Перевод Ю. Фридман и М. Финкельберга
(их сайт)
Старшим товарищам, которые приняли меня, как брата,
и ввели в мир, ставший моим.
Ученикам, которым я передал лучшее, что было во мне,
а вместе с ним и худшее...
Содержание
I. Труд и
открытие
1. Ребенок и Господь Бог
2. Ошибка и открытие
3. О чем не принято говорить вслух
4. Непогрешимость (других) и презрение (к
себе)
II. Мечта и
мечтатель
5. Мечта под запретом
6. Мечтатель
7. Наследие Галуа
8. Грезы и доказательство
III. О том, как
страх пришел в математику
9. Желанный иностранец
10. "Математическое сообщество":
жизнь и вымысел
11. Встреча с Клодом Шевалле, или: свобода и
лучшие чувства
12. Заслуги и презрение
13. Сила и толстокожесть
14. Появление страха
15. Урожаи и посевы
VI. Двуличие.
16. болото и первые ряды
17. Терри Миркил
18. Двадцать лет высокомерия, или терпеливый
друг
19. Мир без любви
20. Мир без войны?
21. Неразгаданный секрет Полишинеля
22. Бурбаки, или редкая удача - и ее
оборотная сторона
23. De Profundis
24. Прощание, или: среди чужих
V. Учитель и
ученики
25. Ученик и Программа
26. Два вида строгости
27. Помарка, или двадцать лет спустя
28. Несобранный урожай
29. Отец-противник (1)
30. Отец-противник (2)
31.
Власть лишить веры в себя
32.
Этика математического ремесла
VI. Урожаи
33.
Судьба одной заметки — или новая этика
34.
Мутная вода и источник
35.
Мои страсти
36.
Желание и медитация
37.
Восхищение
38.
Вернуться к началу и принять обновление
39.
Цвет дня и цвет ночи (или Авгиевы конюшни)
40.
Математика как вид спорта
41. С
каруселью покончено!
VII. Детские забавы
42.
Ребенок
43.
Хозяин вмешивается, или мальчишка под замком
44.
Опять задний ход!
45.
Гуру-не-Гуру, или лошадка о трех ногах
VIII. Игра в одиночку
46.
Запретный плод
47.
Игра в одиночку
48. О
дарах и о том, как их принимают
49.
Двойственность
50.
Груз прошлого
Примечания
|
1. Мои друзья по Survivre et Vivre |
6 |
11 |
|
2. Альдо Андреотти, Ионел Букур |
11 |
14 |
|
3. Иисус и двенадцать апостолов |
19 |
25 |
|
4. Ребенок и учитель |
23 |
26 |
|
5. Страх вступает в игру |
23'' |
29 |
|
6. Два брата |
23''' |
29 |
|
7. Усилия преподавателя пошли прахом (1) |
23VI |
31 |
|
8. Профессиональная честность — и контроль
над информацией |
25 |
32 |
|
9. «Юношеский снобизм», или поборники чистоты |
27 |
33 |
|
10. Сто подков на огне, или: не лезь вон из
кожи! |
32 |
36 |
|
11 . Немощные объятия |
34 |
37 |
|
12. Посещение |
40 |
45 |
|
12. Кришнамурти, или о том, как освобождение
принесло новые цепи |
41 |
45 |
|
13. Боль, обернувшаяся благом |
42 |
45 |
Примечания даются не и виде сносок, а собраны
все вместе после основного текста. Некоторые из них даже имеют собственные
названия. Здесь приводится их список с порядковыми номерами (средний столбец) и
номерами разделов, к которым данные примечания относятся (правый столбец) —
прим. перев.
Примечания 44' и далее (к §50 «Груз
прошлого») не вошли в этот список: они
составляют часть «Похороны».
Июнь 1983
1. Впервые за
последние тринадцать лет я работаю над математическими заметками с намерением
их опубликовать. Читатель не удивится, обнаружив, что после долгого молчания
мой стиль изложения изменился. Это, однако, еще не признак перемены стиля или
методов работы[1].
Глубинная суть, то есть сама природа моих математических занятий осталась
прежней. Более того, я пришел к выводу, что природа любого труда, связанного с
открытием — одна и та же; от особенностей того или иного ремесла, от условий
труда, да и от нас, работников, она не зависит. Все мы, по сути, заняты одним и
тем же: узнаем мир и находим в нем новое.
Право открытия принадлежит ребенку; о нем-то
я и поведу речь. О маленьком ребенке, который еще не оглядывается, как
взрослые, на каждом шагу: как бы не ошибиться, не опростоволоситься на людях (а
то еще — о ужас! — сочтут несолидным или объявят «белой вороной»), О ребенке,
которого не пугает досадная манера иных вещей оказываться совсем не такими,
какими мы привыкли их себе воображать. Маленький ребенок ничего не знает (и
знать не хочет) о негласных — но нерушимых — соглашениях, наполняющих самый
воздух, которым мы дышим. А ведь последние, как известно, устанавливаются
самыми рассудительными людьми на свете. Бог свидетель, в тех, кто умеет
расставить все по местам, у нас никогда не было недостатка.
Наш рассудок насквозь пропитан разнородным
«знанием». Приглядевшись, мы обнаружим в нем нагромождения из всяческих
страхов, разных видов душевной лености, страстных желаний и запретов. То там,
то здесь — завалы стереотипов, полезных советов первому встречному, разъяснений
типа «нажми-ка на эту кнопочку». В духоте закрытого пространства толпятся
разнообразные сведения, страхи и страсти; окна завешены, и нет ни единой щели,
сквозь которую мог бы проникнуть свободный ветер. Кажется, все это «знание»
затем и собрано там, чтобы преграждать путь живому восприятию, действенному
познанию мира. Этот груз обладает колоссальной инертностью, которая, подчас
неодолимо, гнет и тянет к земле.
Маленький ребенок открывает мир так же, как
дышит. Вдыхая, он принимает мир внутрь своего хрупкого существа, на выдохе он
отдает себя миру, и тогда мир принимает его. Взрослый человек тоже открывает
мир — в те редкие моменты, когда ему удается забыть все, что он знал и чего
боялся. В такие минуты он глядит вокруг широко раскрытыми, жадными до всего
неизвестного, новыми глазами — глазами ребенка.
Бог творил мир, открывая его шаг за шагом.
Или, еще вернее, Он творит мир постоянно, с каждым новым открытием — и
открывает его постольку, поскольку творит. Мир создан — но он создается день за
днем, тысячи тысяч раз рождаясь заново, так что сам Творец не смеет
передохнуть. За работой он ошибается снова и снова, — и, неутомимый, исправляет
беду в миллионный но счету раз. В этой игре, опуская лот в неведомое море, из
глубины получаешь ответ, например: «неплохо на этот раз», или: «тут ты дал
маху, приятель», или, наконец: «пошло, как по маслу; продолжай в том же духе».
И тогда ты повторяешь, или исправляешь, предыдущий ход — и снова ждешь у
воды... Играя, Бог учится и узнает. С каждой репликой извечного диалога между
Творцом и Творением, который ведется повсеместно и ежеминутно, линии на картине
мира становятся четче, и нечто новое сходит с нее во плоти. Близкое, осязаемое
восприятие делает вещи яснее; они обретают жизнь и форму, преобразуясь в руках
Создателя...
Такова истинная поступь сотворения и открытия;
и что с того, что, если доверять нашим глазам, этой дороге не видно конца?
Запоздалый выход человека на сцену (тому едва наберется один, от силы два
миллиона лет) не изменил правил игры. Напротив, он часто вмешивается некстати —
в последнее время, как известно, не без дурных последствий.
Бывает, тот или иной из нас неожиданно для
себя совершит открытие. Подчас он, восхищенный, в ту же минуту открывает в
своей собственной жизни самую возможность открытия. В каждом из нас заложено
все, что нужно, чтобы раскрывать тайны, особенно влекущие нас — в том числе и
секрет чудесной способности к творчеству (есть ли в мире что-нибудь яснее и
проще!). А ведь об этой способности забывают многие; это все равно, что
разучиться петь — или дышать как ребенок...
Каждый в силах переоткрыть для себя значение
слов «открытие», пли «творчество». А вот выдумать их заново не может никто. Они
живут сами по себе, такие, как есть: ведь они куда раньше нашего появились на
свет.
2. Возвращаясь к
стилю моего труда в математике, к его «природе» к его «поступи» — их не могли
изменить ни пережитые события, ни прошедшие годы. Дар творчества человек
получает от Бога — быть может, еще задолго до своего рождения. Бог создает и
открывает мир Я поступаю, как он. Это же, не задумываясь, делает каждый из
нас, когда в его душе загорается любопытство — и одна вещь среди всех прочих, с
этой минуты облеченная в его глазах жаждой познания, зовет и ведет его за
собой.
Когда, в математике или еще где-нибудь, та
или иная вещь будит мое любопытство, я ее расспрашиваю. Умны ли мои вопросы, не
покажутся ли они кому-нибудь глупыми или не слишком продуманными, — об этом я
не тревожусь. Бывает, я задаю ей вопрос-утверждение; это — как проба лотом с
борта корабля. Сам я уверен в нем настолько, насколько, к моменту его
формулировки, я продвинулся на пути к пониманию общей картины. Часто, особенно
в начале исследования, утверждение бывает заведомо ложным — достаточно
сформулировать его, чтобы в этом убедиться.
