчеркнуть международный аспект премий, несовместим с их действительным статусом как задающих приоритет частных интересов, навязывающих их математическому сообществу. Предвидение будущего математики самим математическим сообществом не может не быть выбором, и процедуры принятия этого выбора Ьбязательно вызывают столкновение позиций, ценностно ориентированы. И чем более активны те группы и коалиции исследователей, которые составляют прогноз, выдвигают проблемы и поощряют за продвижение в их решении, пропагандируют свои достижения, стремятся превратить свой частный интерес в интерес общий, тем больше фундирован их прогноз.

Итак, независимо от того, отдельный исследователь или социальный субъект (математическое сообщество в целом или значительная группа ученых) выдвигает прогноз, последний заслуживает большего внимания и потенциально обладает объективностью в том случае, если процедуры его выдвижения вбирают в себя в наибольшей степени субъективное как активное начало. Чем более процедура выдвижения прогноза «вписана» в ткань научной деятельности (для отдельных ученых или малых исследовательских групп), или же в оценочные отношения внутри больших математических коллективов и направлена вовне этих коллективов, тем большей убедительностью обладает данный прогноз в глазах сообщества, тем более он привлекателен как основание для последующей деятельности и тем больше шансов прогнозу состояться. Предпосылки объективности субъективного во внутри-научном предвидении заключаются не столько в самом прогнозе, его содержании, сколько в активности субъективного, деятельности по созданию^ прогноза.

РЕАЛИЗАЦИЯ ВНУТРИНАУЧНЫХ ПРОГНОЗОВ: ПУТЬ ОБЪЕКТИВАЦИИ СУБЪЕКТИВНОГО

Поскольку процедуры выдвижения прогноза подчинены процедурам его реализации, иначе говоря, поскольку самые блестящие замыслы, к которым не приложены усилия по их воплощению в жизнь, обречены пополнить список неиспользованных возможностей, постольку в состав виутринаучного предвидения

необходимо включить не только совокупность прогнозов и процедур их построения, но также и совокупность приемов, методов, способов и т. д. реализации созданных прогнозов. «Практика» реализации прогнозов — основа внутринаучно-прогностической деятельности. Без реализации (выполнения) прогнозов построение прогнозов и сами прогнозы не могут образовать завершенный комплекс внутринаучного предвидения. Только при таком, т. е. расширительном истолковании внутринаучного предвидения возможно обосновать его объективность, разрешить парадокс объективности внутринаучного предвидения: каким образом субъективное мнение (прогноз) в итоге правильно определяет будущее состояние математики.

Принятие прогноза как проекта последующей деятельности означает, что он превращается для исследователя или коллектива в цель. Исполнение прогноза относительно будущего того или иного раздела математики (математики в целом) приобретает характеристики процесса целедостижения. Поэтому анализ реализации внутринаучных прогнозов возможно осуществить с применением понятийного аппарата теории целеполагания и целедостижения. Реализация прогноза предстает как эффективное целе-достижение, как целенаправленное поведение. Целеустремленная деятельность реализует цель, превращая ее в реальность, субъективное мнение (прогноз) — в объективное положение вещей. В понятиях теории целедостижения и целеполагания парадокс финальной объективности изначально субъективного внутринаучного прогнЪза трансформируется в парадокс целедостижения, принципиальной возможности отождествления замышленного и реализованного. Каким бы ни был прогноз по содержанию, если он построен как проект и далее проект «принят к реализации» отдельными исследователями или научным сообществом, стал целью, он может сбыться, предвиденное в нем состояние наступить. Это .воплощение проекта, превращение фантазии в реальность, обладает рядом особенностей, позволяющих говорить о том, что при Определенных условиях, характеризующих целедостижение, субъективное способно стать объективным. Эти условия целедостижения должны стать предметом особого рассмотрения.

Целедостижение является не только одной из важнейших характеристик субъективности, но и постоянно напоминает о присутствии объективной реальности, которая не позволяет осуществиться замысленному так, как было задумано, вносит корректировку в проект. Поэтому исследование целедостижения должно производиться на двух различных уровнях: на уровне эволюции обьект-ного содержания цели, постепенного «дрейфа» этого содержания в процессе продвижения от исходного состояния цели (цели-замысла) к конечному результату целедостижения (воплощенной цели), а также на уровне эволюции субъективного Удержания цели в процессе целедостижения. Указанные два уровня рассмотрения — основа предстоящего исследования.