Стоит лишь записать его на бумаге, как несообразность предположения
бросается в глаза — а пока не запишешь, какая-то рябь, как при головокружении,
словно нарочно скрывает эту очевидность. После этого, возвращаясь к задаче,
чувствуешь, как у тебя прибавилось уверенности: есть надежда уже не так
безбожно промахнуться со следующим вопросом.
А еще чаще бывает так, что утверждение ложно в буквальном смысле, но
сама интуитивная догадка (еще неясная и, как видно, с трудом подбирающая себе
под стать словесные образы) все же верна.
Понемногу она отстаивается, сбрасывает шелуху. Ложные или просто не
относящиеся к делу идеи выпускают ее на свободу; шаг за шагом, она покидает
обитель теней. На пороге этого чистилища, где, в ожидании своего
первооткрывателя, томится неизвестное, она принимает точь-в-точь по ней, и по
ней одной, вылепленную форму. Ее очертания оживают, проясняются по мере того,
как мои вопросы становятся точнее и настойчивее, помогая мне, наконец, постичь
ее суть.
Но бывает и так, что лот застревает где-то
внизу, не дойдя до дна. Тогда все замеры, один за другим, как будто сходятся к
одному и тому же результату. И некий образ, отражением действительности, уже
начинает выходить из тумана. При этом его контуры просматриваются достаточно
ясно, так что поначалу легко принять новый призрак за точное изображение. А на
деле - ничего похожего! В результаты замеров вкралась серьезная ошибка; зеркало
оказалось кривым, жестоко искажающим истинную природу вещей. Для того чтобы
обнаружить подвох, вывести ложную идею на чистую воду, приходится подчас немало
потрудиться. Все начинается с того, что замечаешь первые признаки
«несостыковки» полученного образа с некоторыми очевидными фактами. Иногда он в
чем-то противоречит другим, к тому моменту уже сложившимся у нас в голове,
представлениям об общей картине, которым мы доверяем не меньше. В поисках
причины неполадок берешься за труд; чем дальше в лес, тем напряженнее
становится работа. И наоборот: пока напряжение нарастает ты, шаг за шагом,
приближаешься к сути противоречия. Из расплывчатого к (вначале) оно становится
все более явным — и вдруг раскрывается во всей полноте, да так, что, в своей
очевидности, слепит глаза. Ошибка обнаружена; определенное видение картины
разваливается в прах. В эту минуту испытываешь невероятное облегчение, словно
только что вырвался на свободу из тесной клетки. Момент, когда тебе, наконец,
открывается ошибка в работе, можно смело назвать решающим. Для всякого труда,
связанного с открытием, это — момент истинного творчества. И не так уж важно, о
чем здесь идет речь, будь то математическая работа или труд, посвященный
открытию себя самого. Это — то самое мгновение, когда наше знание, о чем-то или
о ком-то, вдруг обновляется.
Бояться ошибки — по суши то же, что бояться
истины. Тот, кто боится промахнуться, уже тем самым неспособен сделать
открытие. Ошибке, как препятствию на дороге, страх оступиться придает каменную
неуязвимость. В самом деле, что, как не страх, вынуждает нас отчаянно цепляться
за те «истины», которые мы сами однажды провозгласили — или которым, с
незапамятных времен, привыкли доверяться безоговорочно. Когда нас влечет за
собою истинная жажда познания (а не боязнь нового, не стремление поскорее
забиться в уютную нишу), тогда ошибка, подобно горю или страданию, очищающей
волной проходит сквозь наши души. Волна отхлынет — и остается обновленное
знание.
3. Не случайно,
что ни в одном научном тексте ни слова не говорится о том, как же в
действительности проистекала работа. Устные доклады сводятся к тому же:
сообщаются результаты, и ничего сверх того. Последние, разумеется, подаются
простому смертному в форме суровых непреложных законов, начертанных еще в
незапамятные времена на твердых гранитных скрижалях (а хранятся они будто бы в
эдакой гигантской библиотеке, среди прочих божественных откровений). И правда,
все это выглядит так, как если бы некое всемогущее божество диктовало слова
закона лишь посвященным, ученым писцам — тем, кто издает ученые книги и ничуть
не менее ученые статьи; жрецам науки, распространяющим знание с высоты
университетских кафедр или передающим его собратьям по ордену в замкнутом
кругу, в торжественной тишине семинара. Найдется ли хотя бы один учебник, хотя
бы одно пособие для школьников, студентов, даже для «научных работников»,
которое могло бы дать злосчастному читателю сколько-нибудь адекватное
представление о том, что такое труд исследователя? «Научная работа — это когда кто-то башковитый до невозможности
сдает на отлично все экзамены и даже побеждает на олимпиадах; великие умы,
знаете, Пастер, Кюри, там, нобелевская премия и все такое прочее,» — вот все,
что можно почерпнуть из подобных книжек. Дескать, всем остальным — то есть нам с вами, простым читателям или
слушателям — впору лишь как-нибудь, по заданной программе, одолевать знание,
которое эти великие люди любезно предоставили нам для блага человечества. У нас
другие мерки; вот сдать экзамен в конце семестра (если потрудиться как следует)
нам, пожалуй, по силам; да и то...
Да и многим ли — будь то среди самих
злополучных «научных работников», корпящих над статьями или диссертациями, или,
напротив, среди самых высокоученых, самых авторитетных из нас — достанет
простоты, чтобы разгадать совсем нехитрую загадку труда открытия? Что может
быть проще: «исследовать», заниматься научной работой, значит не что иное, как
расспрашивать вещи, с которыми сталкиваешься на дороге. Расспрашивать
увлеченно, с настоящей страстью, как ребенок, который хочет узнать, как
появилась на свет его маленькая сестричка. Искать и находить, то есть
спрашивать и жадно ловить ответ, — есть ли на свете более естественное занятие!
И ведь оно доступно каждому, ни у кого здесь не может быть особых привилегий.
Это подарок; судьба наделяет им каждого из нас еще в колыбели, с тем, чтобы он
позднее вошел в свою настоящую силу, воплотился в бессчетных обликах —
ежеминутно сменяющихся в душе, своих у каждого человека... Стоит лишь упомянуть
о чем-нибудь подобном, как со всех сторон —
на лице ли самого безнадежного тупицы, на устах ли ученейшего из ученых,
о чьих заслугах простому смертному и мечтать грешно, — встречаешь одну и ту же
стесненную, понимающую улыбку. Дескать, шутка вышла чересчур неуклюжей; и
потом, нельзя же быть таким наивным. Все это, конечно, прекрасно; с чувствами
ближнего своего нужно считаться, кем бы он ни был. Но ведь и заходить слишком
далеко тоже ни к чему: тупица, он и есть тупица, а никак не Эйнштейн и не
Пикассо!
Перед лицом столь единодушного согласия мне,
однако же, хватает бестактности настаивать на своем. Решительно, я неисправим:
опять не сумел вовремя замолчать....
Нет, не случайно все, самые разнообразные,
учебники и пособия в один голос представляют «Знание» так, словно оно в свое
время вышло готовеньким из чьих-то гениальных голов, для нашей же пользы
причесанным и одетым по форме. В то же время нельзя сказать, что причина этой
странности кроется в недобросовестности автора книги — даже в тех редких
случаях, когда он сам достаточно «в курсе дела», чтобы понимать, как мало
соответствует действительности подобное представление о научной работе.
Конечно, книга, написанная таким человеком, включает в себя нечто помимо списка
результатов и рецептов. Бывает, что ее страницы пронизывает вдохновение,
одушевляет живое видение мира; оно и впрямь передается внимательному читателю —
или слушателю, если речь идет об устном докладе. Но молчаливое соглашение, а
сила его велика, и здесь не упускает своего:
от работы,
результатом которой явился новый взгляд на вещи, в тексте не остается и следа.
По правде сказать, я и сам, взвешивая свое
намерение записать и опубликовать «Математические раздумья», порой неясно
ощущал давление этой силы, этого молчаливого соглашения. Под его влиянием во
мне поднималось какое-то внутреннее сопротивление моим собственным планам: они
начинали казаться мне — какое бы слово здесь подобрать? — неприличными. Сейчас
я, пожалуй, впервые стараюсь вывести на свет свои сомнения, чтобы, наконец,
разобраться в том, что же мне нашептывал все эти недели (если не месяцы)
негласный закон, усвоенный мною Бог знает с каких времен. Вот что я слышу: «Неприлично выставлять
напоказ удачи и срывы, опасливые шаги по ненадежной почве, вслепую, наощупь
вдоль стен, — словом, «грязное белье» труда открытия. И еще тише: «Неприлично
публиковать записки о таких размышлениях, о том, как они проистекали на самом
деле — точно так же, как было бы неприлично заниматься любовью на людях или
после родов выставить напоказ окровавленные простыни...»
Этот запрет неумолим, он проникает всюду, как
тот закон, что запрещает говорить вслух о вопросах пола. И только сейчас, когда
я пишу это введение, я начинаю догадываться о том, как необычайно велика его
сила. И лишь теперь я понимаю значение того невероятного обстоятельства, что
нигде и никогда ни слова не говорится о том, как исследовательский труд
проистекает на деле, о том, как ошеломляюще —
по-детски — проста история любого открытия. Дорога, по которой люди
приходят к открытию, не описана ни в одном докладе и ни в одной книге. О ней
умалчивают, ею пренебрегают; отрицают ее существование, наконец. Так обстоят
дела даже в относительно безобидной области научных открытий — когда, казалось
бы, не собственный срам принародно обнажаешь, а тайны мироздания, слава Богу.