Объектное погружение, анализ процесса достижения цели с

³* 35

точки зрения эволюции ее содержания начнем с рассмотрения цели в ее исходном состоянии Специфической объектной особенностью цели-замысла, первоначального содержания выдвинутого прогноза, является задание этого содержания в «туманном» виде, как формулировки того, что интересует исследователей, смутно-понятийного воплощения любопытства При этом прогноз необязательно должен выглядеть к-ак проблема Но он, как и всякий проект, принципиально не способен вместить в себя всю последующую деятельность по своей реализации и поэтому должен оставлять свободу для уточнений Минимальная степень неопределенности цели заключается в открытости вопроса о том, верно некоторое утверждение или нет Однако такие вопросы в основном ставятся внутри хорошо разработанных теорий и решаются средствами их технического аппарата В общем же случае степень неопределенности цели-замысла гораздо больше Так, среди выдвинутых Д Гильбертом 23 проблем более 2/3 не сводятся к простому вопросу, на который следует ответить либо «Да», либо «Пет», а несут в себе общие вопросы, относящиеся к дальнейшему развитию различных областей математики Казалось бы, ясно и окончательно технически сформированные проблемы Гильберта чаще всего приводили к исследованиям, выходящим за пределы исходного понятийного аппарата, и ответ на эти вопросы оказывался более сложным, чем Гильберт предполагал заранее Аналогично простая и доступная любому неспециалисту формулировка Великой Теоремы Ферма в процессе доказательств оказалась «погребенной» под многочисленными слоями исследований, использующих новейшие достижения и технически далеко выходящих за пределы исходной формулировки

Другим примером, дающим представление о возможной значительной неопределенности исходного замысла, является начальная формулировка проблемы четырех красок В 1852 г бакалавр Лондонского университета Фрэнсис Гутри заинтересовался вопросом, достаточно ли четырех различных цветных карандашей для раскраски карты графств Англии Возникла, как элементарное обобщение этого вопроса, проблема если дана карта страны, разбитой на области, то б)дет ли достаточно четырех красок для раскраски этой карты таким образом, чтобы имеющие общую границу области не были одного цвета'⁵ Именно неконкретность поставленной проблемы, вызвавшей интерес математического сообщества, которое придало этой проблеме значимость в математическом плане и тем самым превратило ее в цель для многих поколений исследователей, позволила широко и разнообразно трактовать проблему, продвигаясь к ее решению '.

' Сходная познавательная ситуация, детально проанализированная И Ла катосом, имелась и в случае исходной формулировки теоремы Эйлера о сумме вер шин, ребер и граней многогранника (Лакатос И Доказательства и опровержения Как доказывают теоремы М , 1967) Однако из рассмотрения этой познавательной ситуации И Лакатос сделал выводы иного, ещи можно так выразиться, более «объективистского» плана Эти выводы были им окончательно сформулиро-

Многосмысленность, «аморфность» исходной математической ^постановки проблемы о четырех красках была крайне высока Речь шла о карте графств Англии, а не о любой карте на сфере. Более того, Гутри даже не ставил вопроса, относится ли проблема четырех красок к картам на сфере, либо имеются в виду и другие типы поверхностей (например, поверхности S_p — сферы с количеством «ручек» р). Он, по-видимому, не представлял себе ясно, что значит «всегда достаточно четырех красок», т. е., каковы должны быть условия, накладываемые на границы соседних областей и связность областей. Наконец, Гутри обнаружил эту проблему, закрашивая контурную карту графств Англии,— обнаружил ее в деятельности, ориентированной на достижение ' других целей: эта цель возникла как «поризм» в широком смысле слова, т. е. как побочное утверждение, которое, если бы оказалось верным, помогло бы достичь других целей более просто. _; В отличие от исходной формулировки прогноза как цели-I замысла достаточно неопределенного содержания, окончатель-| ный результат (воплощенная цель, реализовавшийся прогноз) I является точным утверждением, или совокупностью точных I утверждений, выраженных с помощью хорошо отработанных технических средств. Так, если говорить о проблеме красок приме-

ваны на материале истории опытных наук и представлены в виде концепции исследовательских программ Концепция исследовательских программ, как неоднократно отмечалось, к математике непосредственно не применима, хотя в последние годы жизни Лакатос, а затем и многие другие исследователи, стремились пе ренести положения этой концепции на математику и истолковать ее как квазиэмпирическую науку, обладающую своим особым классом потенциальных фальси фикаторов Неудача попыток применения концепции исследовательских программ к развитию математики (а если шире, то скрытый «порок» всей концепции исследовательских программ) может быть понятной в том случае, если рассматривать математическую (шире — научную) деятельность как целеполагание и целе-достижение В концепции исследовательских программ стоящая перед исследователями общая цель (например, доказать для многогранников истинность утверждения V — F + Н = 2) истолковывается как жесткое ядро программы, которое должно быть отгорожено от фальсификации средствами из защитного пояса (цитируя Лакатоса, исследовательская программа «включает в себя конвенциаль-но принятое (и поэтому «неопровержимое», согласно заранее избранному решению) «жесткое ядро» и «позитивную эвристику», которая определяет проблемы для исследования, выделяет защитный пояс вспомогательных гипотез, предвидит аномалии и победоносно превращает их в подтверждающие примеры — все это в со ответствии с заранее разработанным планом» (И Лакатос История науки и ее рациональные реконструкции//Структура и развитие науки М , 1978 С 217) Но цели исследования в математике, как и в любой науке, пластичны и могут ви доизменяться, не будучи целиком предопределенными в исходной интуиции исследователей, заранее разработанных планов, «жестких» целей не существует, а иллюзия тотального планирования — одна из самых опасных иллюзий XX столетия (чего И Лакатос в конце 50-х — начале 60-х гг , конечно, разглядеть не мог) «Жесткое ядро» программы несет в себе неустранимый налет субъективности, т е оно в действительности отнюдь не жесткое Таким образом, проблема нахожде ния потенциальных фальсификаторов не является главной для установления применимости концепции исследовательских программ к математике Эта проблема — не более чем следствие разработанного И Лакатосом объективистского понимания статуса ядра исследовательской программы, понимания, входящего в противоречие с реальным процессом целеполагания и целедостижения в науке

нительно к поверхностям более сложным, чем сфера или плоскость, то проблема раскраски карт на этих поверхностях оказалась решенной в 1968 г. (Г. Рингель, Дж. Янгс) в следующей формулировке: «Графы на поверхностях с эйлеровой характеристикой большей двух допускают треугольные вложения в эти поверхности». Отсюда следовала справедливость утверждения:

для р>1, где S_p — поверхность сферы с

р ручками; %(S_P) — хроматическое число этой сферы, т. е. наименьшее количество v красок, необходимых для раскраски карт

на такой сфере; [ ] —целая часть выражения

Данная формула была предложена jb статье П. Хивуда в 1890 г., и Хивуд ошибочно считал, что он ее доказал. Случай р=0 (карта на сфере), при котором согласно формуле Хивуда количество красок должно быть равным четырем, представляющий собственно проблему четырех красок, Рингелем и Янгсом доказан не был. Доказательство для сферы с помощью ЭВМ было предложено К. Аппелем и^ В. Хейкеном в 1976 г., однако оно не признается многими математиками из-за различия методологических представлений о том, возможно ли и насколько применение ЭВМ при доказательстве математических теорем, а также из-за открытости вопроса о верификации программы Аппеля и Хейкена. В любом случае формулировка, используемая Аппелем и Хейкеном, обладает еще большей технической сложностью. Значительное отличие формулировки исходной проблемы (а если шире — прогноза, принятого как проект последующей деятельности) и формулировки итогового результата (цели воплощенной, реализованного прогноза) состоит в используемых понятийных средствах, в тех математических объектах, о которых идет речь. Требуется дополнительное усилие, чтобы понять, что полученный результат является родственным исходной цели, т. е. что целедостижение действительно свершилось. Необходимо ответить на следующие вопросы:

1. В чем состоит сходство цели-замысла и воплощенной цели?

2. Каковы причины различия первоначального и достигнутого?

3. Почему, несмотря на неполное совпадение исходного и конечного пунктов целедостижения, возможно пренебречь различием и утверждать, что достигнута именно исходная цель?