Иными словами, такая (научная) «дерзость» доступна всем, ее плоды предназначены
для общего пользования; тут нам (надо надеяться) нечего скрывать...
Если бы я решился последовать «нити», которая
здесь легко прощупывается и могла бы послужить надежным проводником, то это,
несомненно, завело бы меня намного дальше, чем те несколько сотен страниц,
посвященных гомолого-гомотопической алгебре, которые я уже почти завершил и
приготовил к печати.
4. Решительно, я
выразился слишком мягко, когда, немного выше, уточнил не без осторожности, что
«мой стиль изложения» изменился. Я даже отметил, что в этом нет ничего
удивительного: в самом деле, вы же понимаете, если тринадцать лет кряду ничего
не писать, а потом вдруг взяться за перо, волей-неволей что-то должно
измениться... Разница в том, что раньше я «изъяснялся» (sic!), как все: сначала выполнял работу; затем,
двигаясь от конца к началу, тщательно избавлялся от всевозможных помарок. По
дороге возникали новые ошибки, подчас грубее тех, что я насажал с первого раза.
Значит, опять переделывать — на второй, на третий, иногда на четвертый раз;
результат должен быть безупречен. В тексте не должно оставаться сколько-нибудь
сомнительных мест; нельзя поддаваться соблазну тайком замести сор под диван (я
вообще никогда не любил пыли в углах: зачем плутовать, раз уж берешься за
веник). Но дело не только в этом. Если все условия соблюдены, то, когда читаешь
окончательный вариант работы, создается (бесспорно, лестное) впечатление, будто
ее автор (моя скромная персона, в данном случае) — сама воплощенная
непогрешимость. Он безошибочно выхватывает из груды хаоса как раз «те самые»
понятия, затем наилучшим возможным образом составляет из них утверждения,
следующие друг за другом с ровным гудением хорошо смазанного мотора. И тут же,
с глухим стуком, прямо с неба на бумагу валятся доказательства — каждое в самый
подходящий момент!
Как же оценить влияние подобного стиля на
ничего не подозревающего читателя? Что
происходит в душе школьника, изучающего теорему Пифагора или квадратные
уравнения? Какие мысли приходят в голову сотруднику исследовательского
института или университета, в котором наделяют «высшим» (имеющий уши да
слышит!) образованием, когда он бьется над статьей того или иного авторитетного
коллеги? Такие ситуации в жизни каждого школьника, студента или даже научного
работника, повторяются сотни, тысячи раз; легко себе представить, как они
воздействуют на образ мыслей незадачливого читателя. Бытующие стереотипы — в
семье, как и в любом другом окружении — лишь усугубляют эффект. Он проявляется
на каждом шагу, и заметить это нетрудно, стоит лишь присмотреться. Он
заключается в том, что у человека мало-помалу формируется убеждение в
собственном ничтожестве по сравнению со значительностью и компетентностью
«знающих» людей, тех, которые «все это делают».
С тем, чтобы это внутреннее убеждение как-то
уравновесить, некоторые люди развивают в себе способность запоминать вещи,
которые на самом деле им непонятны. Они могут, например, с виртуозной ловкостью
перемножить две матрицы или «выстроить» по всем правилам сочинение на
французском языке, с «тезами» и «антитезами»... Словом, речь идет о способности
попугая (или ученой обезьяны), которая в наши дни ценится, как никогда. Она не
помогает избавиться от ощущения собственной ничтожности, о котором я говорил;
зато и вознаграждается она не куском сахара, как в цирке, а желанными дипломами
и хорошей карьерой.
Но такой человек, даже если он покрыт
почестями с ног до головы и купается в дипломах, как в золоте, в глубине души
не обманывается на счет этих фальшивых признаков собственной важности и
«ценности». И даже тот, кто (редкое везение) в свое время поставил на верную
карту, последовал своему истинному таланту и сумел проявить себя в творчестве,
не знает свободы от подобных сомнений. Внезапный расцвет научной славы —
событие, которое зачастую служит ему, чтобы вернее обманывать себя и других — в
глубине души не разубеждает его, не придает ему уверенности. Так, одно и то же
сомнение точит душу заслуженного ученого и безнадежного тупицы; одна и та же
тайная мысль, в которой они ни на минуту не смеют себе признаться.
Это сомнение, это невысказанное внутреннее
убеждение, и побуждает каждого из ученых беспрерывно пытаться превзойти самих
себя — домогаться новых и новых почестей, любой ценой публиковать как можно
больше работ — копить заслуги, не боясь зачахнуть над своими сокровищами... Они
всеми силами стараются перенести на других людей (прежде всего, на тех, кто так
или иначе от них зависит) втайне грызущее их презрение к самим себе, в тщетной
попытке укрыться от его мучительных уколов. Оттого-то и приходится им собирать
доказательства своего превосходства над другими — отчаянно, без остановки[2].
5.
Воспользовавшись тем, что в моей работе над разделом «В погоне за стеками»
выдался трехмесячный перерыв, снова берусь за «Введение». На этом самом месте я
остановился в июне прошлого года. Только что я внимательно перечел все, что уже
было написано, и добавил несколько примечаний.
Работая над этим введением, я с самого начала
ясно осознавал, что, предлагая читателю размышления подобного рода, без
недоразумении не обойдешься. И нет смысла пытаться оговорить все заранее: это
привело бы только к нагромождению новых несуразиц. Так что я лишь добавлю по
этому поводу, что объявлять войну научному стилю изложения, освященному
тысячелетней традицией, отнюдь не входит в мои намерения. Я сам прилежно
практиковал этот стиль больше двенадцати лет кряду, и добивался, чтобы мои
ученики овладели им, как важным секретом математического ремесла. К худу ли, к
добру ли, но в этом смысле мои взгляды нисколько не изменились, так что
излагать своп мысли в традиционно-научном стиле я обучаю студентов и сейчас.
Это, наверное, даже несколько старомодно с моей стороны — всегда настаивать на
том, чтобы всякая работа непременно доводилась до конца, вручную, и так, чтобы
в тексте не оставалось ни одного неясного места. Если, в ходе последних десяти
лет, мне и приходилось порой отступаться от этого принципа, то уж во всяком
случае не по своей вине! «Приведение результатов в надлежащий вид» было и
остается для меня важным этапом математической работы. Научная строгость
изложения — это, с одной стороны, инструмент первооткрывателя; его удобно
использовать, когда хочешь проверить свою догадку. При работе с ним
приблизительное, отрывочное поначалу представление о тех или иных вещах
становится глубже. С другой стороны, этот же инструмент служит для передачи
другим достигнутого тобой понимания. С профессиональной точки зрения,
соблюдение норм строгости при передаче информации, то есть научный способ
изложения (а он вполне позволяет набрасывать перед читателем широкие картины,
открывая дальние перспективы) в известном смысле сильно облегчает работу.
Преимущества очевидны: краткость, ясность, удобство ссылок. Они более чем
реальны, и пользу, которую они нам приносят, трудно переоценить, когда речь
идет, скажем, о докладе перед математической аудиторией - в особенности если он
ориентирован на математиков, знакомых с предметом из первых рук или занимающихся
смежными, вопросами.
Эти же преимущества - пустой призрак, когда
ты пишешь в расчете на детскую аудиторию, или на читателей-подростков; даже на
взрослых людей, если они заранее не знакомы с вопросом. У таких читателей (или
слушателей) интерес к теме еще не разбужен. К тому же, они, как правило, ничего
не знают о том, как на деле проистекает труд, ведущий к открытию. (От чтения книг, написанных по всем правилам
научной строгости, в этом смысле пет никакого толка - и неспроста...) Лучше
сказать, читатели не подогревают о самом существовании такого труда, доступного
каждому: любознательность, немного здравого смысла, - больше ничего и не
требуется. А ведь это тот самый труд, в
процессе которого рождается, обновляясь снова и снова, наше знание о Вселенной.
Благодаря ему появились на свет «Происхождение видов» Дарвина, «Начала»
Евклида, величественные в своей фундаментальности. У людей нет ни
малейшего представления о том, что открытию всегда предшествует труд. Их не учат этому ни в школе, ни в университете:
ведь
преподаватели, в большинстве своем, и сами об этом не подозревают. Этот
поразительный факт вдруг открылся мне в полном свете, когда я, в прошлом году,
только приступал к настоящему Введению, раздумывая над первой главой. И уже
тогда я начинал угадывать путь мощных корней этого невероятного явления -
где-то на глубине. . .
Но даже когда ты имеешь дело с аудиторией,
профессионально подготовленной со всех точек зрения, остается одна важная вещь,
которую, как ни крути, не позволяет передать научная строгость. Эта вещь всегда
была на плохом счету в кругу солидных людей; уж во всяком случае, наш брат
ученый никогда не воспринимал ее всерьез.