Ответ на эти вопросы является ключевым для понимания того, каким образом субъективность внутринаучного прогноза оборачивается его объективностью, при каких условиях построения и реализации внутринаучного прогноза он непременно буде^гверным по содержанию.

Рассмотрим этапы продвижения от цели-замысла к вопло

См. Рингель Г Теорема о раскраске карт. М., 1977 С. 15—16.

щеиию цели. Анализ этих этапов поможет уяснить, как происходит объективация в структуре внутринаучного предвидения. Первым этапом целедостижения является уточнение аморфной, допускающей различные истолкования цели-замысла. Исследователь выясняет, что технических средств, необходимых для реализации замысла, недостаточно и что первоначальный проект (цель) в столь несовершенном понятийном выражении недостижим. Возникает необходимость профессионализации и подключения более мощных теоретических средств. Начинается активное приспособление различных конструкций, созданных по другим поводам в математике, а если необходимо, то и потребное целедостижению создание совершенно новых конструкций. При этом в самом начале присутствует вполне естественное стремление обойтись минимальными новшествами и строить рассуждения согласно зарекомендовавшим себя образцам. Так, Ж. Дьедонне по этому поводу приводит пример работы А. Пуанкаре: «Что делает математик, когда перед ним встает совершенно новая для него проблема, которую он никогда не изучал и над которой он только начинает работать? Чаще всего он либо совсем не знает, какие вопросы надо ставить, либо ста» и; абсурдные вопросы. Здесь типичным примером может служив А. Пуанкаре. ...Когда Пуанкаре начал работать над автоморфными функциями, как он сам говорит об этом в своей книге (речь идет о главе «Математическое творчество» в его книге «Наука и метод».— А. Б.), он пытался доказать, что не существует других автОморфных функций, кроме тех, которые были хорошо известны в то время (в том числе модулярных функций). Отсюда видно, до какой степени даже самые крупные математики могут двигаться в совершенно абсурдном направлении. Пуанкаре заметил это сам, и именно в этом проявилась его, как говорят, большая интуиция, потому что, изучая вопрос, понемногу начинают осваиваться в незнакомой стране; привыкая, приходят к умению угадывать, что должно произойти, когда встречают данный математический объект, и какой инструмент нужно применить для его исследования. Постепенно прекращаются нелепые ошибки, допускаемые вначале. В конце концов вырабатывается определенная привычка к теме и, если повезет, удается поставить проблему и решить ее»³. Под давлением новых теоретических средств формулировка цели эволюционирует и отделяется от цели-замысла (исходного проекта) по двум параметрам: а) цель уточняется; б) эта уточненная формулировка, являющаяся определенным переложением цели замысла на техническом языке тех или иных специальных разделов математики, осмысливается как цель-замысел интенционная, т. е. указующая на данные разделы математики как на потенциально реализующие цель. Это — вписывание цели в конкретный языковый каркас.

³ Дьедонне Ж. Абстракция и математическая интуиция//Математики о математике. М., 1982.

В зависимости от языковых каркасов возможны различные модификации, интенционные цели. Вот несколько переформулировок проблемы о четырех красках, на «языках» разных разделов математики ⁴:

— каждый планарный граф допускает раскраску в четыре цвета (язык теории графов);

— для любой карты хроматический многочлен Р(М,4)>0 (вычислительный метод в исследовании проблемы четырех красок);

— ребра планарного графа могут быть ориентированы так, что отношение потока каждого цикла не больше трех (вводится направление движения по графу — теория графов тока, Густин).

Формулировки внутринаучного прогноза, данные в понятийном аппарате тех или иных разделов математики, математических теорий, могут быть двух возможных сортов. Они представляют собой либо негативные, либо позитивные утверждения, относящиеся в этом понятийном аппарате к некоторым заданным в нем объектам (такие-то объекты должны обладать такими-то свойствами или же должны не обладать такими-то свойствами). Смысл как негативных, так и позитивных утверждений, перелагающих исходную формулировку на «язык» данного раздела математики, состоит в том, чтобы отсечь, ограничить набор возможных свойств и отношений этих объектов⁵. Для проблемы четырех красок облик этих негативных и позитивных утверждений-переформулировок исходной проблемы показан в статье Т. Саати. Он дает несколько по-разному сформулированных примеров условий, достаточных для того, чтобы гипотеза о четырех красках (т. е., что четырех красок достаточно; в отличие от проблемы гипотеза более определенно оценивает предполагаемый результат ⁶) оказалась неверной, а также примеры условий, гарантирующих верность гипотезы. Так, если бы удалось доказать существование неприводимого планарного графа, то четырех красок не всегда было бы достаточно для раскраски карт.

Перешедшая на уровень интенциональности, т. е. вписавшая-

⁴ В статье Т. Саати «Вариации на тему четырех красок» (в сб.: Проблемы современной математики. М., 1975) приводится 15 таких переформулировок и уточнений, свидетельствующих о богатых возможностях модификации исходной цели.

⁵ В случае теоремы Эйлера о многогранниках такие ограничения, накладываемые на определения многогранника, связывались И. Лакатосом с нахождением локальных и глобальных контрпримеров (что позднее, в концепции исследовательских программ, по-видимому, послужило истоком его представлений об эвристике двух типов). Однако в целедостижении эти ограничения, в противоположность мнению Лакатоса, не вынуждены открытием контрпримеров, но выполняют важную и самостоятельную роль понятийных перестроений и уточнений исходной цели (ядра программы), адаптируют цель к условиям различных языковых каркасов.

⁶ В данном случае «гипотеза состоит в том, что правильная раскраска в четыре цвета любой плоской карты существует, проблема же в том, чтобы доказать или опровергнуть эту гипотезу» (Бел а га Э. Г. Мини-геометрии//Четыре фрагмента математики XX века. М., 1977. С. 8). Кстати, построение прогноза в виде гипотезы может обернуться его неисполнением из-за того, что гипотеза имеет недостаточное количество «степеней свободы», возможностей уточнения.

ся в определенный языковый каркас цель может сильно отличаться от исходной цели-замысла; переложенный в понятийный аппарат того или иного раздела математики прогноз «отрывается» от первоначального проекта. А если учесть, что ранги интенцио-нальности могут повышаться и новые языковые средства могут становиться все более и более специфическими, опосредованно соединенными с исходным языком, в котором был сформулирован прогноз, то процесс наращивания языковых средств и усиления интенциональности, технически понятийного «оснащения» цели предстает как калейдоскопическое чередование негативных и позитивных критериев и формулировок, их взаимозамена. 1Дель «плывет» в сторону усложнения языковых средств, и этот «дрейф» выказывается в моментах замены ее формулировок, генерации все новых и новых требований ограничительного или раскрывающего характера, В процессе смещения цели ее образы (интенционные цели) появляются во все новых и новых областях математики, в их понятийных аппаратах, но цель-замысел — исходная, расплывчатая, аморфная остается связующим звеном всех этих образов. Такое соотнесение обеспечивает возможность отождествления замысленного и реализованного.

На втором этапе целедостижения происходит забвение первоначальной цели и даже ее образов в понятийных аппаратах различных разделов математики во имя более подробного исследования этих понятийных аппаратов, разработки собственно теории. Привлечение новых технических средств способно поглотить внимание исследователя полностью, и сама цель при этом может раствориться в потоке технического (математическая техника, изобретение нового аппарата) новаторства. Чем более неопределенным был исходный, превратившийся в цель прогноз, или же чем более сложной оказалась впоследствии поставленная проблема, тем более требуется привлечение значительных технических средств. Например, попытки решения Великой Теоремы Ферма привели к формированию и развитию теории идеалов (Куммер), развитию алгебраических методов в теории чисел и т. д.⁷ Пр^ этом сама теорема в сознании многих исследователей отошла на «задний план» и занятия ее доказательством превратились в неафишируемый предмет исследования. Исследование открывающихся теоретических горизонтов есть разработка математики в чистом виде, выяснение строения мира математических объектов, «онтологии» этого мира ⁸. С точки зрения после-

⁷ См.: Хинчин А. Я. Великая теорема Ферма. М., 1927; Эдварде Г. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. М., 1980; Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. М., 1985.