Я говорю о мечте. О грезах, о
видениях, вдохновляющих нас - сперва неуловимых, - зачастую неохотно принимающих
форму. Долгих лет, даже целой жизни напряженного труда не достанет, быть может,
чтобы полностью осуществить ту или иную мечту, увидеть, как сгущается ее
призрачная
-ткань, обретая плоть; отшлифовать ее до
прочности и блеска алмаза. В том и заключается наш труд, будь он работой рук
или разума. Когда он закончен, мы поднимаем к свету осязаемый, немыслимо живой
результат; глядя на него, мы ощущаем немалую радость - и, пожалуй, гордимся
своей работой. И все же не сам результат, не наш готовый алмаз, все эти долгие
дни вдохновлял кропотливый труд своего ювелира. Moжет статься, нам удалось
изготовить превосходный инструмент, прибор высокой точности, эффективное орудие
исследования - но возможности всякого инструмента, изготовленного руками
человека, сами по себе ограничены, даже если у нас при взгляде на него
перехватывает дыхание от восторга. И вела нас к открытию не реальная вещь во
плоти, а легкая греза, безымянное видение. Бесформенное поначалу, оно маячило
впереди; как клочок тумана. Оно и было тем призраком, что водил тогда нашей рукой; очарованные им, мы склонялись
над работой, не замечая быстрых часов — да и лет, бывало. Невесомый клок дыма,
бесшумно отделившийся от бездонного Моря туманов и полумрака. . . В душе
каждого из нас есть какая-то глубина, нечто, что не знает пределов. Целое Море,
дающее жизнь, готовое зачинать и рождать неустанно, в то время как наша жажда познания оплодотворяет его.
Возникает зародыш, мечта; он прячется внутри питательного чрева, пока не
приходит пора тайных, неясных трудов - схваток живорождения. Тогда из темноты
он выходит на яркий свет.
Горе тому миру, где презирают мечту. Мечта в
нас глубже всех прочих корней; чего же нам ждать от мира, в котором удел этой
глубины - презрение? Наша культура, сверх меры нашпигованная тслевидением,
компьютеризацией, межконтинентальными ракетами, обосновалась в умах не так
давно; до нее были и другие. Не знаю,
насколько - тогда было распространено это презрение. Вероятно, его вездесущность
в нашей среде - один из многочисленных признаков, отличающих нас от наших
предшественников. Их духовные принципы мы вытеснили из мира навсегда; так
сказать, стерли с лица планеты. Я не слышал ни об одной культуре, помимо нашей,
в которой к мечте относились бы без должного уважения, в которой ее глубокие
корни не ощущались бы и не признавались бы всеми и повсеместно. Найдется ли
хотя бы одно открытие, хотя бы один важный труд в жизни человека или народа,
который родился бы не от грезы, не в ней черпал бы силы перед тем, как,
завершенным, появиться на свет? у нас же, однако, как известно (читай:
одинаково, повсеместно) уважение к мечте держат за предрассудок. Всякий знает,
что наши психологи с психиатрами, измерив мечту вдоль и поперек, нашли, что
памяти небольшого компьютера для всех ее "параметров" с лихвой
достаточно. Вот еще одна особенность нашей культуры: современный человек едва ли сумеет, скажем, собственноручно развести огонь; рождение ребенка, смерть
матери или отца в собственном доме — кто в наши дни решится вынести подобное
зрелище! Слава Богу, для этого есть больницы и родильные дома... Наш мир горд
своим могуществом, измеряемым в атомных мегатонна он кичится количеством
информации, хранящейся в его компьютерах или, по старинке, в библиотеках. Но,
как только речь заходит о каждом его обитателе в отдельности, он сразу
оказывается миром бессилия. Ведь наш страх, наше презрение по отношению к
простым и важны для жизни вещам достигли сегодня небывалой величины.
В обществе с наистрожайшими нравами всегда находилось место
первородному влечению пола, как ни трудились моралисты. Вот и мечту, к счастью,
так легко не убьешь. Предрассудок или общепризнанная реальность, она
по-прежнему продолжает нашептывать нам слова тайны и намекать на разгадку.
Рассудок не в силах уловить ее речи; мешает какая-то неповоротливость — или
малодушие. Но мечте — взгляните! — и дела нет; одушевляя наши мысли, наделяя их
крыльями на пути осуществлению, она обходится своими средствами.
Я, кажется, недавно сказал, что мечта лишь нехотя обретает форму.
Но это — только на первый взгляд! Нежелание, медлительность исходят от
рассудка. Да и все эти слова: «неохотно», «медлительность», «нежелание», — по
сути не что иное, как эвфемизмы. В действительности речь идет о глубоком
презрении, за которым, в свою очередь, стоит заложенный в нас от века страх перед
знанием. Когда дело доходит до мечты в собственном смысле этого
слова, страх, пробуждаясь, становится намного более действенным. Он образует
заслон, который тем эффективнее, чем более непосредственно весточка мечты
затрагивает нас лично, чем более глубоким преобразованием, по прочтении, грозит
она нашей душе.
И все же, как ни странно, то же самое недоверие преграждает дорогу
даже сравнительно безобидным в этом отношении математическим «грезам». Кажется,
дошло до того, что всяческое подобие мечты изгоняется не только из научных
текстов (я, но всяком случае, не встречал исключений), но и из разговоров между
коллегами — в узком кругу, и даже с глазу на глаз.
Пусть так, но это не значит, что математической мечты не бывает,
или что она вдруг куда-тo исчезла. Без
нее наша наука стала бы бесплодной, а ведь мы знаем, что этого не случилось —
наоборот. Мечта на месте, но о ней молчат, как молчат о труде, предшествующем
открытию и обновлению нашего знания о мире. Эти два запрета явно сродни друг
другу —а вернее всего, как мечту в математике, так и труд ученого, ею
ведомый и вдохновляемый; окружает молчанием один и тот же неумолимый закон. Да
что говорить: само словосочетание «математическая мечта» многие сочтут
бессмыслицей. Мы так часто полагаемся на удобные, готовые клише, предпочитая их
порой даже собственному опыту. А ведь он есть у каждого — непосредственный опыт
общения с реальностью: совсем простой, повседневной, важной для нас.
6. Одни бегут от
мечты, другие подходят к ней, вооружившись запатентованными инструментами для
измерения всего и вся; разница невелика. Мечта — мечта и есть; она не
отзовется на чужие имена из старых инвентарных таблиц. Но настоящей жажде
познания — и это мне известно из первых рук — мечта охотно идет навстречу.
Тогда она уже не медлит «принять форму», не отступает в тень, спокойно открываясь
осторожному, внимательному взгляду. Ты можешь описать ее словами; задавай ей
вопросы, и она сама нашепчет тебе разгадку. Всегда простую — и полную смысла, а
подчас такую, что от волнения бегут мурашки но коже. Путь в неизвестное
преграждают нам, но сути, только наши призрачные страхи. Кто-то должен раскрыть
нам на это глаза, убедить нас попытаться преодолеть себя. Но ведь на то и
Мечтатель, живущий в каждом из нас, — великий, непревзойденный мастер. Он
говорит с нами, пробуя разные языки (иногда изобретая их на ходу) — и побуждает
нас сбросить нелепое оцепенение, переступить порог, отряхнуть душу от пыли. Он
играет с душами, как на сцене; а какой у него реквизит — любой театр
позавидует. Он использует всякие средства: от полного отсутствия каких бы то ни
было сценических эффектов до самых невероятных, ослепительных фейерверков. Он
всегда выходит к нам открыто, уверенно, безо всякой робости; Его задача —
ободрить нас. (А ведь Его попытки — чаще всего, лишь пустая трата времени; и
все-таки Он не теряет веры, не оставляет нас своей милостью.) Мечтатель живет
затем, чтобы дать нам силы справиться с предрассудками — да просто вылезти из
самих себя, сбросить все, что стесняет в движениях. А как ловко (притом, с
самым невинным видом) Мечтатель, мастер веселых перевоплощений, умеет
подтрунивать над нашей неповоротливостью! Прислушаться к Его тихим, настойчивым
речам — значит отыскать путь к себе самому. Инерция духа — серьезное
препятствие на этой дороге; чтобы преодолеть его, нужна решимость.
А уж кто «способен на большее», тому и меньшее по плечу. Если, наедине
с мечтой-посредницей, нам удалось услышать самих себя — значит, должен быть
простой способ передать то, что мы узнали, другому. Ведь в «математической
мечте» нет ничего интимного; к тому же, говорить о таких вещах с самим собой
трудней, чем с другими. (Это из-за того, что мысли, идущей «изнутри», мы
сопротивляемся намного сильнее, чем знанию со стороны.) В сущности, в своем
«математическом» прошлом я только и делал, что преследовал мечту до тех пор,
пока она, ясная, во плоти, как в новом платье, не выходила на свет.
От целого моря теней и туманов оторвется клочок — и летит, и ведет тебя за
собой; и по дороге ты можешь только гадать, каким он будет, когда станет из
призрака явью... Последние шаги по пути к мечте сродни кропотливому труду
ювелира: чтобы твоя находка, будь то алмаз или сапфир, предстала во всем своем
блеске, ты должен, тщательно и ревниво, отшлифовать каждую грань. Сколько раз
за этим занятием я в нетерпении топал ногами, проклиная собственную усидчивость
и упрямство! Приходилось сдерживать в себе пыл, стремление рискнуть всем,
пустившись на большую глубину — окунуться в самое море, причаститься его
бесконечных тайн; погнаться за грезой из грез и добиться ее явного воплощения!