⁸ «... Математические формы происходят из фактов обычно через предположительные идеи, которые скорее туманны и неясны, чем четки и ясно выражены. Изучение математики показывает, что одна такая идея может иметь несколько формальных реализаций. К примеру, понятие «следующий» может привести к аксиоматике Пеано, к ординальным числам, к деревьям. Идея «гладкости» может привести к понятиям непрерывности, дифференцируемости, аналитичности.

дующего возврата к реализации исходных замыслов такие теоретические исследования нарабатывают материал впрок, исследуются возможности математической реальности, представленные в этом языке. Не следует считать, что целедостижение на данном этапе полностью отсутствует: появляются иные, внутритеоретиче-ские идеи и представления о том, что можно получить в данной области, свои прогнозы ее будущего развития, и реализация этих прогнозов «встраивает» в сценарий начального целедостижения новые сюжеты. Но в целом разработка теории обладает собственным весом и значимостью в глазах исследователей, является той «игрой», которой занято подавляющее большинство математиков и важность которой недооценивать нельзя.

Наконец, на последнем этапе целедостижения выбирается утверждение в одной из теорий⁹ или несколько утверждений в различных теориях, которые и объявляются достигнутой целью, реализацией прогноза как проекта. Этот результат (результаты) отбирается таким образом, чтобы он возможно меньше (по формулировке) отличался от соответствующей интенционной цели, сформулированной на 'языке данной математической теории. Прогнозы, формулировки которых уже используют значительные технические средства и возможные степени свободы в варьировании которых невелики, чаще всего достаточно соотнести с одним «узлом» в сети логически связанных утверждений, составляющих содержание этой математической теории и имеющих специфическое понятийное выражение. Такой «узел», утверждение в языке данной теории объясняется решением исходной проблемы (достижением замысла), а его несовпадение с проектом заключается в том, что проблема объявляется решенной при ограничениях. Говоря образно, интенционная цель не обязательно является каким-либо «узлом» сети утверждений теории, в общем случае располагается где-то «между» этими узлами. Однако «ячейки» данной сети должны быть достаточно мелкими, чтобы интенционная цель была задержана ими и не «провалилась» в следующее, более частое сито понятийного аппарата еще более технически изощренной математической теории, обретя при этом новые понятийные очертания. Поэтому каждая новая теория — благо, но бесцельные переходы ко все новым понятийно усложненным теориям не приветствуются математическим сообществом. Используя сравнение К. Поппера, «теории — это сети, предназна-

Идея «композиции двух операций» приводит к теории групп, полугрупп, категориям, умножениям матриц. Идея объединения сложных объектов множества ведет к различным формализациям теории множеств. И так далее: ведущие идеи существенны для развития математики, но они неясны и расплывчаты, поэтому они должны быть записаны в точной математической форме, уже без всякой неопределенности». (Мак-Лейн С. Математическая логика — ни основания, ни философия//Методологический анализ оснований математики. М., 1988. С. 150). ⁹ Здесь и далее понятия «математическая теория», «область математики», «раздел математики» употребляются как синонимические, хотя по-настоящему использование понятия «математическая теория» обязывает к проведению аналогий с теориями естественнонаучными.

; ченные улавливать то, что мы называем «миром» ¹⁰ для осознания, i объяснения и овладения им. Мы стремимся сделать ячейки сетей S все более мелкими» ^п. Чем более общий характер имеют исходные j прогнозы, превратившиеся для исследователей в цели, тем труднее ' обойтись сетью, предоставляемой одной теорией; исходный замы-1 сел «вылавливается» только совокупностью многих теорий. Напри-I мер, прогноз Ф. Клейна о будущем увеличении роли теоретико-; групповых методов в математике реализовался посредством : значительного количества результатов, полученных с помощью теоретико-групповых представлений в различных частях математики. Аналогичным образом утверждение о том, что в настоящее время происходит замена теоретико-множественного подхода к математике новым, категорным подходом, может реализоваться как прогноз только тогда, когда, во-первых, язык теории категорий станет действительно эффективным во многих областях математики, т. е. с его помощью будет получено значительное количество новых нетривиальных результатов в этих областях, а во-вторых, сама теория множеств будет переосмыслена посредством теории категорий. Все это подразумевает активную деятельность по реализации данного прогноза ¹². Для прогноза наиболее общего плана окончательная реализация вообще недостижима, поскольку возможный спектр порождаемых ими интен-ционных целей не ограничен.