Из неясного, размытого намека на мысль довести мечту до отчетливости
математического утверждения; изложить ее на бумаге, повинуясь всевозможным
канонам строгости — и тогда призрак обретает плоть, статью можно нести в
печать. Впрочем, когда я работал над теорией «мотивов», я, кажется, был на
грани того, чтобы целиком поддаться нетерпеливому устремлению и умчаться
вперед, позабыв о строгости изложения и о «надлежащем виде» результатов. Это значило
— заняться «научной фантастикой», грезить наяву, ведь вся теория к тому моменту
оставалась на уровне предположения. В этом смысле ничего не изменилось и по сей
день — за недостатком другого мечтателя, пустился бы в это сумасшедшее
предприятие по моим следам. «Мотивами» я увлекся к концу шестидесятых; тем
временем, в моей жизни уже намечался совершенно неожиданный (в первую очередь,
для меня самого), решающий поворот. Вскоре после этого математика на целых
десять лет отодвинулась для меня на второй план, если не вовсе сошла со сцены.
Призадумавшись, однако, я понял, что книга «В
погоне за стэками», моя первая публикация после четырнадцатилетнего молчания,
написана как раз в духе «грезы наяву» — невозможной и неосуществленной. Она как
бы предваряет теорию мотивов, служит ее временной заменой. Конечно, у этой
книги своя тема, на первый взгляд настолько далекая от «мотивов», насколько это
вообще возможно в математике. К тому же, по моим представлениям, тема мотивов
находится на грани того, что можно разработать подручными средствами, в то
время как все, что связано со стэками, нe должно вызывать особенных трудностей. Однако, стоит лишь внимательно
посмотреть на эти две темы, чтобы понять, насколько поверхностны эти мнимые
различия[3].
Трудиться над каждой из этих теорий и значит «грезить наяву»: стиль работы один
и тот же, а все остальное не так уж важно. На случай, если это звучит скажем
иначе: это работа с широкими, еще не до конца определившимися концепциями; это
поиск нужных формулировок путем последовательных приближений, «нащупывание»
координат. Так путешественник, плутая ночью, вычисляет местонахождение
ориентиров: в темноте их не различить, но, если он выберет верный путь, впереди
его ждет вполне реальная цель. При этом отдельные догадки собираются в единое
представление о местности, внутренне согласованное и достаточно точное, чтобы
можно было доверять ему, как хорошей карте. Если говорить о теме этой книги, то
здесь общее видение картины уже сложилось. Теперь сверить его с
действительностью — чисто техническая задача. Безусловно, для того чтобы ее
разрешить, потребуется самая серьезная работа, а с ней — немалая доля
мастерства и воображения. В этой работе будут свои непредвиденные повороты,
неожиданно открывающиеся перспективы, — все, что отличает такой труд от пустой
рутины (или «длинного упражнения», как сказал бы Андре Вейль).
Словом, это будет та самая работа, которую я
сам в свое время делал и переделывал тысячи раз. С тех пор я выучил ее, как
своп пять пальцев; кажется, в оставшиеся мне годы можно было бы заняться чем-то
другим. Сейчас, после долгого перерыва, я возобновляю свои математические
занятия лишь с тем, чтобы «грезить наяву» — и думаю, что не нашел бы для своих
сил лучшего приложения. А впрочем, когда я делал свой выбор, меня не особенно вдохновляла
мысль о том, что подобные затраты должны быть оправданы (если считать, что
забота о рентабельности вообще может кого-нибудь вдохновлять). Я просто шел за
мечтой — за грезой из грез. И ее одну стоит благодарить за все находки, что
ждут меня на этой дороге.
7. Мечта, как
известно, вещь ненаучная. Однако исподволь она все равно проникает в научные
миры; наверное, оттого, что творчество как таковое без нее невозможно. Гонят ее
отовсюду, но по-разному; похоже, что мы, математики, по меньшей мере третье
тысячелетие кряду стараемся больше других. В других областях человеческого
знания (включая так называемые «точные» науки — физику, например), мечту
все-таки иногда терпят, а то и приветствуют (это зависит от эпохи). Конечно,
для нее подбирают более солидные имена: «теория», «предположение», «гипотеза»
(как, скажем, знаменитая «гипотеза о существовании атома», родившаяся из мечты
— виноват, предположения Демокрита)... Перемена статуса, переход от
мечты-которую-не-смеют-называть-по-имени к «научной истине» происходит как-то
незаметно, по общему соглашению — по мере того, как число «обращенных» в новую
веру постепенно растет. В математике же, напротив, подобное превращение почти
всегда осуществляется вдруг, как по мановению волшебной палочки — как только появляется
доказательство[4]. В те
времена, когда понятий определения и доказательства (в современном смысле этого
слова) еще нe было в математике,
некоторые другие, заведомо важные математические объекты влачили довольно
сомнительное существование. Например, многие ученые (в том числе Паскаль) не
верили в «отрицательные» числа; позднее, «мнимые» числа также не признавались
за реальный объект. (Что до двух последних понятий, то их названия, до сих пор
используемые в математике; сами по себе достаточно красноречивы.)
Понятия определения, утверждения,
доказательства, математической теории постепенно становились отчетливей; в
известном смысле, это принесло нам немало пользы. Передать те или иные мысли
словами бывает непросто, но теперь мы научились применять бесхитростные — и
удивительно мощные инструменты, позволяющие нам без лишних мучений достигать
своей цели. Стало возможным сформулировать «невыразимое», если с должной
строгостью следовать законам современного математического языка. Надо сказать,
что именно эта возможность и увлекала меня в математике с самого детства. Это,
как чудо: поймать в сети языка сущность того или иного объекта в математическом
мире — кажется, такую неясную, ускользающую, как будто словам, сорвавшись с
губ, ее уже не догнать... И смотреть, как на бумагу ложится вполне осязаемая,
совершенно отчетливая формулировка.
Но у этой замечательной возможности есть и
оборотная сторона, досадное последствие чисто психологического толка. С тех пор
как появилось мощное средство, которому мы обязаны совершенной точностью
сегодняшних доказательств, запрет на мечту в математике ужесточился еще
сильней. Это значит, что мысль, опередившую свое формальное воплощение (даже
если на ней основывается новое, широкое видение математической проблемы),
сейчас никто не рассматривает всерьез. Ее может спасти только доказательство,
выполненное по всей форме; в крайнем случае — набросок доказательства, если у
него достаточно солидный вид. На худой конец (правда, в последнее время все
чаще и чаще) допускаются гипотезы — и то при условии, что они конкретны, как
вопросы анкеты (так, что хочется добавить: напишите «да» или «нет» в
соответствующей графе). Разумеется, автор гипотез должен занимать достаточно
высокое положение в математическом мире; иначе его просто не услышат. «Экспериментальных»
теорий, которые основывались бы преимущественно на предположениях, в
математике, насколько мне известно, до сих пор никто не развивал. Правда, по
нынешним меркам весь «анализ бесконечно малых» из семнадцатого столетия — не
что иное, как сомнительные мечтания. Позднее его стали называть
дифференциальным и интегральным исчислением; в серьезную науку он превратился
лишь два столетия спустя, когда Коши дотронулся до него волшебной палочкой.
Дописывая эти слова, я вдруг подумал о мечте Эвариста Галуа, которой в
свое время преградил дорогу тот же самый Коши. На сей раз, впрочем, и ста лет
не прошло, как новый волшебник, Жордан (если не ошибаюсь), взмахнув палочкой,
не поднял для нее тяжелые ворота в наш математический мир. Ради такого события
мечту, восстановленную в своих правах, заново окрестили «теорией Галуа».
Иногда думаешь: счастье, что такие люди, как
Ньютон, Лейбниц, Галуа (многих не назову, ведь я не силен в истории...), имели
возможность творить свободно, не оглядываясь на каноны. В их жизни годы не
уходили на то, чтобы тщательно приводить свои открытия в «надлежащий вид»!
Мысли, не слишком лестные для «математики восьмидесятых»...
В размышлениях о математических «грезах
наяву» пример Галуа пришел мне на ум сам собой. История его жизни затрагивает
во мне какую-то чувствительную струну.
Кажется, когда я еще учился в школе или в университете, кто-то при мне завел разговор об этом
человеке, о его странной судьбе. Помнится, как только я услышал эту историю,
меня сразу же охватило чувство братской симпатии: как и Галуа, я был страстно
увлечен математикой — и, как он, в «высшем свете» сам себе казался чужим.
Правда, позднее я и сам стал одним из представителей «высшего света» в
математике — но лишь с тем, чтобы в один прекрасный день, без сожаления,
оставить его навсегда... Это ощущение
родства заговорило ко мне с новой силой совсем недавно, когда я писал свой
«Набросок программы» (составляя заявление на должность сотрудника CNRS (Centre national de la recherche scientifique = Национальный центр
научных исследований — прим. перев.)). Это был, по сути, отчет о проделанной
работе: в нем я обрисовал в общих
чертах все основные темы своих размышлений о математике за последние десять
лет. Одна из этих тем меня сейчас особенно занимает; я собираюсь разрабатывать
ее в ближайшие годы. Я бы отнес ее как раз к типу «математической мечты»;
работа над ней сулит предоставить новый подход к пресловутой «мечте о мотивах».