Итак, анализ процесса достижения цели в объектном подходе показывает, что:

1) сходство цели-замысла и воплощенной цели состоит в том, что некоторое утверждение (совокупность утверждений), сформулированное в языке конкретной математической теории (нескольких математических теорий), объявляется реализацией исходного замысла;

2) различие прогноза и полученных результатов (утверждения или совокупности утверждений) обусловлено тем, что интен-

ционная цель (т. е. переложение поставленной цели на языке

¹⁰ Здесь Поппер имеет в виду теории в эмпирических науках. Соответственно «мир» для негю суть экспериментально «улавливаемая» реальность. Для математика «мир» превращается в мир математических объектов, обладающих специфическим существованием, и выполнение прогноза относительно некоторого результата, его значимости для математики, тенденций развития тех или иных математических теорий (разделов, областей) означает выявление предполагаемых этим прогнозом соотношений математических объектов.

¹¹ Поппер К- Логика научного исследования//Поппер К. Логика и рост •научного знания. М., 1983. С. 82. При этом Поппер подчеркивает, что функции

теории в эмпирических науках не сводятся к предсказанию. Как он пишет, «тео-

|ретика интересует объяснение как таковое, то есть проверяемые объяснительные теории, а приложения и предсказания интересуют его лишь по теоретическим основаниям — поскольку их можно использовать для проверки теорий». Там же. С. 82. Похожее сравнение теории с сетью проводил и К. Гемпель (см.: Мам-чур Е. А. Проблемы выбора теории. М., 1975).

¹² Если такая деятельность по тем или иным причинам прекратилась (скажем, натолкнувшись на трудно преодолимые препятствия), то исследователи мо-Сут отвернуться от данного ранее прогноза, ошибочно посчитав его нереализуемым в принципе.

данной теории) в общем случае не является истинным утверждением или совокупностью утверждений этой теории;

3) целедостижение становится возможным потому, что исследователь способен «волевым» образом произвести «коррекцию» интенционной цели, заменяя ее на достаточно сходные, по его мнению, с ней, истинные утверждения теории. Внешне это выглядит как решение проблемы, доказательство теоремы и т. п. при заданных ограничениях.

Последний из сделанных выводов показывает, что элемент субъективности в целедостижении принципиален, ибо объявление некоторого утверждения реализованным, хотя и при ограничениях, замыслом может вызывать возражения. Так, решение проблемы Бернсайда при ограничениях (когда порядки всех элементов группы ограничены в совокупности) не признается решением всей проблемы, в рамках которой также выделена неограниченная проблема Бернсайда и кроме того, возникли различные ослабленные варианты проблемы. Тем не менее такая конвенция в принципе всегда осуществима, хотя ограничения могут быть весьма грубыми, произвольными. Достичь цели возможно, но субъективность в отождествлении цели-замысла и цели воплощенной неустранима ¹³. Поэтому, впридачу к исследованию объективного аспекта целедостижения в математике (с позиций трансформации содержания прогноза в процессе его реализации), необходимо рассмотреть субъективный аспект целедостижения, субъективные основания отождествления внутринаучного прогноза и его реализации.

Представляется необходимым еще раз рассмотреть процесс целедостижения под другим углом зрения. Предпримем субъектное погружение, анализ процесса целедостижения с позиций оценки субъектом того, насколько имеется продвижение в реализации цели. При этом субъект может пониматься и как отдельный исследователь, и как научный коллектив, или даже как математическое сообщество в целом. Превращение прогноза в проект последующей деятельности, в цель, которую необходимо достичь, с точки зрения активности субъекта, означает возникновению качественно нового комплекса. Идеальный образ, составляющий содержание прогноза, соединен в этом комплексе с устойчивым субъективным намерением реализовать проект. «Хочу» субъекта представляет собой субъективный срез целедостижения, присутствует на всех его этапах и исчезает в момент, который субъективно объявляется окончательной реализацией прогноза.

Чтобы приступить к целедостижению и преодолению встречающихся при этом затруднений, необходимо перейти границу, отделяющую смутное предчувствие открывающихся горизонтов от открытости этих горизонтов, иначе говоря, сомнения исследоватег