Составляя «Набросок», я вспомнил о шести месяцах в 1981 году (с января по
июнь), которые я провел в размышлении над этой замечательной темой. За
последние четырнадцать лет это был единственный случай, когда я думал о
математике так много времени кряду, без перерыва. «Долгий поход сквозь теорию
Галуа» — так я назвал свои записки из этого периода. Мало-помалу я стал
догадываться о том, что ландшафты и перспективы, то и дело мелькавшие передо
мною в мечтах вот уже несколько лет, не мне первому являлись из темноты. Другой математик — более века тому назад —
томился по ним же, вглядываясь в туман. Мои грезы, в конце концов получившие
имя «анабелевой алгебраической геометрии» — не что иное, как продолжение,
«логическое завершение теории Галуа и, без сомнения, в духе Галуа».
Когда мне открылась эта удивительная
преемственность в математике (в самый момент появления двух предыдущих строк,
взятых из текста «Наброска»), я ощутил прилив радости. Это живое тепло, не
рассеявшееся и по сей день, вознаграждает меня за долгие годы уединенного
труда. Оно пришло вдруг, я совсем не ждал его — как и той холодности, с которой
двое-трое моих коллег (и давних друзей; один из них был когда-то моим учеником)
позднее приняли мой пылкий рассказ... Я говорил с ними о своей новой работе, о
дороге, полной находок, о горизонтах впереди; мое сердце переполняла горячая
радость — и я мечтал ее с кем-нибудь разделить.
Но мне следовало помнить о том, что
наследство Галуа отмечено печатью его творческого одиночества. Сегодня вступить
на путь Галуа — значит, решиться разделить его судьбу. Пожалуй, времена
меняются не так уж быстро, как мы привыкли считать! А впрочем, эта «угроза»
меня не страшит. Мне может причинить боль подчеркнутое безразличие или
пренебрежение — в особенности, когда оно исходит от дорогих мне людей. Но мысль
об одиночестве, как в математике, так и в жизни вообще, никогда не пугала меня.
Одиночество мне вовсе не враг; напротив, я не знаю друга верней. Не случайно,
едва расставшись с ним, я всей душой стремлюсь к нему вернуться!
8. Но вернемся к мечте и к тому соглашению,
что упрямо ставит ее вне закона на территории Математики вот уже которое
тысячелетие. Оно представляет собой, пожалуй, самую застарелую из всех догм,
определяющих (подчас неявно) наше восприятие научных реалий. Дескать, вот это — действительно математика;
а это уже нет, помилуйте. Для того чтобы простые, ребенку понятные вещи, на
которые натыкаешься буквально на каждом шагу — такие, как группа симметрии
одних или топологическая форма других геометрических фигур, число «нуль»,
множества, — получили допуск в святилище науки, потребовалась, опять-таки, не
одна тысяча лет. Когда я говорю студентам о топологии сферы и о том, что
получается, если к сфере «приделать ручки», то первым делом неизменно слышу в
ответ: «Но... разве это математика?!»
То, что не удивило бы и малого ребенка, приводит студентов университета
в полное замешательство: ведь они так
хорошо усвоили, что относится к математике, а что — нет. В самом деле, о чем тут спорить; математика
— это теорема Пифагора, высоты треугольника и многочлены второй степени... Эти
студенты не глупее нас с вами: они рассуждают так же, как рассуждали всегда,
вплоть до сего дня, все математики во всем мире — если не считать Пифагора,
Римана и, может быть, еще пяти-шести человек.
Даже Пуанкаре, а это вам не первый встречный, в один прекрасней день,
используя самые что ни на есть научные философские приемы, доказал, что
бесконечные множества не имеют никакого отношения к математике! Несомненно,
были времена, когда считалось, что треугольники и квадраты — тоже не
математика. Так, фигурки; пускай мальчишки да гончарных дел мастера рисуют их
на песке, чертят на глиняных вазах... Не извольте смешивать игрушки с серьезной
наукой.
Когда скопившееся в голове мертвое «знание»
начинает стеснять дыхание рассудка, он становится инертным. Конечно, этим
страдают не одни только математики. Здесь я немного отклоняюсь от темы запрета,
наложенного на мечту в математике — и тем самым на все, что выходит за рамки
инструкций, приложенных к готовому продукту, «научному результату». Того
немногого, что мне известно о других естественных науках, достаточно, чтобы
получить представление о бедах, которые, бывало, навлекал на них подобный
запрет. По его вине науки становились бесплодными — или, в лучшем случае, едва
ползли вперед в черепашьем галопе. Так было, например, в средние века (если
только речь шла не о том, чтобы поживиться за счет буквы Святого Писания;
богословие как раз процветало). А ведь я знаю наверное, что все открытия, по
большому счету, делаются одинаково, будь то в математике пли в любой другой
науке, в ремесле или в жизни вообще. К чему бы на свете ни влекло нас, умом или
телом — там, на глубине, источник знаний один и тот же, и никакая другая вода
нашей жажды не утолит. Изгнать мечту — значит перекрыть источник, сослать его в
губернию суеверий, обречь на полупризрачное существование.
И еще кое-что мне известно по собственному
опыту, который, начиная с моих самых первых, юношеских увлечений математикой,
никогда меня не обманывал. Когда дорога выводит тебя на высокое место, так что
перед глазами разворачивается новое видение, и взгляд уже охватывает обширные
математические пейзажи, тогда тебе легко наметить дальнейший путь. И это
восхождение, эта проясняющаяся перспектива, это понимание, приходящее шаг за
шагом, всегда предшествует доказательству. Подсказывая методы доказательства,
оно в то же время придает ему смысл. Когда ты достиг понимания в своем вопросе
(серьезном или незначительном, не так уж важно) в общих, существенных чертах, —
доказательство само летит к тебе в руки, как созревший плод с яблони. Если же
ты сорвешь его с дерева раньше срока, еще зеленым, то само познание оставит
привкус неудовлетворенности; пускай ты вкусил плода, но жажда не отпускает.
Два-три раза, в своих математических занятиях, я решался, за неимением лучшего,
сорвать плод, не дождавшись, когда он созреет. Не то, чтобы я сейчас в этом
раскаивался. Но лучшее из того, что мне удалось сделать в математике, то, над
чем я трудился с настоящей страстью, пришло ко мне по своей воле — я не тянул
его силой. Если математика всегда приносила мне необыкновенную радость, если
моя тяга к ней не остыла в мои зрелые годы, то это не потому, что мне нравится
упражнять мускулы, обрывая с деревьев крепко сидящие на ветках зеленые плоды.
Нет; я слышу в ней неисчерпаемую тайну, безупречную гармонию духа, готовую
открыться любящему взгляду. Эта немыслимая глубина влечет меня к математике, и
от предчувствия красоты у меня всякий раз перехватывает дыхание.
9. Кажется,
пришло время поговорить о моих взаимоотношениях с миром математиков. (Не путать
с «миром математики»; это — совсем другая история. С этой планетой, и с ее
странными обитателями — математическими объектами, я подружился еще с юных лет.
Подружился задолго до того, как узнал, что где-то на Земле, в своей собственной
«научной среде», живут такие люди — математики.) И в самом деле, это целый
сложный мир: научные общества, газеты, встречи, коллоквиумы, конгрессы... В нем
— свои примадонны и поденщики, дворяне и крепостные (кто на барщине, а кто — на
оброке), те, что бьются денно и нощно над статьями и диссертациями. Впрочем,
даже в «низших слоях» населения есть такие, кому работа в радость: у них много
идей, которые они сами в силах осуществить. У них есть опыт настоящего
творчества — и, неизбежно, опыт двери, захлопнутой перед носом. Что делать,
ведь их превосходительства у власти (а власть немалая: дать или не дать добро
на публикацию работы!) не любят назойливых оборванцев... К тому же, они, эти
важные господа, вечно спешат.
Факт существования мира математиков я открыл
для себя сразу по приезде в Париж. Мне было двадцать лет; я привез с собой в
столицу диплом Университета Монпелье и рукопись довольно внушительного вида
(немудрено, ведь я трудился над ней три года). Я нарочно писал ее мелким,
убористым почерком, не оставляя полей: бумага стоила дорого! «Результаты» моего
уединенного труда, как я узнал немного позднее, давно были известны всему миру
под названием «теория меры», или «интеграл Лебега». До самого дня своего
приезда в Париж я, кажется, был уверен, что только я один на белом свете и
занимаюсь математикой. То есть, я был, по моим представлениям, единственным
математиком. (Быть математиком и «делать математику» для меня, пожалуй, и по
сей день — одно и то же.) Я определил на свой лад «измеримые» множества, со
сходимостью почти везде (не то, чтобы мне к тому моменту приходилось
сталкиваться с «неизмеримыми»...), и достаточно поиграл с ними — но не знал,
что такое топологическое пространство. Помню, как-то мне попалась под руку
маленькая брошюрка из серии «Научно-технической хроники»; написал ее, кажется, какой-то
Апперт. Я прочел ее от корки до корки — и был несколько сбит с толку наличием
доброй дюжины отнюдь не эквивалентных понятий «абстрактного пространства» и
компактности. Наконец, я ни разу не встречал, по крайней мере в математическом
контексте, таких странных (а то и вовсе невразумительных, как обрывки
варварской речи) терминов, как «группа», «поле», «кольцо», «модуль»,
«комплекс», «гомология»... Все это вдруг, без предупреждения, разом обрушилось
на мою бедную голову. Жестокий удар, нельзя не признать!
Если я «пережил» этот шок, и математика
все-таки стала моим ремеслом, то причин тому следует искать прежде всего в
людях вокруг. Ведь в те далекие времена математическое общество было совсем
непохоже на наш сегодняшний научный мир. Впрочем, не исключено, что мне просто
повезло, так что с первых же шагов по этому миру я по капризу судьбы угодил в
самый гостеприимный, его уголок. Из «дорожных указателей» я располагал лишь
весьма расплывчатой рекомендацией одного профессора нашего университета. Звали его месье Сула, и надо сказать, что он
видел меня на своих лекциях не чаще, чем его коллеги в Монпелье. Когда-то он
был учеником Картана (отца или сына, толком не знаю). В мое время Эли Картан
уже «вышел из игры», так что в Париже я обратился за советом к его сыну, Анри
Картану. Это был первый «собрат по оружию», которого мне довелось увидеть
своими глазами! (Я и не подозревал тогда, какая мне выпала удача.) Он принял
меня чрезвычайно любезно; Анри Картан вообще отличался какой-то необыкновенной
доброжелательностью (это могли бы засвидетельствовать многие поколения
выпускников Ecole Normale, которым посчастливилось делать свои первые
шаги в математике под его руководством). Впрочем, судя по его советам (которые
должны были направить меня в моих дальнейших занятиях) он тогда явно не сумел
оценить в полной мере глубины моего невежества. Как бы то ни было, обращаясь ко
мне, он видел во мне прежде всего человека. Запас знаний, случайно открывшиеся
способности, научная репутация или известность (это пришло позднее), — все это,
кажется, не имело для него никакого значения... Он говорил со мной лично — не с будущими титулами или званиями.
В следующем году я стал одним из слушателей
курса Картана (по дифференциальному исчислению на многообразиях) в ENS (Есо1е Normale Supérieure — прим.
перев.). Помню, что этот курс тогда показался мне очень увлекательным. На тех
же нравах я приходил на «Картановский Семинар». Правда, там я был не более чем
ошеломленным свидетелем споров Картана с Серром. В разговоре то и дело
всплывали какие-то «Спектральные Последовательности» (брр!); рисунки
(называемые «диаграммами») пестрели стрелками и покрывали всю доску. То была
героическая эпоха теории «пучков», «скорлуп» (На самом деле этот термин, carapace, никогда на русский не
переводился, а был позднее заменен на «резольвенты Картана» — прим. перев.) и с
ними целого арсенала вспомогательных инструментов. Беда только в том, что смысл
всего этого ускользал от меня совершенно — хоть я и вынуждал себя кое-как,
давясь, проглатывать бесконечные определения с утверждениями и проверять
справедливость их доказательств. На Семинаре Картана время от времени
появлялись также Шевалле и Вейль. А в дни Семинаров Бурбаки (собиравших
небольшую группу из двадцати, в лучшем случае тридцати участников и слушателей),
приходила эдакая, немного шумная, компания приятелей, других членов этой
знаменитой шайки: Дьедонне, Шварц, Годеман, Дельсарт. Между собой все они были на «ты», много говорили на том самом,
почти совершенно непостижимом для меня языке, много курили и никогда не
упускали случая посмеяться. Не хватало, кажется, только груды ящиков с пивом —
их заменяли мел и мокрая губка. И,
конечно же, совсем иная обстановка царила на курсах Лере в College de France (по теории
Шаудера о топологической степени в бесконечномерных пространствах — вот еще
напасть на мою бедную голову!), на которые я ходил по совету Картана. Я пришел
в Collège de France к месье Лере,
чтобы спросить его (если я правильно помню), о чем он будет рассказывать на
своем курсе. Я не помню объяснений, которые от него получил; не уверен даже,
что я понял в них что бы то ни было.
Важно другое: меня, первого
встречного, и здесь приняли благожелательно. Потому-то, без сомнения, я пошел
слушать и этот курс, и даже не сбежал с него в первый же день занятий. Я
держался храбро, не отступаясь (как и на Картановском Семинаре), несмотря на
то, что смысл всего, о чем Лере толковал у доски, ускользал от меня почти
целиком.
В этом мире я был всего лишь новичком, не
понимал чужого языка и, тем более, не умел на нем говорить. Но, как ни странно,
чужим я себя не чувствовал. При всем том, что мне ни разу не случалось (что,
конечно, не удивительно) разговориться с кем-нибудь из заядлых весельчаков
вроде Вейля или Дьедонне или завести беседу с такими изысканными особами, как
Картан, Лере или Шевалле, я все же чувствовал, что меня приняли в этот круг. Я
бы даже сказал — приняли, как своего. Я не помню ни единого случая, чтобы
кто-нибудь из них заговорил со мной со снисхождением в голосе. Моя жажда
знаний, и пришедшая вслед за ней, обретенная вновь радость открытия, ни разу не
натолкнулись здесь на стену пренебрежения или самодовольства[5].
Обернись тогда дело иначе, я, может быть, и не стад бы математиком. Не везде
же, в конце концов, молодых, еще неумелых коллег встречают презрением; а найти
себя можно и в другом ремесле...
Нельзя не признать, что «объективно» в этом
мире (как и во Франции, собственно говоря) я был иностранцам. Я воспитывался в
другой среде, в другой культуре; наконец, вся моя жизнь до тех пор складывалась
совершенно иначе, чем у большинства моих новых друзей. Что же все-таки меня с ними объединяло?
Ответ простой: у нас с ними была общая страсть. Не думаю, чтобы в тот решающий
для меня год кто-нибудь из моих будущих коллег разгадал во мне эту страсть к
математике. В какой-то степени я был учеником Картана — но ведь у него было
много учеников (и все они заведомо лучше, чем я, ориентировались в колоссальном
потоке новой информации!). Словом, даже он едва ли уловил отражение своей
собственной страсти в моей душе. Вероятнее всего, я просто был для него одним
из многих; в конце концов, сколько нашего брата являлось слушателями на его
семинары! Все мы исправно вели конспекты — и, в большинстве своем, явно не
понимали, о чем же, собственно, толкует докладчик. Если я и выделялся на общем
фоне, то лишь тем, что не боялся задавать вопросы. Они, как правило,
свидетельствовали прежде всего о моем феноменальном невежестве, как в отношении
математического языка, так и темы текущей лекции. Мне отвечали коротко, не без
удивления; однако, никому ни разу не пришло в голову «осадить» ошарашенного
чудака, поставить его на место. Этого не случалось ни в группе Бурбаки, где все
шло без церемоний, ни в более сдержанной обстановке курса Лере в Collège de France. В те далекие годы, с той
самой минуты, как я явился в Париж с письмом к Эли Картану в кармане, у меня ни
разу не возникло ощущения принадлежности к «низшей касте». Надменного клана
избранных, недоступности, враждебности «высшего света» — ничего в этом роде
тогда просто не существовало. Но если мне все же знакомо, и знакомо до боли,
потерянное чувство обиды перед лицом незаслуженного презрения, то это знание —
из другой жизни. В том мире, в те времена, я мог о нем позабыть. Уважение к
человеку было, как воздух; оттого-то мне и дышалось легко и свободно, как
никогда. Для того чтобы с тобой обращались, как с равным, не нужно было
выбиваться из сил, копя заслуги. Достаточно было просто «быть», как это ни
странно.
10. Стоит ли
удивляться, что в скором времени (не прошло и года!) в глубине души я начал
ощущать себя частью этого мира. С годами это чувство причастности становилось
все отчетливее. Само понятие «математическое сообщество» понемногу приобретало
для меня некий особенный смысл. До сих пор я не задумывался о том, что же, собственно,
эти два слова для меня значили. В то же время я во многом отождествлял себя с
этим «сообществом» — как часть не мыслится отдельно от целого, и наоборот.
Теперь я понимаю, что оно было для меня как бы продолжением, во времени и в
пространстве, небольшого уютного мира, принявшего меня тогда со всей своей
благожелательностью. А ведь меня связывала с ним, помимо всего прочего, одна из
сильнейших страстей в моей жизни — страсть к математике.
Быть может, я отчасти выдумал это
«сообщество», к которому мало-помалу стал причислять себя без оговорок. Во
всяком случае, я судил о нем не только по своим первым впечатлениям от мира
математиков. Сначала я знал в нем совсем немногих, но последующие
десять-двадцать лет мой круг общения понемногу расширялся. Математиков, с
которыми я виделся более или менее регулярно, становилось все больше: нас с
ними объединяли общие математические интересы, да и душой, мы были близки друг
другу. Я мог бы сказать, что круг моих коллег и друзей представлял собой некую
концентрическую структуру, которая постепенно наращивала кольца. В свою
очередь, каждое из этих колец, начиная от «центрального круга моих ближайших
друзей» (поначалу таких, как Дьедонне, Шварц, Годеман, позже — главным образом,
Серр, еще позднее — Адреотти, Тэйт, Ленг, Зарисский, Хиронака, Мамфорд, Ботт,
Майк Артин, не говоря уже о членах группы Бурбаки, которая, в свою очередь,
становилась все многочисленнее, и об учениках, начинавших приходить ко мне в
шестидесятые годы...) и кончая коллегами, с которыми я просто встречался время
от времени, само по себе разрасталось. Так и сложился мой микрокосм — из
случайных встреч, всплесков взаимной симпатии, вдруг возникавшего ощущения
духовной близости; о нем-то я и думал в те годы как о «математическом
сообществе». Эти два слова были для меня насыщены живым сердечным теплом и
будили в моей душе какую-то особенную струну. Так что, ощущая себя частью
гостеприимного, живого мира математики, я в действительности отождествлял его с
этим микрокосмом.
И только после «решающего поворота» в 1970
году (я мог бы сказать — первого пробуждения) я начал понемногу осознавать, что
мой теплый, уютный микрокосм на деле представляет собой лишь едва заметную
крупицу «математического мира». Об этом мире я все еще ничего не знал, да мне и
в голову не приходило полюбопытствовать. Вместо этого я продолжал приписывать
ему несуществующие свойства.
За эти двадцать два года, впрочем, мой
микрокосм успел сменить облик, следуя законам окружавшего его большого мира. Да
я и сам, безусловно, не догадываясь об этом, менялся вместе со всеми. Не знаю,
насколько мои друзья и коллеги замечали эти перемены в самих себе и в том, что
их окружало. Среди прочего, произошло одно странное событие (когда и как —
другая загадка; но беда ведь всегда подбирается тайком, окольной дорогой):
именно, человека, пользующегося известностью, стали бояться. Меня самого стали
бояться — если не друзья и ученики, не те, кто был знаком со мной лично, то по
крайней мере те, кто знал обо мне лишь понаслышке, и (в меру своей научной
репутации) не чувствовал себя в силах со мной потягаться.
Я и не подозревал о существовании этого
страха, который уже вовсю свирепствовал внутри математического мира (да и в
других научных кругах), вплоть до своего «пробуждения». С этого момента прошло
уже почти пятнадцать лет. За тот же срок в годы, проведенные мною в счастливом
неведении, я успел вступить в роль «важного лица», поднявшись высоко в
математической иерархии. И, сам того не подозревая, я стал узником своей роли.
А она гарантировала мне изоляцию от всех окружающих, если не считать нескольких
«равных по рангу» и группы учеников (да и с ними все было не так-то просто...),
которые, судя по всему, большой беды в этом не видели. И лишь когда я вышел из
этой роли, окружавший меня страх вдруг испарился, по крайней мере отчасти. И
тогда языки, годами немевшие в моем присутствии, неожиданно почувствовали себя
куда свободнее.
Речи, которые я услышал тогда,
свидетельствовали не только о страхе. Из них я узнал о презрении. Прежде всего,
о презрении «высокопоставленных» математиков по отношению к простым смертным, о
презрении, вызывавшем и поощрявшем страх.
Я сам никогда не испытывал подобного страха,
но презрения, в ту пору, когда человеческая жизнь ценилась не дороже медяка, я
натерпелся достаточно. Мне хотелось позабыть о тех временах куда там, вот они
сами напоминают о себе! Не исключено, что пора презрения так никогда и не
проходила, что я сам, желая как-то отмахнуться от этого факта, удовлетворился
тем, что сменил круг общения, среду обитания, попал в другой мир (или мне так
только казалось?). А может быть, я попросту делал вид, что не замечаю, не слышу
ничего, кроме жарких, нескончаемых споров о математике? В те дни я, наконец,
решился спять с глаз повязку и оглядеться вокруг. Я увидел, что мир, когда-то
меня приютивший, насквозь проникнут презрением, и оно бушует жестокой стихией
повсюду, куда ни кинь взгляд. Я пришел в этот мир по своей воле, я сжился с
ним, он был мне дорог. И я чувствовал, что, наравне с другими, я отвечаю за
все, что творится в нем.
11. Предыдущие строки,
пожалуй, могут создать у читателя впечатление, будто невеселые свидетельства
(как нарочно, потоком хлынувшие ко мне: я стал получать их чуть ли не
ежедневно) потрясли меня я перевернули мой мир. Однако же, ничуть не бывало.
Все эти новости я воспринимал как-то поверхностно и слушал вполуха. Для меня
они просто что-то прибавляли к тем фактам, о которых я уже успел узнать — или к
тем, о которых я хоть и знал давно, но старался не думать. Конечно, кое-чему я
все же тогда научился. Сегодня я бы вот как сформулировал этот урок: «Ученые,
от самых выдающихся до никому не известных — такие же люди, как все.» Я-то
воображал, будто «мы» — особая порода; мне хотелось думать, что мы лучше, выше,
благороднее. Решительно, это заблуждение было мне по душе: даже почуяв
неладное, я все же целый год, если не два, не мог с ним расстаться!
Среди друзей, которые помогли мне справиться
с этой задачей, только один был выходцем из математического мира, к тому
моменту уже навсегда мною покинутого[6].
Это — Клод Шевалле. Он не любил подолгу распространяться о чем бы то ни было и
не слушал моих речей, и все же общение с ним открыло мне глаза на многое — не
только на то, что ученые ничем не отличаются от простых смертных. В ту пору,
когда мы с ним часто виделись (то есть во времена группы «Survivre», к которой Шевалле
присоединился, хоть и не до конца разделял наши взгляды), он нередко меня
озадачивал. У меня было ощущение — не берусь сказать, откуда оно пришло — будто
он знает что-то такое, о чем я тогда никак не мог догадаться. Это странное
знание, понимание каких-то важных, и в то же время совершенно простых вещей он
заведомо мог бы выразить в коротких, немудреных словах. Выразить — но не
«передать» другому. Теперь я понимаю, что, по сравнению с ним, мне не хватало
зрелости. Из-за этого его слова так часто сбивали меня с толку: несмотря на то,
что мы были друзьями и всерьез ценили друг друга, иной раз, вслушавшись в нашу
беседу, можно было подумать, что спорят двое глухих. Мне кажется, Шевалле не
слишком-то верил в глубину произошедших во мне перемен — хотя, насколько я
помню, он никогда не говорил мне об этом впрямую. Должно быть, он ясно видел,
что бесконечные «пересмотры» («общественной роли» ученого, науки и проч.), на
необходимости которых я так настаивал, наслушавшись разговоров в группе «Survivre», а то и по собственному
почину, — что все эти «новые взгляды» по сути своей были не так уж новы.
Конечно, они имели прямое отношение и к миру, в котором я жил, и к моему месту
в нем — и все же, они не принесли мне нестоящего обновления. Мое представление
о себе самом нисколько не изменилось за все эти бурные годы. Тогда я еще
попросту ничего не знал о себе, да и не думал об этом всерьез. Лишь шестью
годами позже я избавился, и снова не без труда, от очередного заблуждения — на
сей раз не о других людях и не о мире вокруг, а о себе самом. Это было новое
пробуждение, и оно оказалось значительней предыдущего, в свое время
подготовившего для него почву. За первыми двумя последовал целый «поток»
пробуждений, одно за другим; надеюсь, он не иссякнет в оставшиеся мне годы.
Я не помню, чтобы Шевалле когда-нибудь
упоминал о «познании себя» (пожалуй, «об открытии себя» будет точнее). Однако
теперь мне ясно, что наедине с собой он уже давно об этом раздумывал. Иной раз
ему случалось обронить пару слов о самом себе, мимоходом и с обескураживающей
простотой. Из всех моих знакомых всего двое-трое, быть может, никогда не
говорили заученными фразами. Таким был и Шевалле. Говорил он немного, и не об
идеях, подхваченных где-то на стороне, но о том, как он сам воспринимал
окружающий мир. Этим-то, конечно, он и приводил меня в замешательство — еще в
те времена, когда мы встречались с ним под сенью Бурбаки. Его слова иногда
переворачивали с ног на голову представления о мире, которыми я дорожил (и
потому считал их «верными»). В нем была какая-то внутренняя независимость,
которой не было у меня; я начал смутно догадываться об этом в эпоху «Survivre» (впоследствии — «Survivre et Vivre»). Эта
независимость — не из области «мнений» и «взглядов»: рассуждая на холодную
голову, к ней не придешь. К счастью, у меня тогда не возникло идеи перенять,
«присвоить себе» эту независимость, подмеченную мной у другого. Я должен был
обрести ее сам. А значит, мне предстояло научиться быть самим собой — или
просто вспомнить давно забытый урок. Но в те годы я и не подозревал, что мне
недостает зрелости или независимости. Если мне в конце концов удалось
обнаружить этот недостаток, то знакомство с Шевалле, безусловно, сыграло в этом
немалую роль. Какие-то процессы, зародившись в моей душе где-то на глубине,
молча набирали силу, в то время как «на поверхности» я был так увлечен своими
грандиозными замыслами. Встречи с Шевалле в свое время дали толчок этим
процессам. Дело не в том, что и как он тогда говорил. Случайное столкновение с
человеком, который умеет быть самим собой, повлияло бы на меня точно так же.
Мне кажется, что тогда, в начале семидесятых, когда мы регулярно встречались для работы над выпуском брошюры «Survivre et Vivre», Шевалле совершенно ненавязчиво старался указать мне на что-то, чего я упорно не замечал. Вероятно, я был чересчур поглощен своими общественными задачами (а возможно, мне просто недоставало душевной тонкости). В то же время я смутно осознавал, что ему было известно что-то такое, чему он мог бы меня научить: что-то из области свободы — свободы внутренней. При том, что я любил во всем ссылаться на высшие моральные принципы (и начал уже гнуть эту линию, как нечто само собой разумеющееся, в первых выпусках «